Впервые, три коэффициента кривой Столетова были получены в этой работе. Они позволяют полностью восстановить эту кривую или построить график зависимости индукции от напряжённости магнитного поля. Эти зависимости необходимы конструкторам-разработчикам, чтобы определять магнитную проницаемость, или индукцию в катушке, при любом значении тока или напряжённости магнитного поля.

Существует способ построения кривой Столетова, и поиска её коэффициентов, при помощи специального стенда. Недостатком такого подхода является очень ограниченный диапазон измеряемых сердечников, т.к. для больших размеров требуется более мощный усилитель для стенда. Также, этот способ подразумевает несколько десятков замеров и их внесений в специальную таблицу.

В этой работе автор предлагает новый, более простой способ поиска этих коэффициентов. Для этого нужно собрать макет с обычным ключём на mosfet транзисторе, и подключить его к стандартному генератору сигналов. Последовательно с катушкой L необходимо включить резистор R с относительно малым сопротивлением, на котором измерять напряжение (ток через катушку) при помощи осциллографа. Сам стенд, и процесс измерения, подробно описан в этой работе. С его помощью необходимо сделать всего три замера тока по известным значениям времени, путём курсорных измерений, предоставляемых в любом современном приборе (рис. 1). Затем, используя измеренные или справочные данные сердечника, и параметры самой катушки, можно подсчитать эти коэффициенты. Собственно, математике такого расчёта и посвящен этот материал.

Здесь мы будем рассматривать катушку с ферромагнитным замкнутым сердечником без зазора (Gapped). Для разомкнутых сердечников потребуется дополнительно ввести соответствующий размагничивающий фактор [1]. А расчёту коэффициентов для сердечников с зазором будет, видимо, будет посвящено отдельное исследование.

Эта работа появилась в результате довольно длительной теоретической и практической подготовки. Поэтому здесь автор будет часто ссылаться на выведенные ранее формулы, чтобы не загромождать этими выкладками данный материал. Читатели всегда могут перепроверить их вывод, перейдя по предоставленным ссылкам.

Если бы индуктивность катушки (с сердечником) не менялась в зависимости от проходящего по ней тока, то всё рассчитывалось бы очень просто, а эта работа не имела бы смысла. На самом же деле такая зависимость существует: она имеет очень необычный вид [2], сильно усложняет расчётные формулы, но она же, при некоторых условиях, позволяет получить некоторую энергетическую прибавку, о чём мы поговорим в следующих работах.

Кривую Столетова для ферромагнетиков, а значит и индуктивность катушки \(L\) с таким сердечником, можно описать простым полиномом (4), разработанным здесь: \[L = L_0 {1 + k_{12} I^2 \over 1 + k_{22} I^2 + k_{23} I^3} \tag{1}\] Здесь: \(L_0\) — начальная индуктивность катушки (без тока в ней), \(I\) — ток через катушку, \(k_{12}\, k_{22}\, k_{23}\) — коэффициенты кривой Столетова, которые нам предстоит найти.

Там же можно найти вывод одного из коэффициентов — \(k_{23}\), через максимальное значение кривой \(M_m\): \[ k_{23} = 2 {M_m - 1 \over M_m\, I_a^3} \tag{2}\] Для дальнейших выкладок необходимо ввести максимальную индуктивность \(L_a\), которая может быть достигнута в катушке при токе \(I_a\). Но эти параметры мы можем определить по первой измерительной точке 1, которая находится примерно посредине первого токового участка (рис. 1): \[ M_m = {L_a \over L_0}, \quad I_a = I_1 \tag{3}\] Сама же максимальная индуктивность находится из выражения (17), взятом отсюда: \[L_a = {t_1\, R \over \ln \left( {U \over U - I_1 R} \right) } \tag{4}\] Тогда первый коэффициент для кривой Столетова мы можем найти так: \[ k_{23} = 2 {L_a - L_0 \over L_a\, I_1^3} \tag{5}\] Из формулы (1.8), выведенной здесь, можно сразу же найти следующий коэффициент: \[ k_{12} = k_{23} {3\, U \over R} \left( 1 - \mathrm{e}^{-\tau R / (3 L_0)} \right) \tag{6}\] Здесь мы добавили корректирующий множитель \(3\) в числитель, и в показатель степени; он уточняет эту формулу, что удалось выяснить в результате практических измерений.

В формуле (6) появляется ещё один параметр — время насыщения сердечника τ, которое находится примерно между t₂ и t₃ (рис. 1). Более точно оно определяется по формулам (14-16), взятым отсюда, которые, в свою очередь, были подробно выведены в этом приложении.

Остаётся найти последний коэффициент. Для этого возьмём первоначальную формулу и преобразуем её применительно к первой точке наших измерений \[{1 + k_{12} I_1^2 \over 1 + k_{22} I_1^2 + k_{23} I_1^3} = {L_a \over L_0} \tag{7}\] откуда и выведем последний недостающий коэффициент: \[ k_{22} = {1 \over I_1^2} \left( {L_0 \over L_a} \left(1 + k_{12} I_1^2 \right) - 1 - k_{23} I_1^3 \right) \tag{8}\] или \[ k_{22} = {L_0 \over L_a} \left({3 \over I_1^2} + k_{12} \right) - {3 \over I_1^2} \tag{9}\] Все три коэффициента, таким образом, оказались найдены.

По трём уже известным коэффициентам для кривой Столетова можно снова получить ток \(I_1\) для перепроверки. Напомним, что при этом токе индуктивность катушки максимальна: \(L=L_a\). Выводится он из (1), и уже известных коэффициентов, путём решения кубического уравнения [4]: \[ I_1 = \sqrt[3]{ C + \sqrt{C^2 + D} } + \sqrt[3]{ C - \sqrt{C^2 + D} } \\ C = {k_{12} - k_{22} \over k_{12}\, k_{23}}, \quad D = {1 \over k_{12}^3} \tag{10}\] Взяв это ток, можно ещё раз перезамерить на осциллограмме время \(t_1\), а затем пересчитать \(L_a\) по формуле (4), чем на порядок увеличить точность получения искомых коэффициентов.

В этой работе автором была предложена методика определения трёх коэффициентов для кривой Столетова по трём точкам на осциллограмме (рис. 1). Находятся эти коэффициенты последовательно: сначала \(k_{23}\) по формуле (5), затем \(k_{12}\) — по формуле (6), а потом \(k_{22}\) — по формуле (9). Эти коэффициенты применимы, как инварианты, для описания работы катушки с сердечником. Коэффициенты для описания кривой Столетова непосредственно для ферромагнитного сердечника (без учёта катушки) \(h_{12}\, h_{22}\, h_{23}\) можно получить по формуле (10) из этой работы.

Методика была проверена и откорректирована на специальном стенде и показала достаточно точные результаты. В результате её отработки выяснились определённые закономерности поведения ферромагнетиков, а значит и коэффициентов для кривой Столетова, в зависимости от частоты (скорости) переходного процесса. На данный момент автор рекомендует указывать эти коэффициенты в паспорте ферромагнитного сердечника для трёх диапазонов его работы: низкочастотного, среднечастотного и высокочастотного. Для этих трёх диапазонов, коэффициенты для одного и того же сердечника будут немного отличаться. Такое указание необходимо для более точных расчётов генераторов, в которых известна рабочая частота сердечника катушки или время переходного процесса.

Всё вместе было собрано автором в специализированном калькуляторе, где можно быстро подсчитать искомые коэффициенты, посмотреть полученные графики и даже найти некоторые недостающие параметры катушки и её сердечника. Там же, в разделе «Подробно», можно найти представленную здесь методику, расписанную по шагам.