2026-08-21
Идемпотентная иерархия алгебраических уравнений
Принцип представления и решения уравнений второй, третьей и четвёртой степени
В работах «От формулы Эйлера к сплит-геометрии» и «Многоуровневое идемпотентное расщепление фазовых плоскостей» было показано, что один алгебраический элемент может иметь несколько независимых проекций. В настоящей работе применим этот принцип к корням алгебраических уравнений над комплексными числами. Вместо обычного списка корней мы соберём их в одном многоуровнево расщеплённом элементе.
Основная идея проста: каждому различному корню сопоставляется своя конечная идемпотентная плоскость. Расщепление плоскости создаёт дополнительное независимое значение и тем самым повышает возможную степень минимального полинома. Если значения на двух дочерних плоскостях совпадают, эти плоскости сливаются, а степень минимального полинома уменьшается.
Главный принцип статьи: степень минимального полинома равна числу различных значений элемента на конечных взаимно ортогональных идемпотентных плоскостях.
В статье будет изложен общий идемпотентный принцип решения алгебраических уравнений второй, третьей и четвёртой степени. Мы начнём с размещения двух корней квадратного уравнения на двух исходных плоскостях, затем посредством дополнительного расщепления перейдём к трём и четырём независимым корням. После этого будет показан обратный переход от четвёртой степени к третьей и второй через слияние одинаковых значений на дочерних плоскостях. В заключительной части статьи предложенный подход будет проиллюстрирован простыми примерами решения квадратного, кубического и двух уравнений четвёртой степени.
1. Первый уровень идемпотентного расщепления
Рассмотрим два взаимно ортогональных идемпотента \(\ep\) и \(\em\):
\[\tag{1}
\ep^2=\ep,\qquad
\em^2=\em,\qquad
\ep\em=0,\qquad
\ep+\em=1.
\]
Элемент
\[\tag{2}
X=\ep u+\em v
\]
принимает значение \(u\) на плоскости \(\ep\) и значение \(v\) на плоскости \(\em\). Благодаря ортогональности смешанные произведения исчезают. Например,
\[\tag{3}
X^2=\ep u^2+\em v^2,
\qquad
X^n=\ep u^n+\em v^n.
\]
Поэтому для любого полинома \(F\) выполняется покомпонентное тождество
\[\tag{4}
\boxed{
F(X)=\ep F(u)+\em F(v)
}.
\]
Это тождество и является алгебраической основой всего дальнейшего построения. Полином действует на каждую идемпотентную плоскость независимо.
2. Квадратное уравнение как первый уровень
Пусть \(u\) и \(v\) — два различных числа. Построим полином
\[\tag{5}
P_2(x)=(x-u)(x-v)
=x^2-(u+v)x+uv.
\]
Подставим в него элемент \(X_2=\ep u+\em v\). На первой плоскости обращается в ноль множитель \(X_2-u\), а на второй — множитель \(X_2-v\). Формально это следует из (4):
\[\tag{6}
P_2(X_2)
=\ep P_2(u)+\em P_2(v)=0.
\]
Следовательно, оба корня квадратного уравнения объединяются в одном элементе:
\[\tag{7}
\boxed{
X_2=\ep u+\em v
}.
\]
Это не означает сложения корней в обычном смысле. Идемпотенты сохраняют их независимость: проекция на \(\ep\) возвращает \(u\), а проекция на \(\em\) возвращает \(v\).
3. Два вида нормировки
Чтобы не ограничивать метод только корнями единичного модуля, необходимо различать алгебраическую и фазовую нормировку.
Сначала произвольное уравнение
\[\tag{8}
a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0=0,
\qquad a_n\ne0,
\]
делением на \(a_n\) приводится к приведённому, или моническому, виду
\[\tag{9}
x^n+A_{n-1}x^{n-1}+\ldots+A_0=0.
\]
Такая нормировка всегда возможна и не накладывает ограничений на корни. После неё любой ненулевой корень можно представить в полярной форме
\[\tag{10}
r_k=\rho_k e^{ig_k},
\qquad
\rho_k=|r_k|.
\]
Чистая фазовая запись \(r_k=e^{ig_k}\) является частным случаем \(\rho_k=1\). Сам идемпотентный принцип не требует единичных модулей: амплитуды \(\rho_k\) можно сохранить на соответствующих плоскостях.
4. Фазовая нормировка квадратного уравнения
Рассмотрим квадратное уравнение
\[\tag{11}
x^2+Ax+B=0,
\qquad B\ne0.
\]
Положим \(x=\sqrt{B}\,z\). После деления на \(B\) получаем
\[\tag{12}
z^2+\frac{A}{\sqrt{B}}z+1=0.
\]
Если \(A,B\) вещественны, \(B>0\) и \(A^2<4B\), то корни уравнения (12) образуют сопряжённую пару единичного модуля:
\[\tag{13}
z_{1,2}=e^{\pm ig},
\qquad
g=\arccos\left(-\frac{A}{2\sqrt{B}}\right).
\]
Возвращаясь к исходной переменной, получаем
\[\tag{14}
x_{1,2}=\sqrt{B}\,e^{\pm ig}.
\]
Оба корня объединяются в элементе
\[\tag{15}
\boxed{
X_2=\sqrt{B}
\left(
\ep e^{ig}+\em e^{-ig}
\right)
}.
\]
Таким образом, нормировка не удаляет амплитуду корней, а отделяет её от фазовой части. В дальнейшем сначала будем строить общие элементы с произвольными значениями, а затем рассматривать наиболее наглядные фазовые случаи.
5. Второй уровень расщепления
Введём вторую пару идемпотентов \(\pmp\) и \(\pme\):
\[\tag{16}
\pmp^2=\pmp,\qquad
\pme^2=\pme,\qquad
\pmp\pme=0,\qquad
\pmp+\pme=1.
\]
Предполагается, что идемпотенты двух уровней коммутируют. Тогда каждую первичную плоскость можно разделить на две дочерние:
\[\tag{17}
\ep=\ep\pmp+\ep\pme,
\qquad
\em=\em\pmp+\em\pme.
\]
Полное двухуровневое расщепление даёт четыре конечные плоскости:
\[\tag{18}
E_1=\ep\pmp,\qquad
E_2=\ep\pme,\qquad
E_3=\em\pmp,\qquad
E_4=\em\pme.
\]
Они взаимно ортогональны и в сумме образуют единицу:
\[\tag{19}
E_kE_l=0\quad(k\ne l),
\qquad
E_1+E_2+E_3+E_4=1.
\]
Четыре конечные плоскости — это не отдельно \(\ep,\em,\pmp,\pme\), а их произведения \(\ep\pmp,\ep\pme,\em\pmp,\em\pme\).
6. Переход от второй степени к третьей
Начнём с двухкомпонентного элемента
\[\tag{20}
X_2=\ep u+\em v.
\]
Расщепим только плоскость \(\em\) и разрешим её дочерним компонентам принимать разные значения \(v_1\) и \(v_2\):
\[\tag{21}
\em v
\longrightarrow
\em\left(\pmp v_1+\pme v_2\right).
\]
Получаем элемент с тремя независимыми конечными значениями:
\[\tag{22}
\boxed{
X_3=\ep u+
\em\left(\pmp v_1+\pme v_2\right)
}.
\]
Ему соответствует полином
\[\tag{23}
P_3(x)=(x-u)(x-v_1)(x-v_2).
\]
Раскрывая скобки, получаем
\[\tag{24}
\begin{aligned}
P_3(x)={}&x^3-(u+v_1+v_2)x^2\\
&+(uv_1+uv_2+v_1v_2)x-uv_1v_2.
\end{aligned}
\]
Подстановка (22) обращает этот полином в ноль независимо на трёх плоскостях \(\ep\), \(\em\pmp\) и \(\em\pme\). Так расщепление одной из двух исходных плоскостей повышает возможную степень минимального полинома с двух до трёх.
7. Фазовая форма кубического элемента
В общей амплитудно-фазовой форме три корня записываются как
\[\tag{25}
\boxed{
X_3=
\ep\rho_1e^{ig}
+\em\left(
\pmp\rho_2e^{ih}
+\pme\rho_3e^{il}
\right)
}.
\]
Особенно простой вещественный случай возникает, когда один корень равен \(s=\pm1\), а два других образуют сопряжённую пару:
\[\tag{26}
u=s,\qquad
v_1=e^{ig},\qquad
v_2=e^{-ig}.
\]
Тогда единое решение принимает вид
\[\tag{27}
X_3=s\ep+
\em\left(
\pmp e^{ig}+\pme e^{-ig}
\right),
\]
а кубический полином раскладывается следующим образом:
\[\tag{28}
P_3(x)=(x-s)
\left(x^2-2x\cos g+1\right).
\]
После раскрытия скобок:
\[\tag{29}
P_3(x)=
x^3-(s+2\cos g)x^2
+(1+2s\cos g)x-s.
\]
Сравним (29) с нормированным уравнением
\[\tag{30}
x^3+Ax^2+Bx+C=0.
\]
Для рассматриваемого фазового класса коэффициенты удовлетворяют условиям
\[\tag{31}
C=-s,\qquad
B=AC,\qquad
C=\pm1.
\]
Фаза сопряжённой пары находится непосредственно из коэффициентов:
\[\tag{32}
\boxed{
g=\arccos\left(\frac{C-A}{2}\right)
}.
\]
Это явное решение специального фазово-нормированного класса кубических уравнений. Для произвольного кубического уравнения амплитуды и фазы трёх корней уже не обязаны иметь форму (26).
8. Переход от третьей степени к четвёртой
Для получения четвёртого независимого значения расщепим оставшуюся плоскость \(\ep\):
\[\tag{33}
\ep u
\longrightarrow
\ep\left(\pmp u_1+\pme u_2\right).
\]
Полностью расщеплённый элемент имеет вид
\[\tag{34}
\boxed{
\begin{aligned}
X_4={}&\ep\left(
\pmp u_1+\pme u_2
\right)\\
&+\em\left(
\pmp v_1+\pme v_2
\right).
\end{aligned}
}
\]
Его четыре значения располагаются соответственно на плоскостях \(\ep\pmp\), \(\ep\pme\), \(\em\pmp\) и \(\em\pme\). Минимальный полином при различных \(u_1,u_2,v_1,v_2\) равен
\[\tag{35}
\boxed{
P_4(x)=
(x-u_1)(x-u_2)(x-v_1)(x-v_2)
}.
\]
На каждой конечной плоскости один из четырёх множителей обращается в ноль, поэтому \(P_4(X_4)=0\).
9. Общая теорема о расщеплённом элементе
Полученный результат не ограничивается степенями от двух до четырёх. Пусть задано \(n\) взаимно ортогональных идемпотентов:
\[\tag{36}
E_k^2=E_k,\qquad
E_kE_l=0\ (k\ne l),\qquad
\sum_{k=1}^{n}E_k=1,
\]
и элемент
\[\tag{37}
X=\sum_{k=1}^{n}E_kr_k.
\]
Тогда для любого полинома \(F\) выполняется
\[\tag{38}
\boxed{
F(X)=\sum_{k=1}^{n}E_kF(r_k)
}.
\]
Если значения \(r_1,\ldots,r_n\) различны, то минимальный полином элемента над полем комплексных чисел равен
\[\tag{39}
\boxed{
m_X(x)=\prod_{k=1}^{n}(x-r_k)
}.
\]
Если некоторые значения совпадают, соответствующие линейные множители не повторяются в минимальном полиноме. Отсюда следует центральное утверждение:
\[\tag{40}
\boxed{
\deg m_X=
\text{число различных значений }X
\text{ на конечных плоскостях}
}.
\]
Таким образом, именно число различных проекционных значений, а не формальное число введённых символов, определяет степень минимального полинома.
10. Фазово-амплитудная форма уравнения четвёртой степени
Для вещественного уравнения удобно рассмотреть две комплексно-сопряжённые пары корней:
\[\tag{41}
u_{1,2}=\rho e^{\pm ig},
\qquad
v_{1,2}=\sigma e^{\pm ih}.
\]
Они объединяются в элементе
\[\tag{42}
\boxed{
\begin{aligned}
X_4={}&\rho\ep\left(
\pmp e^{ig}+\pme e^{-ig}
\right)\\
&+\sigma\em\left(
\pmp e^{ih}+\pme e^{-ih}
\right).
\end{aligned}
}
\]
Каждая сопряжённая пара образует вещественный квадратный множитель. Поэтому полином четвёртой степени принимает вид
\[\tag{43}
\boxed{
P_4(x)=
\left(x^2-2\rho x\cos g+\rho^2\right)
\left(x^2-2\sigma x\cos h+\sigma^2\right)
}.
\]
Раскрывая скобки, получаем
\[\tag{44}
\begin{aligned}
P_4(x)={}&x^4
-2(\rho\cos g+\sigma\cos h)x^3\\
&+\left(
\rho^2+\sigma^2
+4\rho\sigma\cos g\cos h
\right)x^2\\
&-2\rho\sigma
\left(
\sigma\cos g+\rho\cos h
\right)x
+\rho^2\sigma^2.
\end{aligned}
\]
Формула (43) показывает геометрический смысл рассматриваемого класса уравнений четвёртой степени: это объединение двух фазово-амплитудных квадратных уравнений на двух первичных плоскостях. Второй уровень расщепления разделяет два корня внутри каждой пары.
11. Единичная фазовая нормировка четвёртой степени
Положим \(\rho=\sigma=1\). Тогда все четыре корня лежат на единичной окружности, а (43) упрощается:
\[\tag{45}
P_4(x)=
\left(x^2-2x\cos g+1\right)
\left(x^2-2x\cos h+1\right).
\]
После перемножения:
\[\tag{46}
\begin{aligned}
P_4(x)={}&x^4
-2(\cos g+\cos h)x^3\\
&+(2+4\cos g\cos h)x^2\\
&-2(\cos g+\cos h)x+1.
\end{aligned}
\]
Сравним эту формулу с уравнением
\[\tag{47}
x^4+Ax^3+Bx^2+Cx+D=0.
\]
Чисто фазовый вещественный класс характеризуется условиями
\[\tag{48}
\boxed{
D=1,\qquad C=A
}.
\]
Косинусы двух фаз удовлетворяют системе
\[\tag{49}
\cos g+\cos h=-\frac{A}{2},
\qquad
\cos g\cos h=\frac{B-2}{4}.
\]
Следовательно, величины \(t_1=\cos g\) и \(t_2=\cos h\) являются корнями квадратного уравнения
\[\tag{50}
t^2+\frac{A}{2}t+\frac{B-2}{4}=0.
\]
Отсюда
\[\tag{51}
\boxed{
\cos g=
\frac{-A+\sqrt{A^2-4B+8}}{4},
\qquad
\cos h=
\frac{-A-\sqrt{A^2-4B+8}}{4}
}.
\]
Искомые фазы равны
\[\tag{52}
\boxed{
g=\arccos\left(
\frac{-A+\sqrt{A^2-4B+8}}{4}
\right),
\quad
h=\arccos\left(
\frac{-A-\sqrt{A^2-4B+8}}{4}
\right)
}.
\]
Для вещественных фаз обе величины в правых частях (51) должны принадлежать отрезку \([-1,1]\). В этом специальном классе решение уравнения четвёртой степени сводится к квадратному уравнению относительно косинусов двух фаз.
12. Обратный переход: от четвёртой степени к третьей
Вернёмся к общему четырёхкомпонентному элементу (34) и положим
\[\tag{53}
u_1=u_2=u.
\]
Две дочерние компоненты плоскости \(\ep\) принимают одинаковое значение и сливаются:
\[\tag{54}
\ep\left(\pmp u+\pme u\right)
=\ep(\pmp+\pme)u
=\ep u.
\]
Поэтому
\[\tag{55}
X_4\longrightarrow
X_3=\ep u+
\em\left(\pmp v_1+\pme v_2\right).
\]
Если сохранить формальное произведение четырёх множителей, оно примет вид
\[\tag{56}
P_4(x)=(x-u)^2(x-v_1)(x-v_2).
\]
Однако элемент имеет только три различных значения. Поэтому его минимальный полином не содержит повторяющегося множителя:
\[\tag{57}
\boxed{
m_{X_3}(x)=(x-u)(x-v_1)(x-v_2)
}.
\]
Итак, переход \(4\to3\) происходит не посредством исчезновения коэффициента при \(x^4\), а посредством совпадения двух проекционных значений и перехода к минимальному полиному.
13. Обратный переход: от третьей степени ко второй
Теперь положим
\[\tag{58}
v_1=v_2=v.
\]
Дочерние плоскости внутри \(\em\) также сливаются:
\[\tag{59}
\em\left(\pmp v+\pme v\right)
=\em v.
\]
В результате
\[\tag{60}
X_3\longrightarrow
X_2=\ep u+\em v.
\]
Формальный полином \((x-u)(x-v)^2\) имеет третью степень, но минимальный полином элемента уже квадратный:
\[\tag{61}
\boxed{
m_{X_2}(x)=(x-u)(x-v)
}.
\]
14. Единая иерархия повышения и понижения степени
Все переходы можно собрать в одну последовательность:
\[\tag{62}
\boxed{
\begin{aligned}
X_2&=\ep u+\em v,
\\[2mm]
X_3&=\ep u+
\em\left(\pmp v_1+\pme v_2\right),
\\[2mm]
X_4&=\ep\left(\pmp u_1+\pme u_2\right)
+\em\left(\pmp v_1+\pme v_2\right).
\end{aligned}
}
\]
При движении вверх одна плоскость расщепляется, а её единое значение заменяется двумя независимыми. При движении вниз два дочерних значения приравниваются, после чего соответствующие идемпотенты снова складываются в родительскую плоскость.
\[\tag{63}
\boxed{
2\xrightarrow{\text{расщепление}}3
\xrightarrow{\text{расщепление}}4,
\qquad
4\xrightarrow{u_1=u_2}3
\xrightarrow{v_1=v_2}2
}.
\]
Расщепление увеличивает число возможных различных значений элемента. Слияние одинаковых значений уменьшает степень его минимального полинома.
15. Пример 1. Чисто фазовое уравнение четвёртой степени
Решим уравнение
\[\tag{64}
x^4+x^2+1=0.
\]
Оно относится к фазово-нормированному классу (47): \(A=C=0\), \(B=1\), \(D=1\). По формуле (51)
\[\tag{65}
\cos g=\frac{\sqrt{4}}{4}=\frac12,
\qquad
\cos h=-\frac{\sqrt{4}}{4}=-\frac12.
\]
Выбираем
\[\tag{66}
g=\frac{\pi}{3},
\qquad
h=\frac{2\pi}{3}.
\]
Полином раскладывается на два фазовых квадратных множителя:
\[\tag{67}
x^4+x^2+1
=\left(x^2-x+1\right)
\left(x^2+x+1\right).
\]
Четыре корня равны
\[\tag{68}
x_{1,2}=e^{\pm i\pi/3},
\qquad
x_{3,4}=e^{\pm i2\pi/3}.
\]
Единое расщеплённое решение имеет вид
\[\tag{69}
\boxed{
\begin{aligned}
X_4={}&\ep\left(
\pmp e^{i\pi/3}
+\pme e^{-i\pi/3}
\right)\\
&+\em\left(
\pmp e^{i2\pi/3}
+\pme e^{-i2\pi/3}
\right).
\end{aligned}
}
\]
Каждая из четырёх проекций элемента (69) является корнем уравнения (64), поэтому \(P_4(X_4)=0\).
16. Пример 2. Уравнение четвёртой степени с разными амплитудами
Теперь рассмотрим уравнение, корни которого лежат на окружностях разных радиусов:
\[\tag{70}
x^4-2x^3+13x^2-18x+36=0.
\]
Полином раскладывается следующим образом:
\[\tag{71}
x^4-2x^3+13x^2-18x+36
=\left(x^2-2x+4\right)
\left(x^2+9\right).
\]
Сравним первый множитель с общей фазово-амплитудной формой \(x^2-2\rho x\cos g+\rho^2\). Получаем
\[\tag{72}
\rho=2,
\qquad
\cos g=\frac12,
\qquad
g=\frac{\pi}{3}.
\]
Для второго множителя имеем
\[\tag{73}
\sigma=3,
\qquad
\cos h=0,
\qquad
h=\frac{\pi}{2}.
\]
Следовательно, корни уравнения равны
\[\tag{74}
x_{1,2}=2e^{\pm i\pi/3}=1\pm i\sqrt3,
\qquad
x_{3,4}=3e^{\pm i\pi/2}=\pm3i.
\]
Объединим их в одном элементе:
\[\tag{75}
\boxed{
\begin{aligned}
X_4={}&2\ep\left(
\pmp e^{i\pi/3}
+\pme e^{-i\pi/3}
\right)\\
&+3\em\left(
\pmp e^{i\pi/2}
+\pme e^{-i\pi/2}
\right).
\end{aligned}
}
\]
На плоскостях \(\ep\pmp\) и \(\ep\pme\) располагается сопряжённая пара с модулем \(2\), а на плоскостях \(\em\pmp\) и \(\em\pme\) — пара с модулем \(3\). Этот пример показывает, что единичная фазовая нормировка удобна, но не обязательна.
17. Пример решения уравнения третьей степени
Рассмотрим уравнение
\[\tag{76}
x^3-2x^2+2x-1=0.
\]
Здесь \(A=-2\), \(B=2\), \(C=-1\). Условия (31) выполняются:
\[\tag{77}
C=-1,
\qquad
B=AC=(-2)(-1)=2.
\]
Из \(C=-s\) находим \(s=1\). Фаза сопряжённой пары по формуле (32):
\[\tag{78}
g=\arccos\left(
\frac{-1-(-2)}{2}
\right)
=\arccos\frac12
=\frac{\pi}{3}.
\]
Следовательно,
\[\tag{79}
x^3-2x^2+2x-1
=(x-1)(x^2-x+1),
\]
а три корня равны
\[\tag{80}
x_1=1,
\qquad
x_{2,3}=e^{\pm i\pi/3}.
\]
Единое расщеплённое решение:
\[\tag{81}
\boxed{
X_3=\ep+
\em\left(
\pmp e^{i\pi/3}
+\pme e^{-i\pi/3}
\right)
}.
\]
Плоскость \(\ep\) содержит корень \(1\), а дочерние плоскости \(\em\pmp\) и \(\em\pme\) содержат сопряжённые корни.
18. Завершающий пример квадратного уравнения
В предыдущих примерах дважды встретился квадратный множитель
\[\tag{82}
x^2-x+1=0.
\]
Его корни равны \(e^{\pm i\pi/3}\), поэтому расщеплённое решение имеет первоначальную двухкомпонентную форму:
\[\tag{83}
\boxed{
X_2=\ep e^{i\pi/3}
+\em e^{-i\pi/3}
}.
\]
Так одна и та же сопряжённая пара появляется на уровнях второй, третьей и четвёртой степени. Меняется не сама пара, а число дополнительных независимых значений, присоединённых посредством дальнейшего расщепления.
19. Что именно даёт предложенный метод
Идемпотентная конструкция объединяет все корни полинома в одном элементе, сохраняет их независимость и объясняет связь между количеством конечных плоскостей и степенью минимального полинома. Для фазово-нормированных классов коэффициенты непосредственно определяют фазы, как в формулах (32) и (52).
Однако само разложение
\[\tag{84}
X=\sum_kE_kr_k
\]
не является отдельной общей формулой нахождения неизвестных \(r_k\) для произвольного полинома. Если амплитуды и фазы заранее не связаны симметрией коэффициентов, их определение остаётся исходной алгебраической задачей. Новое содержание метода состоит в геометрии корней, в иерархии плоскостей и в естественном механизме повышения и понижения степени.
Для специальных нормированных семейств метод одновременно даёт и представление, и простое решение. Для произвольного полинома он прежде всего даёт единую спектрально-идемпотентную форму всех корней.
20. Обобщение на степень n
После \(m\) полных бинарных уровней расщепления возникает \(2^m\) конечных ортогональных плоскостей. Поэтому для размещения \(n\) независимых корней достаточно
\[\tag{85}
\boxed{
m=\left\lceil\log_2 n\right\rceil
}.
\]
Например,
\[\tag{86}
n=2\Rightarrow m=1,
\qquad
n=3,4\Rightarrow m=2,
\qquad
n=5,6,7,8\Rightarrow m=3.
\]
При этом необязательно расщеплять все ветви до одинаковой глубины. Для трёх корней одна первичная плоскость остаётся целой, а вторая делится на две. Именно поэтому два уровня дают не только четыре, но и промежуточные три независимые конечные плоскости.
21. Выводы
Два первичных идемпотента позволяют объединить два корня квадратного уравнения. Расщепление одной первичной плоскости создаёт три независимые компоненты и допускает кубический минимальный полином. Расщепление обеих первичных плоскостей создаёт четыре компоненты и полином четвёртой степени.
Обратный процесс также имеет простой геометрический смысл. Если значения на двух дочерних плоскостях совпадают, они складываются в родительскую плоскость. Повторяющийся множитель сохраняется в формальном полиноме более высокой степени, но исчезает из минимального полинома элемента.
\[\tag{87}
\boxed{
\text{расщепление плоскостей}
\Longleftrightarrow
\text{увеличение числа независимых корней}
}
\]
\[\tag{88}
\boxed{
\text{слияние одинаковых значений}
\Longleftrightarrow
\text{понижение степени минимального полинома}
}
\]
Таким образом, алгебраическая степень получает наглядную геометрическую интерпретацию: она выражает число различных значений, которые единый многоуровнево расщеплённый элемент принимает на своих конечных идемпотентных плоскостях.