Рассмотрим простейшую RC-цепочку, но с одним дополнением — сопротивление \(R\) здесь параметрически меняется в зависимости от времени: \(R = R(t)\). Ёмкость \(C\) постоянна во времени, но предварительно заряжена до напряжения \(U_{0}\). Т.е. в начальный момент времени, перед замыканием цепи ключом SW: \[U(0)=U_{0} \qquad (1.1)\]

Составим уравнение для этой цепи при условии, что ключ SW замыкается в момент времени \(t=0\): \[ {dU(t) \over dt} + {U(t) \over C \, R(t)} = 0 \qquad (1.2) \] Перед нами однородное дифференциальное уравнение первого порядка. После его решения [1] и нахождения начальных коэффициентов, получаем окончательную зависимость напряжения на конденсаторе от времени: \[ U(t) = U_{0} \, exp \left( -{1 \over C} \int {dt \over R(t)} \right) \qquad (1.3) \]

Но нам нужно получить значение энергии, которое получит сопротивление в результате разрядки конденсатора. Для этого вспоминаем школьную формулу для мощности: \[ I(t) = {dQ(t) \over dt} \] где \(Q\) — заряд, который находится в конденсаторе. Также напомним, что: \(Q(t) = C\,U(t)\). Для нахождения общей энергии \(W_{R}\), которая пройдёт через \(R\), применим известную формулу в интегральной форме: \[ W_{R} = \int_0^\tau I(t)^{2} \, R(t) \, dt \qquad (1.4) \] где \(\tau\) — время разряда. Подставляя в неё все полученные ранее формулы, дифференцируя и делая подстановки, получаем окончательный результат: \[ W_{R} = { C\,U_{0}^2 \over 2 } \left( 1 - exp \left( -{2 \over C} \int_0^\tau {dt \over R(t)} \right) \right) \qquad (1.5) \]

Теперь мы должны найти энергию \(W_{c0}\), которой мы должны были предварительно зарядить конденсатор, вычесть из неё оставшуюся в том случае, если мы не ждём полного разряда, а затем сравнить затраченную энергию \(W_{C}\) и полученную в нагрузке \(W_{R}\).

Общая потенциальная энергия конденсатора находится по известной формуле: \[ W_{c0} = {C\,U_{0}^2 \over 2}, \] но если не ждать полного разряда конденсатора и разомкнуть цепь ключом SW в момент \(\tau\), то оставшаяся энергия будет находиться так: \[ W_{c\tau} = {C\,U(\tau)^2 \over 2} \qquad (1.6) \] Напряжение на конденсаторе, в момент размыкания ключа, находится по формуле (1.3): \[ U(\tau) = U_{0} \, exp \bigg( -{1 \over C} \int_0^\tau {dt \over R(t)} \bigg) \qquad (1.7) \] Таким образом, затраченная энергия будет находиться, как разность \(W_{c0}\) и \(W_{c\tau}\): \[ W_{C} = W_{c0} - W_{c\tau} = { C\,U_{0}^2 \over 2 } \left( 1 - exp \left( -{2 \over C} \int_0^\tau {dt \over R(t)} \right) \right) \qquad (1.8) \] Сравнивая формулы (1.5) и (1.8) видим, что \(W_{C}\) и \(W_{R}\) равны, причём это совершенно не зависит ни от свойств параметрического сопротивления, ни от момента размыкания ключа.

Доказательство для RL-цепи приводится аналогично, только вместо напряжения подставляется ток \(I\), вместо \(C\) — индуктивность \(L\), а \(R\) перемещается из знаменателя в числитель: \[ {dI(t) \over dt} + {I(t) \, R(t) \over L} = 0 \] Это доказательство читатель может вывести самостоятельно, но оно также покажет, что случае с постоянной индуктивностью в RL-цепи также невозможно получение прибавки энергии, даже если \(R\) — параметрическое.