В этой работе мы познакомимся с относительно новым явлением — параметрическим резонансом (ПР), который возникает в параметрических RL-цепях второго рода. В отличие от непараметрических цепей, где для получения резонанса требуется индуктивность и ёмкость, здесь будет достаточно одной индуктивности, параметр которой меняется одним из генераторов. Классическая теория рассматривает параметрический осциллятор, в котором исследуется движение (или ток) [1]. Мы же пойдём другим путём и предложим энергетические соотношения в электрической цепи, которые дадут нам оптимальные соотношения составляющих её элементов, необходимых исследователям для построения устройств свободной энергии. Обращаем ваше внимание, что делать всё это мы будем научными расчётными методами, на которые будем постоянно ссылаться.

Попытка получить такие энергетические соотношение я параметрической RL-цепи была предпринята нами здесь. Но при всей простоте итерационного подхода, получить конечный результат установившегося процесса (например, ток на 1000-м колебании) довольно затруднительно: для этого нужны большие вычислительные мощности. В этом случае, аналитическое ислледование энергетики процессов и вовсе невозможно. Поэтому, в данной работе мы применим приближённый метод, который в определённом диапазоне значений всё же даёт достаточно точные результаты. Этот метод позволит получить энергетические соотношения в установившемся процессе и исследовать его графиеским способом.

Известно, что ПР, в самом общем виде, представляет собой увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Представляемое здесь явление отличается от классического тем, что при резонансе второго рода изменения амплитуды почти не происходит, зато заметно уменьшается активная мощность потребления задающего генератора, а это приводит к увеличению КПД схемы. Всё это мы увидим на графиках во второй части этой работы, где мы исследуем этот резонанс графическими методами и получим оптимальные соотношения элементов для проектирования реального устройства. Но сначала нам необходимо разработать математическую модель этого явления, чем мы далее, в первой части, и займёмся.

Для получения значений классического непараметрического резонанса, нужно знать частоту, индуктивность и ёмкость контура [2]. ПР в параметрической RL-цепи второго рода содержит намного больше параметров: значение индуктивности, величина её добротности и коэффициента модуляции, соотношение частот и фаз задающего, и модулирующего генератора. От всех этих параметров зависит этот необычный резонанс. Это отражено в следующей схеме, по которой мы будем проводить дальнейшие исследования (рис. 1).

Рис.1. Принципиальная схема параметрической RL-цепи

На этой схеме G1 — задающий генератор, который включён в последовательную цепь, состоящую из катушки \(L(t)\), индуктивность которой меняется вторым генератором G2, её активного сопротивления \(r\), и активной нагрузки \(R\). В этой цепи течёт ток \(I(t)\).

Теперь распишем эти элементы более подробно. Пусть задающий генератор работает по следующему закону: \[U(t) = U_m \sin(\omega t) \qquad (1.1)\] Здесь: \(U_m\) — амплитудное значение напряжения G1, \(t\) — время, \(\omega = 2 \pi f\), где \(f\) — частота. Катушка \(L(t)\) является здесь неким усилителем тока, а само усиление возникает при некоторых условиях, за счёт изменения её индуктивности по следующему закону: \[L(t) = L\, [1 + m |\sin(\omega t n /2 + \alpha /2)|], \quad n = 1,2,3,4... \qquad (1.2)\] Здесь: \(L\) — начальная индуктивность катушки (без модуляции вторым генератором), \(n\) — коэффициент, показывающий отношение частот второго и первого генераторов: \(m\) — коэффициент модуляции вторым генератором, \(\alpha\) — сдвиг фаз между колебаниями первого и второго генератора.

Нужно сказать пару слов и о токе в этой цепи. После решения поставленной задачи его нужно представить в таком виде: \[I(t) = I_m \sin(\omega t - \varphi) \qquad (1.3)\] где \(I_m\) — амплитудное значение тока, \(\varphi\) — сдвиг фазы между колебаниями G1 и током в цепи. Также, для упрощения следующих выкладок объединим два активных сопротивления в одно \[R_r = R + r \qquad (1.4)\] и введём понятие добротности контура [3]: \[Q = {\omega L \over R_r} \qquad (1.5)\] Добротность нам понадобится в следующих формулах.

Составим уравнение электрической цепи (рис. 1) методом Кирхгофа, а значения напряжения и тока рассчитаем методом комплексных амплитуд [4]: \[U = I\, R_r + I\, \mathbb{i} \omega L \qquad (1.6)\] где \(\mathbb{i}\) — комплексная единица, а значение тока и напряжения здесь отражаем в комплексном виде. Отсюда выведем ток: \[I = {U \over R_r + \mathbb{i} \omega L} = {U \over R_r} {1 - \mathbb{i} Q \over 1 + Q^2} \qquad (1.7)\] Возьмём модуль тока и выведем его амплитудное значение: \[I_m = {U_m \over R_r} {1 \over \sqrt{1 + Q^2}} \qquad (1.8)\] Теперь можно привести всё это к изначальному току и напряжению, которые уже зависят от времени: \[I(t) = {U_m \over R_r} {\sin(\omega t - \varphi) \over \sqrt{1 + Q^2}} \qquad (1.9)\] где \[\varphi = \arctan{\omega L \over R_r} \qquad (1.10)\] Этот угол определяет сдвиг фазы между напряжением задающего генератора и током в цепи [4, п/п 4]. Для наглядности это можно увидеть на следующем графике, где напряжение отображается зелёным цветом, а ток — красным. Также, этот угол разделяет активную и реактивную мощность в любой системе, и если он, например, равен нулю, то эта мощность активная, если равен 90 градусов — то реактивная. А ещё, значение косинуса этого угла указывается в паспорте любого асинхронного двигателя. Здесь он нам понадобится для тех же целей.

Далее мы поступим не совсем стандартным способом и сразу же определим, что этот метод подходит для небольших значений коэффициента модуляции \(m\), когда форма тока не сильно отличается от синусоидальной (пример). Тут нужно вспомнить формулу (1.2). Дело в том, что на самом деле, добротность в параметрической схеме меняется вместе с индуктивностью в небольших пределах: \[Q(t) = {\omega L(t) \over R_r} = Q\, [1 + m |\sin(\omega t n /2 + \alpha /2)|] \qquad (1.11)\] где \(Q\) мы берём из формулы (1.5).

Исходя из ранее представленных формул, будет легко найти баланс мощностей. Для этого сначала найдём среднюю мощность, рассеиваемую на нагрузке R (рис. 1): \[P_R = {R \over T} \int \limits_0^T I(t)^2\, \partial t = {U_m^2 R \over R_r^2\, T} \int \limits_0^T {\sin(\omega t - \varphi)^2 \over 1 + Q(t)^2}\, \partial t \qquad (1.12)\] где \(Q(t)\) мы берём из формулы (1.11), а \(\varphi\) — из формулы (1.10). При этом \(T\) — целое число колебаний генератора. Далее получим среднюю активную мощность, которую потребляет генератор G1 для питания RL-цепи: \[P_1 = {1 \over T} \int \limits_0^T U(t)\, I(t)\, \partial t = {U_m^2 \over R_r\, T} \int \limits_0^T {\sin(\omega t) \sin(\omega t - \varphi) \over \sqrt{1 + Q(t)^2}}\, \partial t \qquad (1.13)\] У нас остаётся неизвестной только активная мощность \(P_2\), затрачиваемая генератором G2 для параметрического изменения индуктивности. Её мы можем узнать из реальной схемы, либо предположить значение этой мощности. Само собой разумеется, что в реальном устройстве она должна быть как можно меньше. Тогда баланс мощностей, который представляет собой изменение КПД второго рода, будет находиться так: \[K_{\eta 2} = {P_R \over P_1 + P_2} \qquad (1.14)\] К слову, если индуктивность постоянная (непараметрическая) и энергия на её изменение на затрачивается, то этот КПД превращается в классический подъединичный: \[K_{\eta 2} = \eta = {R \over R_r}, \quad m=0, \quad P_2=0 \qquad (1.15)\]

В принципе, формулы (1.10-1.14) уже готовы представить новое явление и описать ПР второго рода для RL-цепи. Но их нельзя рассмотреть в аналитическом виде, поэтому мы воспользуемся графическими методами, которые и представим во второй части этой работы. Мы увидим на графиках общую картину ПР второго рода и найдём оптимальные соотношения элементов схемы для максимального проявления этого эффекта в реальных схемах.