Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2019-10-03
Все заметки / Единичное пространство
2. Теорема о преобразовании скаляра в вектор
Математики любят доказывать всё очень строго и по своим особым правилам. Поскольку нам будет важна суть, то мы позволим себе некоторые вольности, а «кесарево оставим кесарю». Тем не менее, здесь мы докажем, что скалярную функцию \(f(x)\) можно разложить в вектор \(\mathbf{f}(x)\) такой, что: \(f(x)^2 = \mathbf{f}(x) \cdot \mathbf{f}(x)\).
Вектор будет выглядеть так: \(\mathbf{f}(x) = \mathbf{j_0} a_0 + \mathbf{j_1} a_1 x^{1/2 } + \mathbf{j_2} a_2 x^{1} + \ldots + \mathbf{j_n} a_n x^{n/2}\),
при этом: \(\mathbf{j_0} \ldots \mathbf{j_n}\) — единичные векторы ортонормированного базиса,
который подразумевает следующие условия: \(\mathbf{j_n}\cdot \mathbf{j_m} = \begin{cases} 0, & \mbox{if } n \neq m \\ 1, & \mbox{if } n = m \end{cases}\).
Коэффициенты при единичных векторах будут находиться так: \(a_n = \pm \sqrt{[f(0)^2]^{(n)} \over n!} \), где \((n)\) — порядок производной по переменной \(x\).

Более современная, но менее наглядная запись вектора такая: \(\mathbf{f}(x) = \left\{ a_0,\, a_1 x^{1/2 },\, a_2 x^{1},\, \ldots,\, a_n x^{n/2} \right\}\). В своих дальнейших изложениях мы будем пользоваться и старой и новой формами записи.

Доказательство
Как известно, любую функцию можно разложить в степенной ряд Маклорена [1]. Квадрат любой функции также будет являться функцией, которую, в свою очередь, также можно разложить в подобный ряд: \[f(x)^2 = a_0^2 + a_1^2 x + a_2^2 x^2 + a_3^2 x^3 + \ldots + a_n^2 x^n \qquad (2.1)\] где: \(n\) — сколь угодно большое целое число. Тогда: \(f(0)^2 = a_0^2\), откуда: \(a_0 = \pm f(0)\). Далее, мы будем брать производную от этого ряда по \(x\), затем находить значение полученной функции от нуля: \[ [f(x)^2]^{(1)} = a_1^2 + 2 a_2^2 x^1 + 3 a_3^3 x^2 + \ldots + n a_n^2 x^{n-1}, \quad [f(0)^2]^{(1)} = a_1^2 \qquad (2.2)\] \[ [f(x)^2]^{(2)} = 2 a_2^2 + 3\cdot2 a_3^2 x^1 + \ldots + n (n-1) a_n^2 x^{n-2}, \quad [f(0)^2]^{(2)} = 2 a_2^2 \qquad (2.3)\] \[ \ldots \] \[ [f(x)^2]^{(n)} = n(n-1)(n-2)\ldots 3\cdot2 a_n^2, \quad [f(0)^2]^{(n)} = n!\, a_n^2 \qquad (2.4)\] Таким образом, значения коэффициентов будут находиться по формуле: \[a_n = \pm \sqrt{[f(0)^2]^{(n)} \over n!}, \quad a_0 = \pm f(0) \qquad (2.5)\] А сам вектор будет составляться из них так: \[\mathbf{f}(x) = \left\{ a_0,\, a_1 x^{1/2 },\, a_2 x^{1},\, \ldots,\, a_n x^{n/2} \right\} \qquad (2.6)\] Следовательно выполняется и условие: \(f(x)^2 = \mathbf{f}(x) \cdot \mathbf{f}(x)\). Теорема доказана.
Теперь становится очевидным, что практически любую скалярную функцию (кроме тех, которые имеют проблемы с производной) можно представить в виде вектора: \[f(x) \to \mathbf{f}(x) \qquad (2.7)\] Причём разложение в вектор по (2.5-2.6) может быть не единственно возможным.
Примеры преобразований
Пример 1: \(f(x) = 1 + x\)
\[f(x)^2 = (1 + x),\, f(0)^2 = 1,\, [f(0)^2]^{'} = 2(1 + x) = 2,\, [f(0)^2]^{''} = 2\] Следовательно, вектор от скалярной функции будет таким: \[\mathbf{f}(x) = \left\{\pm 1,\, \pm \sqrt{2x}, \pm x \right\} \qquad (2.8) \]
Пример 2: \(f(x) = {1 \over \sqrt{1 - x^2}} \)
Обозначим \(x^2 = y\), тогда: \[f(y)^2 = {1 \over 1 - y}\, \Rightarrow\, [f(0)^2]^{(n)} = n!\, \Rightarrow\, a_n = \pm 1 \] Следовательно, вектор от \(y\) будет таким: \[\mathbf{f}(y) = \left\{\pm 1,\, \pm y^{1/2},\, \pm y^{1},\, \ldots,\, \pm y^{n/2} \right\} \] а искомый вектор от начальной скалярной функции — такой: \[\mathbf{f}(x) = \left\{\pm 1,\, \pm x,\, \pm x^2,\, \ldots,\, \pm x^n \right\} \qquad (2.9)\]
Доказанная здесь теорема позволяет взглянуть на привычное нам пространство немного под другим углом, а дальше мы покажем, как оно может выглядеть на самом деле, с точки зрения математики :)
 
Используемые материалы
  1. Википедия. Ряд Тейлора и Маклорена.