Эта тема, начатая в предыдущей части, будет неполная, если не попробовать перемножать векторные синусы и косинусы с разными углами. При этом мы получим совершенно неожиданные результаты, которые принципиально недостижимы при скалярном умножении тригонометрических функций. Для этого мы применим аппарат гиперболической векторной алгебры, ряды Маклорена [1] и классическую тригонометрию.

Напомним формулы для векторного косинуса и синуса: \[ \S = \sumn{1} \j_{2n}\, (\i)^n \sqrt{ \frac12 {\a^{2n} \over (2n)!} } \\ \S^{*} = \sumn{1} \j_{2n}\, (\oi)^n \sqrt{ \frac12 {\a^{2n} \over (2n)!} } \tag{1}\] \[ \Cos\v = \j_0 + \S \tag{2}\] \[ \Sin\v = \ik \S \tag{3}\] Здесь: \(\j_n\) — единичные вектора многомерного пространства, \(\i\) — гиперболическая единица квадрат которой равен плюс один, а \(\oi\) — единица, комплексно-сопряженная к ней, \(\v\) — угол, взятый для удобства отображения, как половина от \(\a\). Векторный синус и косинус обозначаются соответственно: \(\Sin\v\) и \(\Cos\v\).

Но в этой части работы мы рассматриваем действие с двумя разными углами, поэтому обозначим \[ \v_1 = {\a_1 \over 2}, \quad \v_2 = {\a_2 \over 2} \tag{4}\] Сначала найдём произведение векторных синусов двух углов, используя (3) \[ \Sin\v_1 \cdot \Sin\v_2 = \oi \S_1^{*} \cdot \ik \S_2 = \oi \ik \sumn{1} (\oi)^n (\i)^n \frac12 { (\aaq)^{2n} \over (2n)!} \tag{5}\] Так как в гиперболической алгебре \[ \oi\kern1pt^n \cdot \i^n = (-1)^n \] то \[ \Sin\v_1 \cdot \Sin\v_2 = -\sumn{1} (-1)^n \frac12 {(\aaq)^{2n} \over (2n)!} \tag{6}\] Очевидно, что сумма ряда равна скалярному косинусу без единицы, что следует из ряда Маклорена [1], если принять что \[ \sqrt{\mathstrut \a_1 \a_2} = x \] Отсюда мы получаем окончательное выражение \[ \Sin\v_1 \cdot \Sin\v_2 = {1 - \cos(\aaq) \over 2} = \sin^2\vvq \tag{7}\] Попробуйте оценить, насколько существенно — как по форме, так и по содержанию — различается перемножение скалярных тригонометрических функций и их векторных аналогов.

Давайте проделаем то же самое и с произведением векторных косинусов двух углов \[ \Cos\v_1 \cdot \Cos\v_2 = (\j_0 + \S_1^{*}) \cdot (\j_0 + \S_2) = 1 + \S_1^{*} \cdot \S_2 \tag{8}\] Здесь ситуация аналогичная, и сумма ряда равна скалярному косинусу без единицы. Подставляя его в предыдущее выражение получим: \[ \Cos\v_1 \cdot \Cos\v_2 = {1 + \cos \sqrt{\mathstrut \a_1 \a_2} \over 2} = \cos^2 \vvq \tag{9}\] Из формул (7) и (9) автоматически получается следующее красивое выражение: \[ \Sin\v_1 \cdot \Sin\v_2 + \Cos\v_1 \cdot \Cos\v_2 = 1 \tag{10}\] Это неочевидное свойство можно применять для векторных матриц поворота.

Сведём полученные формулы из этой и предыдущей части работы в одну таблицу.

№	Действие	Результат
1	\( \Sin\v_1 \cdot \Sin\v_2 \)	\( \sin^2 \vvq \)
2	\( \Cos\v_1 \cdot \Cos\v_2 \)	\( \cos^2 \vvq \)
3	\( \Sin\v_1 \cdot \Sin\v_2 + \Cos\v_1 \cdot \Cos\v_2 = 1 \)
4	\( \Cos\v_1 \cdot \Sin\v_2 \)	\( -\ik \sin^2 \vvq \)
5	\( \Sin\v_1 \cdot \Cos\v_2 \)	\( \ik \sin^2 \vvq \)
6	\( \left[ \Cos\v + \Sin\v \right]^2 \)	\( 1 \)
7	\( \left[ \Cos\v - \Sin\v \right]^2 \)	\( 1 \)
8	\( | \Cos\v + \Sin\v |^2 = |\Cos\v|^2 + |\Sin\v|^2 = 1 \)
9	\( |\Cos\v - \ik\Sin\v | \)	\( 1 \)
10	\( \Cos\v - \ik\Sin\v \)	\( \j_0 \)

Для ясности анализа строк в таблице 1 уточним, что в квадратичном счислении векторные множители, в общем случае, не коммутируют.

Такое рассмотрение векторных синусов и косинусов показывает, что их поведение при умножении существенно отличается от классических тригонометрических функций. Полученные закономерности не только расширяют математическое представление о тригонометрии, но и открывают возможности для практического применения в области матричных преобразований и моделирования вращений.