Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-10-23
Все заметки / Единичное пространство
Эффект Доплера. Геометрия и математика
В этой заметке, с помощью двух глобальных векторов длины, мы покажем простой вывод формулы для релявистского эффекта Доплера [1]. Как и ранее, здесь не будет применяться дифференциирование и инерциальные системы отсчёта, всё будет построено на обычной векторной алгебре, а сам эффект будет очевиден из геометрических построений.
Сформулируем задачу так. Относительно неподвижной системы координат (опорный базис, где расположен приёмник) движется точка с источником колебаний определённой частоты (передатчик), направленных к приёмнику. Требуется найти смещение частоты в приёмнике относительно частоты, излучаемой передатчиком.
Мы пойдём путём рассмотрения геометрии двух глобальных векторов длины, первый из которых \(\mathbf{L}\) представляет движение точки, а второй — \(\mathbf{LL}\) — отображает движение волны, которую геометрически также мы представим в виде ещё одной точки, движущейся относительно первой. Такой подход позволит наглядно продемонстрировать простоту метода и обойтись даже без векторной алгебры, т.к. мы будем учитывать уже известные формулы, выведенные ранее.

Термин «глобальный вектор длины» далее мы условимся кратко обозначать так: GVL. Не забываем, что в действительном пространстве он многомерный и отразить его на рисунке мы можем лишь частично.

Ортонормированный базис — \(\mathbf{j_0\ldots j_n}\) — будем называть опорным, т.к. относительно него мы и будем подсчитывать доплеровское смещение. Положим, что относительно опорного базиса прямолинейно и равномерно движется точка с известной скоростью \(v_1\), вектор которой \(\mathbf{L}\) на рисунке (1) отображён оранжевым цветом. Относительно первой точки, и её базиса, движется вторая — с также известной скоростью \(v_2\). Её глобальный вектор \(\mathbf{LL}\) будет образовывать относительно первого GVL угол \(\alpha\), а относительно опорного базиса — угол \(\varphi\). На рисунке (1) этот GVL нарисован голубым цветом. У нас остаётся неизвестной скорость \(v\), которая измеряется измеряется между \(\mathbf{LL}\) и опорным базисом, и является релятивистской разностью двух скоростей: \(v_1\) и \(v_2\).

Напоминаем, что каждой скорости соответствует её относительная величина, например: \(\beta = v/c\), \(\beta_1 = v_1/c\) \(\beta_2 = v_2/c\), где \(c\) — скорость света.

Рис.1. Два GVL соответствующие двум скалярным скоростям. Справа (b) изображён более упрощённый, но более наглядный вариант этих векторов и отрезки, соотношение которых необходимо найти
Для решения поставленной задачи нам нужно просто найти соотношение двух отрезков векторов (рис 1b): \[D = {cT \over cT'} = {T \over T'} \qquad (1.1)\] Но чтобы их найти давайте посмотрим сначала на отражения этих двух векторов на ось времени. Из рисунка (1b) сразу же видно, что: \[cT = |\mathbf{LL}| \cos(\varphi), \quad cT' = |\mathbf{L}| \cos(\alpha) \qquad (1.2)\] Теперь нам осталось выразить углы на рисунке через соответствующие Лоренц-факторы \[\cos(\varphi) = 1 / \gamma, \quad \cos(\alpha) = 1 / \gamma_2 \qquad (1.3)\] и, сокращая скорости света, получить простые соотношения: \[T = t / \gamma, \quad T' = t / \gamma_2 \qquad (1.4)\]

В качестве напоминания. В этих формулах соответствующие Лоренц-Факторы определяются следующим образом: \(\quad \gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2},\, \gamma_1 = 1 / \sqrt{1 - \beta_1^2},\, \gamma_2 = 1 / \sqrt{1 - \beta_2^2}\), а модуль (длина) GVL — так: \(|\mathbf{L}| = |\mathbf{LL}| = ct |\mathbf{R}| = ct\).

Ранее мы уже упоминали об этом очевидном абсолютном геометрическом сокращении времени в движущихся системах отсчёта. Теперь это свойство нам понадобится для поиска его относительных значений. Итак, из предыдущих соотношений следует: \[D = {T \over T'} = {\cos(\varphi) \over \cos(\alpha)} = {\gamma_2 \over \gamma} \qquad (1.5)\] Откуда остаётся найти \(\gamma\) и соответствующую ей относительную скорость \(\beta\). Такое доказательство мы уже приводили для суммы-разности скоростей: \[\beta = {\beta_1 - \beta_2 \over 1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (1.6)\] К слову, релятивистский доплеровский эффект оказывается напрямую связан именно со сложением скоростей, а оно, в свою очередь, с замедлением времени в движущихся системах отсчёта. Последнее — является следствием глобального закона сохранения энергии и её перераспределения.
Вводя (1.6) под квадратный корень, теперь мы можем найти Лоренц-фактор разности скоростей: \[\gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2} = \gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2) \qquad (1.7)\] Если мы теперь подставим это выражение в (1.5), то получим: \[D = {1 \over \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2)} \qquad (1.8)\] В наиболее общем виде вектор \(\mathbf{LL}\) может быть дополнительно повёрнут относительно \(\mathbf{L}\) на угол \(\theta\) в перпендикулярной плоскости. Тогда формула дополнится косинусом этого угла и приобретёт следующий окончательный вид: \[D = {T \over T'} = {1 \over \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos(\theta))} \qquad (1.9)\] Т.е. в ситуации, когда передатчик радиально удаляется от приёмника, как на рисунке (1), этот угол равен нулю, а если приближается — то равен \(\pi\). Если мы предположим, что из движущейся точки излучаются волны с частотой \(f'\), то мы можем определить частоту \(f\) в приёмнике, который расположен неподвижно относительно опорного базиса, так: \[{f \over f'} = \gamma_1 (1 - \beta_1 \beta_2 \cos(\theta)) \qquad (1.10)\] Напоминаем, что здесь \(f'\) — частота, с которой движущийся передатчик излучает волны, а \(f\) — частота, фиксируемая неподвижным приёмником (относительно опорного базиса). Последняя формула не соответствует классическому виду релятивистского эффекта Доплера [1], и выглядит относительно классики как бы зеркально. Но именно в таком виде она раскрывает суть некоторых эффектов, которые ранее не могли быть объяснены с точки зрения теории относительности. Об этом — следующий раздел.
 
Используемые материалы
  1. Википедия. Эффект Доплера.