Эта работа посвящена одной непростой теме о токе в катушках с ферромагнитными сердечниками, математические исследования в которой ранее почти не проводились. Это обусловлено довольно сложной зависимостью индуктивности такой катушки от напряжённости магнитного поля в ней, а значит сложностью, а порой и невозможностью аналитических решений тех дифференциальных уравнений, которые предлагает классика. Автором был найден совершенно другой подход к этой проблеме и получена довольно простая аналитическая зависимость тока от времени. Для неё требуется получение всего одного коэффициента, который будет найден по трём точкам на осциллограмме, путём курсорных измерений.

Хотя основная выведенная формула будет работать для любых сердечников, всё же в этой работе мы сделаем упор на катушки с замкнутыми сердечниками без зазора. Сердечникам с зазором будет, по-видимому, посвящена отдельная работа, т.к. зависимость там ещё более сложная. Исследования будут проводиться для ферритов, у которых начальная относительная магнитная проницаемость много больше единицы.

Отдельно мы остановимся на простой методике определении времени насыщения сердечника, основанной на поиске среднего значения тока одного из участков осциллограммы.

Сначала, давайте познакомимся со стендом для исследования катушек индуктивности с сердечником. Его схема (рис. 1a) была разработана с прицелом её простой реализации на mosfet транзисторе в качестве ключа SW, на затвор которого подаются управляющие импульсы с любого цифрового генератора сигналов, у которого допустима регулировки их скважности.

Очевидно, что общее сопротивление в схеме (R) будет складываться из активного сопротивления обмотки катушки R_L, измерительного сопротивления R_I, сопротивления ключа и соединительных проводов R_oth: \[ R = R_L + R_I + R_{oth} \tag{1}\] Хотя мы и предполагаем, что основной вклад в R внесёт именно R_I, но учитывать остальные сопротивления всё же нужно. Это понадобится при составлении окончательных формул для расчёта такой цепи, а пока, для упрощения восприятия дальнейших выкладок, мы будем рассматривать RL-цепь полагая, что R = R_I.

Если бы сердечник катушки имел линейную зависимость тока от индукции, то эта работа не имела бы смысла, а ток бы зависел от времени по известному закону [1] \[ I(t) = {U \over R} \left(1 - \mathrm{e}^{-t R / L} \right) \tag{2}\] где: \(U\) — подаваемое на RL-цепочку напряжение, \(L\) — индуктивность катушки с сердечником, а \(t\) — время. Часть этой закономерности, имеющей квази линейный участок при малых значениях времени, изображена на рисунке 1b красной пунктирной линией. Формула (2) получается решением следующего линейного дифференциального уравнения: \[ L \frac{\mathrm d I}{\mathrm d t} + R\, I = U \tag{3}\] Получить отсюда аналитическое решение не представляет никакой сложности, оно то и применяется при расчётах тока, постояной времени LR-цепи и т.п. Сами же эти уравнения преподают во всех электро и радиотехнических ВУЗах [2], как основу для переходных процессов.

В нашей реальности ферромагнитные сердечники изменяют свою магнитную проницаемость в зависимости от тока в катушке и, соответственно, от напряженности магнитного поля. Такая закономерность хорошо описывается кривой Столетова [3], которую можно представить при помощи относительно простого полинома, предложенного в этой работе. Поэтому, при подключении источника питания по схеме (рис. 1a), ток от времени будет зависеть по более сложной кривой, которая изображена на рисунке 1b синей линией.

Давайте сравним постоянную времени обычной LR-цепи (при линейной зависимости индукции от тока) [1] \[ \tau_i = {L \over R} \tag{4}\] с постоянной времени реальной LR-цепи, в катушке которой присутствует ферромагнитный сердечник \[ \tau = {B_s\, S\, N \over U} \tag{5}\] Здесь: \(B_s\) — индукция насыщения сердечника, \(S\) — площадь поперечного сечения сердечника, \(N\) — количество витков катушки. Такую постоянную правильней будет называть временем насыщения сердечника. С учётом сопротивления в цепи, эта постоянная может немного изменяться, что подробно описано в здесь. В действительности, разница постоянной между обычной LR-цепью и реальной, с сердечником, может отличаться в 10-50 раз! Не учитывать такую разницу в расчётах просто невозможно.

Зависимость индуктивности катушки с сердечником можно представить так: \[L = L_0 {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \tag{6}\] Здесь: \(L_0\) — начальная индуктивнсть катушки с сердечником (при нулевом токе), \(k_{12}, k_{22}, k_{23}\) — коэффициенты кривой Столетова, о чём подробно почитать здесь. Тогда дифференциальное уравнение LR-цепи для рисунка 1a будет выглядеть таким образом: \[ L_0 \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \left( I {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \right) + R\, I = U \tag{7}\] Сравните его с (3) и вы поймёте почему эта тема ранее почти не исследовалась: уравнение (7) не имеет аналитического решения, а его значения можно найти только приближёнными численными методами.

Но давайте ещё раз посмотрим на график тока от времени в нашей цепи (рис. 1b), который построен по реальным усреднённым осциллограммам. Здесь мы можем обнаружить три участка, которые обозначены на этом рисунке разным фоновым цветом. На первом участке, обозначенном жёлтым фоном, ток нарастает квази линейно, по классической закономерности (2). Здесь нелинейные свойства сердечника ещё не проявляются. Но, как только появляются первые признаки насыщения сердечника [4], кривая тока сразу резко уходит вниз, переходя на второй участок, где нам и необходимо учитывать кривую Столетова (магнитную нелинейность сердечника). Ровно посредине этого участка находится τ — время насыщения сердечника и соответствующая ему половина максимального тока, который находится, очевидно, так: \[ I_m = {U \over R} \tag{8}\] Другими словами, это ток, который протекал бы через нашу цепь, если ключ SW вовсе не размыкать (ток после всех переходных процессов). Этому току посвящён третий участок графика, после чего направление кривой не меняется.

Путём многочисленных экспериментов, автором была найдена общая аналитическая зависимость всех трёх участков графика, что позволяет обойти решение уравнения (7) и получить довольно точную формулу зависимости тока от времени в LR-цепи с реальным ферромагнитным сердечником. В общем виде она выглядит таким образом: \[ I(t) = {U \over R} {1 - \mathrm{e}^{-t R / L_a} + \left( g^{t / \tau} - 1 \right) g^{-1} \over 1 + \left( g^{t / \tau} - 1 \right) g^{-1}} \tag{9}\] Полученная формула довольно точно описывает синюю кривую на рисунке 1b. В ней: \(L_a\) — максимально достижимая индуктивность катушки с данным сердечником, которая обычно немного более начальной (подробнее), \(g\) — некий коэффициент, зависящий от конкретной катушки, который нам ещё предстоит найти. Забегаяя немного вперёд, можно сказать, что коэффициент \(g\) определяет некую «мощность катушки с сердечником», характеризуемую углом наклона синей кривой на втором (зелёном) участке этой кривой, и никак не влияющим на τ. Очевидно, что для катушки без сердечника этот коэффициент равен единице.

В результате опытов с различными магнитными материалами, у которых относительная магнитная проницаемость много больше единицы, и отсутствует зазор, выяснилось, что коэффициент \(g\) также всегда много больше единицы и составляет порядок 10³-10¹², поэтому формулу (9) можно немного упростить. Для катушек же с сердечниками без зазора эта формула немного упрощается: \[ \boldsymbol{ I(t) = {U \over R} {1 - \mathrm{e}^{-t R / L_a} + g^{(t-\tau)/ \tau} \over 1 + g^{(t-\tau)/ \tau}} } \tag{10}\] Отсюда, кстати, сразу же видно, что когда график достигает точки \(t = \tau\), то часть выражения \(1 - \mathrm{e}^{-\tau R / L_a}\) будет всё ещё много меньше единицы, поэтому ток становится примерно равным половине от максимального: \[ I(\tau) = {U \over R} {1 - \mathrm{e}^{-\tau R / L_a} + 1 \over 1 + 1} \approx {U \over 2 R} = {I_m \over 2} \tag{11}\] Ограничением этого простого метода является необходимость достаточно большого отношения \(\tau_i / \tau\) — оно должно быть хотя-бы более 7-ми (формулы 4 и 5). Наглядно, на осциллограмме это означает, что в точке перехода кривой на второй участок графика, ток не сильно должен отличаться от нуля по сравнению с максимальным. Это получается почти всегда, когда сопротивление R достаточно маленькое (рис. 2a).

Если же мы имеем дело с большим R, то осциллограмма уходит вниз уже на первом участке (рис. 2b). Интересно, но метод работает и в этом случае, правда более приближённо. Здесь нужно геометрически определить начало второго участка и найти соответствующий ему ток \(I_0\). Отсюда находится центр \[ I(\tau) \approx {I_m - I_0 \over 2} \tag{12}\] из которого, геометрически, можно найти время насыщения сердечника τ.

Для получения качественных осциллограмм, которые необходимы для исследования катушек с сердечником и получения коэффициента \(g\), соберём несложный стенд. Собственно, принципиальная схема такого стенда представлена на рисунке 4 в виде блока BA. Ключ, и генератор к нему, могут быть, в принципе, любыми. Автор же задействовал для этого такой генератор, на выходе которого установлен ключ на mosfet транзисторе (VT1). Этот генератор с ключом представлен на рисунке 4 в виде блока SW.

Можно немного усложнить блок BA и установить вместо одного сопротивления R_I несколько, с разными номиналами, которые будут меняться многопозиционным переключателем. Автор сделал именно так, и установил для переключения следующие номиналы этого сопротивления: 1, 2, 5 и 15 Ом. На рисунке 5 показан стенд для исследований в сборе.

Следует обратить внимание на некоторые нюансы работы стенда. Идеальных ключей не бывает: mosfet-транзисторы имеют своё внутреннее сопротивление и проходную ёмкость, которые немного искажают показатели. Тем не менее, автор подобрал оптимальные транзисторы и номиналы R_I, в зависимости от подаваемого на ключ напряжения U:

Конденсаторы C1 и C2 должны быть рассчитаны на напряжение не менее 200 вольт. C2 — электролитический, чем большей ёмкостью он будет обладать, тем лучше. Лучше будет поставить несколько штук параллельно.

Этот коэффициент, вместе со временем насыщения сердечника τ, полностью определяет второй участок кривой тока. Математическим способом его можно просто выразить из формулы (10): \[g = \left( {U\, \mathrm{e}^{-t R / L_a} \over U - I\, R} - 1 \right)^{\tau / (t - \tau)} \tag{13}\] Но здесь остаётся невыясненным время насыщения сердечника τ. Да, его можно приблизительно рассчитать по формуле (5), и найти коэффициент по одной точке на осциллограмме, но схема стенда вносит небольшие погрешности, которых достаточно, чтобы сильно ошибиться при нахождении этого коэффициента таким способом. Кроме того, срединная точка (где t=τ) для измерения не подходит, т.к. в ней показатель степени превращается в бесконечность. Поэтому лучше применить двухточечную модель, когда эти точки выбираются на втором участке осциллограммы: в начале и в конце этого участка (рис. 6, точки 2 и 3). Из опыта можно сказать, что для этих двух точек лучше выбрать более-менее прямой участок графика.

На рисунке 6 показана общая методика поиска трёх точек, а на рисунках 7-9 представлены реальные осциллограммы с выставленными курсорами в этих точках. Нужно только обратить ваше внимание на то, что здесь R равняется 2 Ом, поэтому, чтобы получить ток, курсорное напряжение нужно разделить на два.

Далее, мы специально не будем загромождать эту работу выводом формул, и вынесем его в отдельную заметку. Откуда выходит, что в случае двухточечной модели, выражение для определения коэффициента \(g\) выводится из (13), и преобразуется в следующий вид: \[ \ln g = {t_2 \ln(B) - t_3 \ln(A) \over t_3 - t_2} \\ A = {U\, \mathrm{e}^{-t_2 R / L_a} \over U - I_2 R} - 1, \quad B = {U\, \mathrm{e}^{-t_3 R / L_a} \over U - I_3 R} - 1 \tag{14}\] где значения \(t_2, I_2, t_3, I_3\) — берутся из курсорных измерений двух точек на осциллограмме (рис. 6, точки 2 и 3).
Эту же формулу можно записать и таким образом: \[ g = { B^{\large {t_2 \over t_3 - t_2}} \over A^{\large {t_3 \over t_3 - t_2} }} \tag{15}\] А точное время насыщения сердечника теперь можно найти так: \[ \tau = {t_2 \ln(B) - t_3 \ln(A) \over \ln(B) - \ln(A)} \tag{16}\] Остаётся выяснить, насколько отличается максимальная индуктивность \(L_a\) от начальной \(L_0\), для того, чтобы её можно было подставлять в уравнение (14). Это оказалось сделать довольно просто. Нужно взять начальный линейный участок графика тока, когда тот не сильно отклоняется от нулевой линии и примерно разделить его пополам. Мы получим точку 1, как на рисунке 6. Поскольку на нём ещё не действует коэффициент \(g\), а нелинейные свойства сердечника ещё не сильно проявлены, то здесь мы можем применить классическую формулу для нарастания тока в катушке (2), откуда — вывести эту индуктивность: \[L_a = {t_1\, R \over \ln \left( {U \over U - I_1 R} \right) } \tag{17}\] Значения \(t_1, I_1\) — берутся из курсорных измерений первой точки (рис. 7). Формула (17) показала хорошую согласовку с реальными замерами, хотя и является приближённой. Автор работал с сердечниками, у которых максимальная индуктивность, в зависимости от типа ферроматериала, была больше начальной на 10-70%.

Известно, что при подаче напряжения на катушку без сердечника, и с сердечником, ток в ней будет вести себя совершенно по-разному. В катушке без сердечника, ток полностью подчиняется экспоненциальному закону нарастания (2). Ток же в катушке с сердечником (без зазора) полностью меняет эту картину, она становится довольно сложной. Поэтому получить его аналитическое представление до сих пор считалось невозможным, т.к. невозможно аналитическое решение дифференциального уравнения (7). Но в результате многих экспериментов с различными катушками и сердечниками, оказался возможным вывод приближённого аналитического уравнения, которое и было получено в этой работе (10). Кроме довольно простого вида, такое уравнение даёт хорошую согласовку его математики с реальными измерениями.

Для полученного здесь уравнения требуется определить всего один параметр — коэффициент \(g\), который, как оказалось, можно найти при помощи сборки довольно простого стенда (рис. 4-5) и трёх точек на осциллограмме, полученных методом курсорных измерений (рис. 6-9). Используя полученные таким образом данные, этот коэффициент находится по формулам (14-17). Он представляет собой инвариант по отношению к другой цепи, с другими начальными параметрами. Например, если изменить напряжение и сопротивление в цепи (рис. 1a), а катушку оставить прежней, то пересчитав максимальную индуктивность и τ, используя уже известный коэффициент \(g\), мы сможем получить по формуле (10) новую зависимость тока от времени.

Также, независимо от главной цели этого исследования, была получена простая методика определения времени насыщения сердечника по средней точке на осциллограмме в (11, 12).

В следующей части этой работы мы найдём коэффициенты для кривой Столетова при помощи представленного выше стенда, и полученных здесь формул. Они позволят описать свойства не только определённой катушки с сердечником, но и свойства самого сердечника, независимо от катушки.