В третьей части этой работы мы нашли оптимальны сдвиг фаз между колебаниями двух генераторов: G1 и G2. В этой части мы разработаем критерии сверхъединичности для параметрических RL-цепей при параметрическом резонансе (ПР) второго рода, а также, методику расчёта таких цепей. Здесь, во всех расчётах мы подразумеваем, что используется оптимальный сдвиг фаз.

Из рисунка 5 мы уже знаем, что мощность на нагрузке не зависит от сдвига фазы \(\alpha\), а значит формулу (2.1) мы можем записать так: \[\bar P_R(Q) \approx \frac{1}{Q^2} \int \limits_0^1 {\cos(\omega t - \varphi)^2 \over (1 + m |\sin(\omega t n /2 + \alpha /2)|)^2}\, \partial t \approx {1 \over 2 Q^2 (1 + 0.6 m)^2} \qquad (4.1)\] где справа записано выражение, найденное по методике, предложенной в предыдущей части. Из этой же части мы можем взять найденную там формулу (3.12) для мощности задающего генератора G1: \[\bar P_1(\alpha, Q) = A(Q) - B(\alpha, Q) \qquad (4.2)\] где для n=2 \[A(Q) = \frac{1}{2 Q^2} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right], \quad B(\alpha, Q) = \frac{m (1 + 1 / Q)}{3 \pi Q} [1 - 1.15 m + 1.4 m^3] \qquad (4.3)\] а для n=1 \[A(Q) = \frac{1}{2 Q^2} \left[1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2 \right], \quad B(\alpha, Q) = \frac{m}{15 \pi Q} [1 - 0.05 m] \qquad (4.4)\] Напомним, что \(A(Q)\) и \(B(\alpha, Q)\) здесь решены для оптимального сдвига фаз, который мы уже нашли чуть ранее.

И последнее выражение, для начала работы, которую мы позаимствуем из первой части, будет формула (1.14), которая предназначена для получения прироста КПД: \[K_{\eta 2} = {\bar P_R \over \bar P_1 + \bar P_2} \qquad (4.5)\] Здесь мы её переписали для относительных (удельных) мощностей.

Теперь нам остаётся сложить всё вместе для получения критериев, которые понадобятся для построения сверхъединичных параметрических RL-цепей второго рода. Для этого подставим в формулу (4.5) выражения (4.1), (4.2), (4.3): \[K_{\eta 2} = {d \over a - 2b(Q + 1) + 2 Q^2 \bar P_2} \qquad (4.6)\] где для n=2 \[a = 1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2, \quad b = {m (1 - 1.15 m + 1.4 m^3) \over 3 \pi}, \quad d = {1 \over (1 + 0.6 m)^2} \] а для n=1 \[a = 1 - {2m \over \pi} + 0.5 m^2, \quad b = {m (1 - 0.05 m) \over 15 \pi}, \quad d = {1 \over (1 + 0.6 m)^2} \] От неё мы будем отталкиваться в следующих выкладках. Напомним, что здесь \(\bar P_2\) — это мощность потребления модулирующим генератором G2, которая нам пока неизвестна.

В подобных задачах возникает некая дилемма — что делать с отрицательными значениями мощности? А ведь такие могут появиться, если P₂ будет достаточно малой или B будет довольно большим. При этом, реальная схема может уйти в разнос, и, если там не будет специальной защиты, могут перегореть некоторые её элементы. Поскольку здесь выводится математическая модель, то мы подойдём к этому с точки зрения граничного условия: \[ B(\alpha, Q) - A(Q) \lt \bar P_2 \qquad (4.7)\] которое следует из (4.2). Другими словами, найденные далее критерии будут аналитически работать только до этой границы. Если они за неё выходят, то для реальной схеме это будет означать, что потребуется установка дополнительных защит в виде некоторых ограничений (тока или напряжения).

Самое сложное мы уже сделали и, благодаря трём предыдущим частям этой работы, получили формулу (4.6). А из неё мы легко можем найти экстремум функции и вывести оптимальную добротность Q: \[ Q^{*} = {b \over 2 \bar P_2} \qquad (4.8)\] Если в эту формулу мы подставим значения m и P₂ такие же, как на рисунках 9-10, и отметим на них максимумы мощности, то увидим, что они совпадут. Таким образом, мы подтвердили графический метод — аналитическим.

Если отобразить полученную оптимальную добротность графически, то получится рисунок 16. На нём представлена зависимость оптимльной добротности от от мощности модулирующего генератора P₂ , при разных значениях коэффициента модуляции: \(Q^{*}(m,P_2)\).

Рис.16. Для n=2. Зависимость оптимальной добротности Q от мощности модулирующего генератора P2, при разных значениях коэффициента модуляции m

Прирост КПД при оптимальном Q можно получить, подставив (4.8) в (4.6): \[ K_{\eta 2}^{*} = {d \over a - 2b - 0.5 b^2 / \bar P_2} \qquad (4.9)\]

Графически этот результат можно отобразить на рисунке 17, где представлена зависимость прироста КПД от мощности модулирующего генератора P₂, при разных значениях коэффициента модуляции: \(K_{\eta 2}^{*}(m,P_2)\). Подразумевается, что добротность здесь оптимальная, найденная по формуле (4.8).

Рис.17. Для n=2. Зависимость прироста КПД от мощности модулирующего генератора P2, при разных значениях коэффициента модуляции m, и при оптимальном Q

Эти графики могут понадобится для предварительного проектирования параметрической RL-цепи второго рода, при создании реального устройства. Также, для этого пригодится и следующий график (рис. 18), где представлена зависимость мощности на нагрузке (P_R), от мощности модулирующего генератора P₂, при разных значениях коэффициента модуляции: \(P_{R}^{*}(m,P_2)\).

Рис.18. Для n=2. Зависимость мощности на нагрузке (PR), от мощности модулирующего генератора P2, при разных значениях коэффициента модуляции m, при оптимальном Q

При этом формула, по которой составлен график выводится из выражений (4.1) и (4.8): \[ P_R^{*} = {2 d {\bar P_2}^2 \over b^2} \qquad (4.10)\] Напомним, что все мощности здесь относительные. Для их пересчёта в абсолютные значения, можно воспользоваться формулами (2.3-2.4) или применить методику, которая будет представлена ниже.

Совершенно тот же расчёт применим и для коэффициента, показывающего отношение модулирующец и задающей частоты, равного единице. Только в качестве \(a,b,d\) нужно применять те значения, которые описаны в выражении (4.6) для n=1. Тогда оптимальная добротность будет находиться по формуле (4.8), оптимальный прирост КПД — по формуле (4.9), а оптимальная мощность на нагрузке — по формуле (4.10). Графики, составленные по ним, безусловно, будут отличаться от n=2 (здесь не приводятся).

Расчёт будет производиться по схеме параметрической RL-цепи второго рода, представленной на рисунке 1. Предварительно мы измерили следующие её параметры:

• амплитудное значение напряжения задающего генератора G1: \(U_m = 10\, V\)
• индуктивность катушки без изменения параметра: \(L = 1\, mH\)
• активное сопротивление провода катушки: \(r = 0.01\, Ohm\)
• активное сопротивление нагрузки: \(R = 0.5\, Ohm\)
• коэффициент модуляции индуктивности катушки: \(m = 0.2\). Для графиков 16-18 это - зелёная кривая
• активная мощность генератора G2 для создания этой модуляции: \(P_2 = 0.04\, W\)
• отношение частот G2 к G1: \(n=2\)

Методика. Сначала найдём \(p_1\) по формуле (2.4): \[p_1 = {U_m^2 \over R + r} = 196 \qquad (4.11)\] а затем — относительную (или удельную) мощность генератора G2: \[\bar P_2 = {P_2 \over p_1} = 2 \cdot 10^{-4} \qquad (4.12)\] Далее, по формуле (4.8) найдём оптимальную добротность для этой мощности. Это же можно сделать и при помощи графика (рис. 16, зелёная кривая), из которого, для \(\bar P_2 = 2 \cdot 10^{-4}\), мы определяем \(Q = 41\). К слову, это ключевой параметр, из которого мы можем найти частоту задающего генератора G1 (2.5): \[f = {Q (R + r) \over 2 \pi L} = 3328\, Hz\qquad (4.13)\] Применяя формулу (4.9) или график (рис. 17, зелёная кривая), мы можем найти прирост КПД схемы. Для \(\bar P_2 = 2 \cdot 10^{-4}\), мы определяем \(K_{\eta 2} = 4.5\). Кстати, это же значение мы можем найти на рисунке 9, на красной кривой, в максимуме функции. Также интересно, что если мощность генератора G2 будет меньшей всего в полтора раза, то схема может уйти в разнос и в ней потребуется ввести ограничения нарастания тока или напряжения. Это хорошо видно из того же графика (рис. 17), когда зелёная кривая начинает устремляться резко вверх. Но для наших задач такой режим как раз является положительным фактором.

Остаётся найти относительную мощность в нагрузке по формуле (4.10) или по графику 18 (зелёная кривая). Для \(\bar P_2 = 2 \cdot 10^{-4}\), мы определяем \(\bar P_R = 2.3 \cdot 10^{-4}\). А теперь её нужно перевести в абсолютную мощность на нагрузке, которую можно найти по формуле (2.3): \[P_R = \bar P_R {U_m^2 R \over (R + r)^2} = 44\, mW \qquad (4.14)\] Не забываем при этом, что фаза между колебаниями генераторов G2 и G1 — оптимальная и рассчитана в предыдущей части этой работы. Проверить этот результат, и посмотреть форму и значения тока (красный график), можно в калькуляторе. Заметьте, что если модуляцию индуктивности вообще убрать (отключить генератор G2), то мощность в нагрузке примерно на 30% увеличится, а КПД схемы в 7 раз уменьшится, что иногда может сбить с толку исследователя.

Как увеличить выходную мощность? Она зависит от квадрата амплитуды колебаний задающего генератора. Если её увеличить с десяти, например, до ста вольт, то мощность на нагрузке увеличится в 100 раз и станет равной 4.4 Вт. Но в этом случае в реальной схеме, скорее всего, усложнится и управление индуктивностью, а мощность G2 увеличится пропорционально квадрату напряжения.

В этой работе показана возможность получения параметрического резонанса в RL-цепи второго рода, в которой параметр индуктивности меняется синусоидальными колебаниями. Поскольку коэффициент модуляции m положительный, то очевидно, что в реальных ферромагнетиках должен быть использован возрастающий участок кривой Столетова. Сам коэффициент рассматривается в диапазоне от нуля до 0.5: \(m \le 0.5\), что даёт приемлемую точность для совпадения с реальными результатами.

По своей сути, конечный результат этой работы отражён на графике 17, где представлены критерии сверхъединичности: при известной мощности модулирующего генератора P₂ и коэффициента модуляции m, все значения, находящиеся слева от соответствующей кривой, являются сверхъединичными. Конечно же, при этом подразумевается, что угол сдвига фаз и добротность — оптимальные. При этом, оптимальный сдвиг фаз можно найти из рисунков 12-15, а оптимальную добротность — по формуле (4.8) или — по графику 16.

Разработано несколько вариантов данной методики, взаимодополняющие друг друга. Однако, в них есть некоторые приближения, которые необходимо было сделать для получения качественной и количественной картины. Также, есть некоторые уточнения, о которых мы расскажем ниже.

В методике не учитывается ток, большие значения которого могут, например, сильно нагревать катушку. От этого значения зависит диаметр провода катушки, а значит — и её конструкция. Также, здесь не учитывается КПД потерь в схеме, которые могут слагаться из нагрева катушки, её внутренней ёмкости, нагрева выходной части генераторов. Однако, эти потери, в принципе, можно просуммировать с P₂.

Активное сопротивление катушки, на самом деле, это сопротивления провода при определённой частоте. Из-за скин-эффекта, один и тот же провод может иметь разное сопротивление на разных частотах. В этой работе мы считаем \(r\), как сопротивление провода на рабочей частоте, которую изначально мы не знаем. Требуется проверка: насколько изменяется это сопротивление на найденной в результате вычисления частоте. Если более, чем на 20%, то следует сделать пересчёт с учётом новых данных.

Уточнение данной методики будет производиться по мере получения реальных результатов или же — альтернативных подходов к ПР второго рода.