Во второй части мы исследовали графическим методом математическую модель, разработанную в первой части этой работы и получили первые результаты в виде графиков, из которых следуют неоторые условия для создания параметрического резонанса в RL-цепи второго рода. Недостатком графического исследования является двумерное представление процесса, хотя в реальности, в нём участвуют значительно больше одновременно меняющихся параметров. Поэтому в этой части мы применим немного другой подход и для начала найдём оптимальные углы между колебаниями модулирующего и задающего генератора. Они будут очень важны при проектировании реальных устройств свободной энергии. А полученные здесь формулы мы применим в следующем разделе для получения сверхъединичных критериев.

Из предыдущей части нам уже известно, что добротности, с которыми мы будем иметь дело, превышают число восемь (\(Q \ge 8\)), а раз так, то мы можем упростить удельные интегралы мощности, сохранив приемлемую точность вычислений. Также, для удобства представления результатов в дальнейших выкладках, заменим синусные функции на косинусные в формулах (2.1) и (2.2), после чего получим:

\[\bar P_1(\alpha, Q) \approx \int \limits_0^1 {\cos(\omega t) \cos(\omega t - \varphi) \over Q(\alpha, t)}\, \partial t = \frac{1}{Q} \int \limits_0^1 {\cos(\omega t) \cos(\omega t - \varphi) \over 1 + m C_s}\, \partial t \qquad (3.1)\] \[ C_s = |\cos(n\omega t/2 + \alpha/2)| \] Угол \(\alpha\) здесь разделён на два из-за удвоенного, по сути, значения частоты, получаемой после взятия модуля от косинуса. Давайте рассмотрим подынтегральную дробь без делимого и разложим её в ряд Маклорена, вплоть до третьего члена [1]: \[ {1 \over 1 + m C_s} \approx 1 - m C_s + (m C_s)^2 \qquad (3.2)\] При этом, коэффициент модуляции должен быть менее единицы, а для приемлемой точности в наших дальнейших расчётах будет достаточно, чтобы \(m \le 0.5\). Такой подход даст нам возможность уйти от дроби, а значит далее можно будет работать с обычным произведением косинусов. Но для этого необходимо проделать ещё один шаг и разложить модуль косинуса (\(C_s\)) в ряд Фурье [2-5]: \[ C_s \approx \frac{4}{\pi} \left( {1 \over 2} + {\cos(n\omega t + \alpha) \over 3} - {\cos(2n\omega t + 2\alpha) \over 15} \right) \qquad (3.3)\] Здесь мы также возьмём первые три члена и этого будет вполне достаточно, как мы сможем убедиться далее. Точность такого представления изображена на рисунке 11, где f1(t) — это косинус без модуля, f2(t) — модуль косинуса, а f3(t) — приближённое разложение f2 в ряд Фурье до третьего члена.

Рис.11. Для n=2: функция косинуса - f1(t) [зелёный график], функция модуля косинуса - f2(t) [синий график], приближённое разложение f2 в ряд Фурье до третьего члена - f3(t) [красный график]

Чтобы получить сумму интегралов, первообразные которых можно будет без труда получить, необходимо сделать ешё одно преобразование: \[\cos(\omega t) \cos(\omega t - \varphi) = \frac12 [\cos(2\omega t - \varphi) + \cos(\varphi)] \qquad (3.4)\] Тогда окончательный интеграл будет такой: \[\bar P_1(\alpha, Q) \approx \frac{1}{2Q} \int \limits_0^1 [\cos(\varphi) + \cos(2\omega t - \varphi)]\, [1 - m C_s + (m C_s)^2]\, \partial t \qquad (3.5)\] где \(C_s\) находится по формуле (3.3). Несмотря на кажущуюся сложность этого интеграла, в плане большого количества членов его подынтегрального выражения, большая их часть будет равна нулю.

Как и во второй части этой работы, здесь мы сначала найдём решение для отношения частот модулирующего и задающего генератора n=2, а уже затем — для n=1. Для этого оставим в подынтегральном выражении (3.5) только те члены, которые после интегрирования будут отличаться от нуля. А это возможно только для \(\cos(\varphi)\) умноженного на постоянные члены, либо для произведения косинусов, в котором меняющийся аргумент равен \(2\omega t\): \[\bar P_1(\alpha, Q) \approx \frac{\cos(\varphi)}{2Q} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right] - \frac{2 m}{3 Q \pi} \int \limits_0^1 \cos(2\omega t - \varphi) \cos(2\omega t + \alpha) [1 - 1.15 m + 1.4 m^3] \, \partial t \qquad (3.6)\] Взяв этот интеграл, и произведя некоторые преобразования, мы получим: \[\bar P_1(\alpha, Q) = A(Q) - B(\alpha, Q) \qquad (3.7)\] где \[A(Q) = \frac{\cos(\varphi)}{2Q} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right], \quad B(\alpha, Q) = \frac{m \cos(\varphi + \alpha)}{3 \pi Q} [1 - 1.15 m + 1.4 m^3]\] В этой формуле A отвечает за мощность \(\bar P_1\) без учёта параметрики и почти не зависит от m, а B — за параметрическую прибавку к ней.

Теперь, доказательство для оптимального угла между колебаниями напряжения задающего генератора (G1) и колебаниями модулирующего генератора (G2), выглядит очень просто. Понятно, что для большего КПД мощность затрат генератора G1 (\(P_1\)) должна быть как можно меньше, а это достижимо, когда \(B(\alpha, Q)\) будет максимально большим. Это произойдёт, если \(\cos(\varphi + \alpha)\) будет максимально большим. \[ \cos(\varphi + \alpha) = \cos(\varphi) \cos(\alpha) - \sin(\varphi) \sin(\alpha) \approx {\cos(\alpha) \over Q} - \sin(\alpha) \qquad (3.8)\] Напомним, что: \[\varphi = \arctan (Q), \quad \cos(\varphi) \approx {1 \over Q}, \quad \sin(\varphi) \approx 1\] Найдём оптимальный угол путём поиска экстремума функции: \[ \alpha = - \arctan(Q) + k \pi \qquad (3.9)\] где: \(k\) — целые числа. Выберем \(k=0\) из расчёта наименьшего угла и отрицательного арктангенса, и на графике построим зависимость оптимального угла от Q. Как мы видим, при n=2, оптимальный угол близок к "-90" градусов, что и требовалось доказать. Это подтверждает наши выводы из графического метода, представленного во второй части этой работы и соответствующих рисунков 2-4. В калькуляторе это демонстрируется достаточно наглядно. Сравните, как меняется КПД для один и тех же параметров цепи: для угла -90 градусов, и для угла -84 градуса.

Исходя из этого, выведем A и B из формулы (3.7) для n=2, но уже с учётом оптимального сдвига фаз: \[A(Q) = \frac{1}{2 Q^2} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right], \quad B(\alpha, Q) = \frac{m (1 + 1 / Q)}{3 \pi Q} [1 - 1.15 m + 1.4 m^3] \qquad (3.10)\] Эти формулы нам понадобятся для поиска критериев сверхъединичности в четвёртой части этой работы.

В этом случае мы поступим также, как и при n=2, но сначала определим разложение в ряд Фурье для этого коэффициента: \[ C_s \approx \frac{4}{\pi} \left( {1 \over 2} + {\cos(\omega t + \alpha) \over 3} - {\cos(2\omega t + 2\alpha) \over 15} \right) \qquad (3.11)\] после чего воспользуемся формулами (3.4-3.5). Тогда общее выражение при n=1 получится таким: \[\bar P_1(\alpha, Q) = A(Q) - B(\alpha, Q) \qquad (3.12)\] где \[A(Q) = \frac{\cos(\varphi)}{2Q} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right], \quad B(\alpha, Q) = - \frac{m \cos(\varphi + 2\alpha)}{15 \pi Q} [1 - 0.05 m]\] Сразу же бросается в глаза, что эта мощность в несколько раз меньше, чем та же, но при n=2. Результат можно сравнить с формулой (3.7). Этим мы подтвердили вывод, сделанный графическим методом в предыдущей части этой работы и доказали, что такое соотношение частот неэффективно. Тем не менее, найдём оптимальный сдвиг фаз и для n=1, который выводится таким же образом, как и в предыдущем случае: \[ \alpha = - \frac12 (\arctan(Q) + k \pi) \qquad (3.13)\] Выберем \(k=-1\) из расчёта наименьшего угла и положительного арктангенса, и на графике построим зависимость оптимального угла от Q. Как мы видим, оптимальный сдвиг фаз при n=1 близок к 45 градусам, а более точно его можно определить из рисунков 14 и 15. Нужно заметить, что при n=1 добротность Q очень большая и можно с достаточной точностью определить этот угол, как константу, равную 45 градусов. В калькуляторе это может выглядеть так.

Исходя из этого, выведем A и B из формулы (3.12) для n=1, но уже с учётом оптимального сдвига фаз: \[A(Q) = \frac{1}{2 Q^2} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right], \quad B(\alpha, Q) = \frac{m}{15 \pi Q} \left[ 1 - 0.05 m \right] \qquad (3.14)\]

Для ответа на этот вопрос обратимся к формуле (3.5) и попробуем получить \(B(\alpha, Q)\), например, при n=3. Тогда формула (3.3) запишется так: \[ C_s \approx \frac{4}{\pi} \left( {1 \over 2} + {\cos(3\omega t+ \alpha) \over 3} - {\cos(6\omega t+ 2\alpha) \over 15} \right) \qquad (3.15)\] Для ненулевых значений первообразной интеграла (3.6) нам нужны значения косинуса с меняющимся аргументом, равным \(2\omega t\). Как видим, таких значений здесь нет, так же, как и при других значениях n>2. Это означает, что: \[ B(\alpha, Q) = 0, \quad n \gt 2 \qquad (3.16)\] В этом случае отсутствует параметрическая составляющая, а следовательно КПД всегда будет классическим подъединичным. Это правило можно проверить и в калькуляторе. Правило действует без исключений, но форма тока должна быть приближена к синусоидальной. Несинусоидальные колебания содержат кратные гармоники, которые мы здесь не учитываем.

В следующем разделе, на основе полученных здесь формул, мы найдём критерии сверхъединичности параметрической RL-цепи при резонансе второго рода и разработаем методику предварительного расчёта устройства на её основе.