Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-11-01
Все заметки / Единичное пространство
Свёртка глобального вектора для постоянной скорости
В этой работе мы расскажем об одном из самых замечательных свойств глобального вектора — его свёртываемости. Его азы уже освещались ранее, теперь мы представим это свойство более детально, и с примерами. Оно позволяет превращать линейную функцию в дискретную, да ещё и в вероятностную! Т.е. как будет выглядеть эта функция на самом деле, определит случай, либо какая-то пока неучтённая характеристика конкретного пространства.
Когда точка начинает движение, — а здесь мы предположим, что она движется прямолинейно и равномерно, — то её глобальный вектор скорости (GVV) приобретает следующий вид: \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n, \quad \beta = v/c \qquad (1.1)\] где: \(\mathbf{j_0, j_1,\ldots ,j_n}\) — единичные вектора ортонормированного базиса, \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2}\) — Лоренц-фактор, а \(v\) — постоянная скорость в реальном пространстве. Давайте сразу перейдём к одному из вариантов уже свёрнутого вектора по формуле (4.10) из 4-го свойства GVV: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} {c \over \gamma} + \mathbf{j_1} {v \over \gamma} + \mathbf{j_2} {v^2 \over c} \sin(\psi) + \mathbf{j_3} {v^2 \over c} \cos(\psi) \qquad (1.2)\] Часть этого вектора отображена на рисунке (1).

Напоминаем, что возможности отображения бесконечномерного вектора на двумерной плоскости сильно ограничены и мы можем показать от силы трёхкоординатное пространство. Поэтому на наших изображениях, координату с единичным вектором \(\mathbf{j_0}\) мы опускаем, для большей информативности остальных координат.

Рис.1. Свёртка GVV по формуле (1.2)
Рис.2. Свёртка GVV по формуле (1.8)
Для GVV самым важным является энергия, которая находится очень просто и которая всегда должна равняться квадрату скорости света: \[E = \mathbf{V}\cdot \mathbf{V} = c^2 \qquad (1.3)\]

Напомним, что это свойство следует из приведеного (нормированного) глобального вектора скорости \(\mathbf{R}\), модуль которого всегда равен единице, а \(\mathbf{V} = c\mathbf{R}\).

Проверка формулы (1.2) на это свойство даст именно такой результат! Давайте разберём ещё один вариант свёртки GVV, но для начала обозначим наши трёхмерные координаты так: \[\mathbf{x} = \mathbf{j_1} {v \over \gamma}a_m, \quad \mathbf{y} = \mathbf{j_m} c \beta^m \sin(\psi), \quad \mathbf{z} = \mathbf{j_{m+1}} c \beta^m \cos(\psi), \quad m \ge 2 \qquad (1.4)\] Тогда наш свёрнутый GVV примет такой вид: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} {c \over \gamma} + \mathbf{x} + \mathbf{y} + \mathbf{z} \qquad (1.5)\] Причём заметьте, что теперь возле второй и третьей координаты стоит не конкретное значение \(n\), а случайно выбранное — \(m\). Поскольку в таком виде свойство формулы (1.3), в общем случае, выполняться не будет, то для его выполнения мы домножим первую координату на некий коэффициент \(a_m\). Остаётся его найти, используя свойство (1.3): \[c^2 = {c^2 \over \gamma^2} + {v^2 \over \gamma^2} a_m^2 + c^2 \beta^{2m} \sin(\psi)^2 + c^2 \beta^{2m} \cos(\psi)^2 \qquad (1.6)\] \[a_m = \pm \gamma \sqrt{1 - \beta^{2(m-1)}}, \quad m \ge 2 \qquad \qquad (1.7)\] Исходя из рисунка (1) выберем плюс перед этим коэффициентом. Подставляя всё это в формулу (1.4) получим следующие координаты: \[x = v \sqrt{1 - \beta^{2(m-1)}}, \quad y = c \beta^m \sin(\psi), \quad z = c \beta^m \cos(\psi), \quad m \ge 2 \qquad (1.8)\] Здесь мы убрали единичные векторы, т.к. направления координат понятны и без них (рис. 2). Кстати, вы можете проверить: формула (1.8), с учётом координаты времени, полностью сохраняет свойство (1.3). Но для большей наглядности давайте пронормируем полученные координаты, т.е. — разделим их на скорость света. Это даст нам возможность отобразить их на рисунках, без оглядки на абсолютные значения скоростей: \[\bar x = \beta \sqrt{1 - \beta^{2(m-1)}}, \quad \bar y = \beta^m \sin(\psi), \quad \bar z = \beta^m \cos(\psi), \quad m \ge 2 \qquad (1.9)\] Мы подошли к самому интересному — наглядной демонстрации такого варианта свёртки глобального вектора по этой формуле. Напомним только, что \(m\) — целое число и может меняться от двух до бесконечности, а угол \(\psi\) — в диапазоне (\(0..2\pi\)). Проведём иллюстрацию с помощью программы MathCAD. Для этого выберем 100 точек из интервала угла \(\psi\) при каждом из \(m\) и, меняя относительную скорость, получим следующие графики (рис. 3-6). Каждый свёрнутый вектор располагается от центра (\(x=0\)) и до окружности (\(x=\beta\)), образованной ими. По самой большой окружности будут расположены свёрнутые вектора при \(m=2\), на меньшей — при \(m=3\), и т.д.
Рис.3. Свёртка GVV при β=0.1
Рис.4. Свёртка GVV при β=0.25
На этих рисунках мы видим вариант проекции глобального вектора на четырёхмерное пространство (отображается только три координаты). На них показана вероятностная картина — все возможные варианты, но в реальности, в каждый момент времени, может проявится только один из таких свёрнутых векторов. Интересно, что длина любого из них, если учитывать координату при \(\mathbf{j_0}\), всегда будет равна единице. Не забываем, что мы перешли к нормированным значениям координат.
Рис.5. Свёртка GVV при β=0.5
Рис.6. Свёртка GVV при β=0.8
Ниже — представляем ещё два изображения свёрнутого GVV по формуле (1.9), где зазоры между вероятностыми векторами заштрихованы, что создаёт более реальную картину, т.к. на самом деле вероятностных векторов при каждом \(m\) не 100, а бесконечное количество (рис. 7-8).
Рис.7. Свёртка GVV при β=0.9
Рис.8. Свёртка GVV при β=0.9 (другой ракурс)
Итак, вначале мы имели только скалярную величину, которую разложили на глобальный вектор по Лоренц-фактору, затем этот GVV свернули и получили набор вероятностных векторов с дискретными значениями \(m\). Как тут не вспомнить корпускулярно-волновой дуализм: не из обычной геометрии ли он получается? Но об этом интересном свойстве GVV мы поговорим в другой раз.
Свёртку, предложенную в этой работе, можно распостранить и на глобальный вектор длины при условии, что точка также движется прямолинейно и равномерно. Тогда GVV достаточно домножить на время \(t\): \[\mathbf{L} = \frac{ct}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \qquad (1.10)\] Также, следует напомнить нашим читателям, что здесь рассматривался только один из вариантов свёртки глобального вектора. Другие варианты, а также случаи с неравномерным движением, мы рассмотрим в следующих работах.