2017-02-12
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Гармоники LC-резонанса в однослойной катушке индуктивности
Много споров ведётся о том, как считать гармоники LC-резонанса в однослойной катушке возбуждаемой индуктором. Часть исследователей считает, что для получения правильного результата достаточно умножить номер вычисляемой гармоники на частоту первой. Они исходят из понятий волны и считают, что раз она может кратно делиться, то частота будет обратно пропорционально умножаться. При этом они забывают о том, что для разных частот существует своя скорость распостранения волны [1]. Кроме того, внешняя ёмкость или ёмкость заземления вносит свои коррективы в частоту первой гармоники, что в результате приводит к многократной ошибке, при подсчёте рабочей частоты катушки на высших гармониках.
Проведенные исследования разных катушек показали довольно необычный результат, плохо объяснимый классическими законами. Например, если катушка не подключена к внешней ёмкости (будем далее называть эту частоту базовой), то вторая гармоника считается простым умножением этой частоты на два. А вот «на три» базовая частота умножается для получения не третьей гармоники, как ожидалось, а четвёртой. «На четыре» базовая частота умножается для получения шестой гармоники, а не ожидаемой четвёртой, и т.д. На частоты нечётных гармоник оказывает влияние внешняя ёмкость.
Ниже приводятся графики рабочих частот в зависимости от номера гармоники для двух различных катушек. На левом графике отображены результаты для первой катушки, где: fi — рабочая частота заземлённой катушки без внешней ёмкости (МГц), f2i — рабочая частота заземлённой катушки с внешней ёмкостью в 12пФ, i — номер гармоники. На правом графике отображены результаты для второй катушки, где: fi — рабочая частота незаземлённой катушки без внешней ёмкости, f2i — рабочая частота заземлённой катушки без внешней ёмкости, i — номер гармоники.
График зависимости резонансной частоты от номера гармоники График зависимости резонансной частоты от номера гармоники (2)
Как видим, ни о каком простом умножении номера гармоники на базовую частоту речи идти не может. Также видно, что нечётные гармоники идут чуть ниже ожидаемых, делая график ломаным. К слову, на графике отражены данные катушек, которые были задействованы в другом эксперименте: левый — катушка 2, правый — катушка 3.
Как считать частоту гармоник
Для этого введём некторые термины, которые могут упростить дальнейшее понимание процессов. Собственная базовая частота \(f_s\) — резонансная частота первой гармоники катушки без подключенных внешних ёмкостей. При этом ёмкость заземления учитывается в расчёте, если таковое используется. Эту частоту можно найти экспериментальным путём, либо расчётом в калькуляторе, например в этом.
Общая базовая частота \(f_g\) — резонансная частота первой гармоники катушки с подключёнными внешними ёмкостями. Под внешней ёмкостью понимают либо подключенный параллельно катушке конденсатор, либо уединённую ёмкость подключаемую к её «горячему» концу. Эту частоту также получают либо экспериментально, либо в калькуляторе. Понятно, что без внешней ёмкости частоты \(f_s\) и \(f_g\) будут равны.
Тогда частота для первой гармоники будет равняться общей базовой и находиться так: \[f_1 = f_g \qquad (1.1) \] Частоты для чётных гармоник находятся так: \[f_i = \left({i+2 \over 2}\right) f_s, \quad i \in 2, 4, 6, 8 ... \qquad (1.2) \] Частоты для нечётных гармоник находятся так: \[f_i = \left({i+1 \over 2}\right) f_s + {f_g \over 4}, \quad i \in 3, 5, 7, 9 ... \qquad (1.3) \] где: \(f_i\) — резонансная частота катушки на i-той гармонике, \(i\) — номер гармоники.
Общий алгоритм подсчёта резонансной частоты катушки в зависимости от номера гармоники может быть таким: \[f_i = \begin{cases} f_g, & \mbox{если }i=1 \\ \left({i+2 \over 2}\right) f_s, & \mbox{если }i\mbox{ чётное число} \\ \left({i+1 \over 2}\right) f_s + {f_g \over 4}, & \mbox{в других случаях} \end{cases} \]
Выводы
В результате проведенных экспериментов была выведена нелинейная зависимость резонансной частоты однослойной катушки от номера гармоники возбуждающих колебаний. Полностью подтверждена гипотеза о том, что расчёты частоты для LC-резонанса и для для стоячей волны совершенно различны, а значит — это два разных и, возможно, полностью независимых процесса. Последний — подчиняется совсем другим закономерностям описанным в работе [1].
Используемые материалы
  • [1]  Alan Payne. SELF-RESONANCE IN COILS, 2014

Горчилин Вячеслав, 2016 г.
* Использование материалов сайта возможно с условием установки соответствующих ссылок и соблюдения авторских прав

2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin