Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-10-02
Все заметки / Единичное пространство
Преобразование единицы в вектор
Столь необычное название этой работы связано с нетрадиционными представлениями о пространстве, да и обо всём размещающимся в нём, окружающем нас мире. В первой её части мы покажем и докажем, что скаляр — это свёрнутый вектор и расскажем, как из первого «приготовить» второе, и наоборот. Такой подход на вещи позволит по-новому взглянуть на само понятие меры и мерности — протяжённости, массы, скорости, ускорения и т.п., которые давно и хорошо устоялись в нашем сознании. Работа будет интересна как классическим физикам, так и нетрадиционщикам, а некоторые её выводы будут касаться наших уважаемых и неутомимых искателей свободной энергии :)
1. Две точки
На рисунке (1) показано движение двух точек друг относительно друга. Здесь, на горизонтальной оси, отложены значения координаты \(x\), а на вертикальной — значения координаты \(y\). Под «точками» мы будем подразумевать геометрические точки, которые не имеют размерности [1], но на рисунках, для лучшей наглядности, мы всё же будем их изображать маленькими кружочками.
Рис.1. Движение одной точки относительно другой в двумерном пространстве
С математической точки зрения, движение красной точки относительно синей (рис. 1) описывается простым двумерным вектором: \[\mathbf{V} = \mathbf{i}\cdot 4\sin(x) + \mathbf{j}\cdot 1 \qquad (1.1)\] где: \(\mathbf{i}, \mathbf{j}\) — единичные векторы осей \(x\) и \(y\) соответственно [2]. Базис, образованный такими осями в теории векторной алгебры называют ортонормированным [3], а если сказать более простыми словами, то единичные вектора просто-напросто перпендикулярны друг другу. Пространство же, образованное двумя такими векторами, оказывается двумерным [4]. Число \(1\) в этой формуле означает расстояние между точками вдоль координаты \(y\), а \(4\) — размах колебаний вдоль координаты \(x\). И действительно, если \(\sin(x)\) стремится к "-1", то красная точка перемещается по этой координате влево и достигает значения "-4", а если \(\sin(x)\) стремится к "1", то — перемещается вправо и достигает значения "4".

Здесь и далее, жирным шрифтом мы будем обозначать векторные величины. Пример: \(\mathbf{V},\, \mathbf{i},\, \mathbf{j},\, \mathbf{g}\)

Как вы думаете, что произойдёт, если мы уберём окружающее двумерное пространство, и оставим наши две точки без координат \(x\) и \(y\)? Как мы помним, наша точка не имеет размерности, а значит — положений «право» или «лево».
Рис.2. Движение одной точки относительно другой в одномерном пространстве
Что же тогда будет наблюдать одна точка относительно другой? Очевидно, это будет колебательные движения относительно друг друга, причём совершаемые в одномерном пространстве! Если мы обозначим единичный вектор этой единственной координаты — \(\mathbf{g}\), то уравнение движения красной точки относительно синей мы сможем найти из теоремы Пифагора, а вектор станет ещё проще: \[\mathbf{V} = \mathbf{g}\cdot \sqrt{(4\sin(x))^2 + 1} \qquad (1.2)\] Полученный одномерный вектор, и его динамика в зависимости от параметра \(x\), визуализированы на рисунке (2). Мысленно его можно представить как отрезок, соединяющий две точки на рис. 1, а раз так, то его можно представить в виде обычной скалярной функции: \[f(x) = \sqrt{(4\sin(x))^2 + 1} \qquad (1.3)\]
Сейчас нам нужно разрешить появившийся парадокс о том, что наши точки могут одновременно находиться и двигаться, как в одномерном, так и в двумерном пространстве. Как же так? Ведь мы привыкли ощущать пространство так, как его видим и для нас оно однозначно! Забегая вперёд мы можем сказать, что движение точки всегда одномерно, а бо́льшая мерность будет определяться свойствами окружающего её пространства и приборов её измеряющих. Но для того, чтобы это осознать, нам придётся доказать небольшую теорему, которая, возможно, перевернёт ваши представления об окружающем мире.
 
Используемые материалы
  1. Википедия. Точка.
  2. Википедия. Единичный вектор.
  3. С.В.Карпова, Г.В.Литовка, Т.А.Маничева, А.П.Филимонова. Элементы векторной алгебры.
  4. Википедия. Двумерное пространство.