Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-10-10
Все заметки / Единичное пространство
Некоторые свойства глобального вектора (4)
Вполне логично предположить, что раз мы можем разложить скаляр на вектор, то таким же образом можем его и свернуть. Самое интересное, что можно свернуть не только весь глобальный вектор обратно в скаляр, но и его часть. Это можно доказать строго математически, но наша задача — использовать минимум формул и только самых необходимых. Понять принцип свёртки можно из рисунка (1), где изображён цилиндр C в трёхмерном пространстве. Его проекция (свёртка) на двумерное пространство может из себя представлять как круг (рис. 1a), так и прямоугольник (рис. 1b).
Рис.1. Различные проекции трёхмерного цилиндра на двумерное пространство.
Точно так же можно спроецировать трёхмерный куб на двумерное пространство, из чего может получиться квадрат или, в общем случае, параллелограмм. Уже отсюда очевидно, что реализация конкретной проекции будет зависеть от способа её измерения, и, разумеется, характеристик самого пространства. С первой из них — Лоренц-фактором — мы уже знакомы, а о второй поговорим немного позже. Сейчас же нас будет интересовать, каким образом можно сворачивать глобальный вектор скорости.
4-е свойство. Свёртываемость (проекция) части глобального вектора
Напомним, что глобальный вектор скорости выглядит так: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\}, \quad \gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2} \qquad (4.1)\] Давайте выберем направления, а значит и знак перед его коэффициентами. Это мы сделаем для простоты, но всё будет работать и в более обобщённом виде. Тогда наш вектор станет таким: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{1,\, \beta,\, \beta^2,\, \ldots,\, \beta^n \right\} \qquad (4.2)\] Давайте теперь оставим только две первые координаты, а остальные — свернём (спроецируем) на вторую: \[\mathbf{R} = \left\{\frac{1}{\gamma},\, \beta \right\} = \left\{\sqrt{1 - \beta^2},\, \beta\right\} \qquad (4.3)\] Проверяем: \[\mathbf{R}\cdot \mathbf{R} = 1 \qquad (4.4)\] Как мы это сделали? Очень просто. Для этого нужно часть вектора \(\mathbf{R}\) преобразовать по следующему алгоритму: \[\mathbf{R} = \left\{\frac{1}{\gamma},\, \frac{1}{\gamma} \sqrt{\beta^2 + \left(\beta^2 \right)^2 + \ldots + \left(\beta^n \right)^2} \right\} \qquad (4.5)\] Т.е. для части вектора нужно просто использовать обратный алгоритм от первичного. Также, если произвести действия свёртки над степенным рядом, то мы получим следующий результат \[\frac{1}{\gamma} \sqrt{\beta^2 + \left(\beta^2 \right)^2 + \ldots + \left(\beta^n \right)^2} = \beta \qquad (4.6)\] который нас приведёт к формуле (4.3). Она и будет отражать одну из возможных проекций глобального вектора. Если мы домножим полученную проекцию на скорость света, то получим одно из отражений на наш реальный мир: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} c\sqrt{1 - \beta^2} + \mathbf{j_1} v \qquad (4.7)\] где: \(\mathbf{j_0}, \mathbf{j_1}\) — единичные вектора двух координат: времени и пространства, а \(v\) — привычная нам скорость. Свёрнутый таким образом вектор наглядно изображён на рисунке (2a).
Рис.2. Два варианта свёртки глобального вектора.
Можно придумать и другие проекции, например такую: \[\mathbf{R} = \left\{\frac{1}{\gamma},\,\frac{\beta}{\gamma},\, \beta^2 \right\} \qquad (4.8)\] Тогда при умножении на \(c\) вектор скорости примет такой вид: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} {c \over \gamma} + \mathbf{j_1} {v \over \gamma} + \mathbf{j_2} {v^2 \over c} \qquad (4.9)\] Но если мы находимся в трёхмерном пространстве и знаем, что в одной из пространственных координат скорость равна \(v / \gamma\), то две оставшиеся координаты должны будут распределить между собой третье слагаемое (третий вектор) в (4.9): \(v^2 / c\). Т.е. вероятность, что этот вектор расположится на одной из этих координат одинакова, главное, чтобы длина этого вектора в любом случае была одинаковой. Математически это можно оформить так: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} {c \over \gamma} + \mathbf{j_1} {v \over \gamma} + \mathbf{j_2} {v^2 \over c} \sin(\psi) + \mathbf{j_3} {v^2 \over c} \cos(\psi) \qquad (4.10)\] где: \(\psi\) — вероятность, которая может меняться в диапазоне: \(0\ldots 2\pi\). Таким образом, вектор, располагающийся на второй и третьей пространственной координате, представляет из себя конус вероятности с радиусом основания \(v^2 / c\), и может быть расположен в любом месте на его поверхности с равной вероятностью (рис. 2b). На этом рисунке отражены только три пространственные координаты и соотвествующие им единичные векторы: \(\mathbf{j_1}, \mathbf{j_2}, \mathbf{j_3}\), т.к. нарисовать четырёхмерное пространство, в котором бы отобразился весь глобальный вектор, не представляется возможным.
В этом параграфе мы представили лишь некоторые варианты свёртки глобального вектора. Очевидно, что при таком преобразовании теряется часть параметров вектора, и это нужно обязательно учитывать при дальнейшем его использовании. Например, при операциях с двумя (или более) векторами нельзя использовать их свёрнутые аналоги, результат такой операции будет неверным. Тем не менее, свёртка необходима для понимания процессов, происходящих в реальном конечномерном пространстве.