В этой работе мы постараемся привлечь внимание искателей свободной энергии к параметрическим цепям. Эта малоизведанная часть радиоэлектроники пока остаётся непопулярной и даже закрытой темой. А между тем, при определённых условиях, такие цепи могут открыть новые возможности для поиска новых источников энергии путём увеличения КПД второго рода.

Здесь мы будем рассматривать цепи первого порядка, т.е. включающие в себя RC или RL элементы [1]. Отличием от классического подхода будет являться то, что ёмкость или индуктивность будут вести себя нелинейно, а точнее — параметрически зависеть от тока или напряжения. Цель этой заметки: при помощи классической физики и математики найти условия, при которых такие цепи могут давать энергетический выигрыш, а также вывести формулы для подсчёта потенциально возможной свободной энергии в таких цепях.

Напомним, что параметрические цепи первого рода характеризуются следующими зависимостями: \(L = L(I_L)\), \(C = C(U_C)\). Такой вид обусловлен природными характеристиками материалов, из которых изготовлен исследуемый элемент. Например, индуктивность катушки зависит от проницаемости сердечника, которая зависит от напряженности магнитного поля, а значит и от тока, проходящего через неё: \(L = L(I_L)\). Варикап и вариконд меняют свою ёмкость в зависимости от приложенного к ним напряжения: \(C = C(U_C)\). Далее, такие зависимости мы будем обозначать в более общем виде: \(Z = Z(Y)\).

Составим последовательную цепь, состоящую из генератора U, производящего периодические колебания, в принципе, любой формы, активного сопротивления R и реактивного элемента Z (рис. 1a). Последний — может быть как индуктивностью, так и ёмкостью, велечина которой зависит от тока или напряжения на ней. В случае RL-цепи, в качестве реактивного элемента выступает параметрическая индуктивность, величина которой зависит от протекающего тока, а в случае RC-цепи — параметрическая ёмкость, величина которой зависит от приложенного к ней напряжения. Такой подход позволит в этой работе упростить число формул и сделать доказательство наиболее общим.

Рис.1. Параметрическая RL или RC-цепь (a), и график тока в цепи или напряжения на реактивном элементе (b)

Для ещё большего упрощения формул и рассуждений — примем значение сопротивления \(R\) равным единице. Поскольку это константа, то сделать её отличной от этого значения мы сможем в любой момент. Тогда общее дифференциальное уравнение для цепи первого порядка мы можем записать так [1]: \[\dot \Psi(t) + Y(t) = U(t) \qquad (1.1)\] \[\quad \dot \Psi(t) = \partial \Psi(t) / \partial t, \quad \Psi(t)= Z(Y)\, Y(t)\] где: \(Y(t)\) — представляет собой напряжение на реактивном элементе, если это RC-цепь или ток в цепи, если это RL-цепь; \(Z(Y)\) — реактивное сопротивление, величина которого зависит от \(Y\). Этот элемент может быть ёмкостью или индуктивностью в зависимости от вида цепи: RC или RL соответственно. Например, для RL-цепи, в качестве \(Z(Y)\) применяется зависимость \(L(I)\), где \(L\) — индуктивность, а \(I\) — ток. Более полно о такой зависимости рассказано в этой работе. Под \(\dot \Psi(t)\) мы подразумеваем напряжение на реактивном элементе, если это RL-цепь или ток, если это RC-цепь. Выражение получается путём его дифференцирования одновременно и по \(Y\), зависящему от времени, и по \(Z\), зависящему от \(Y\). Например, в RL-цепи элемент \(\Psi\) равен потокосцеплению [2], производная по времени которого равна напряжению ЭДС на индуктивности.

Из-за такой сложной зависимости, получить аналитически общую формулу зависимости \(Y\) от времени не представляется возможным. Поэтому мы пойдём другим путём и получим наиболее общие энергетические соотношения для такой схемы (рис. 1a). Но сначала немного упростим дальнейшие формулы: \[\Psi = \Psi(t), \quad Y = Y(t), \quad U= U(t), \quad Z = Z(Y) \]

Далее мы будем предполагать, что генератор в цепи (рис. 1a) вырабатывает периодические колебания, форма которых может быть любой. Это означает, что ток в этой цепи будет иметь также периодический характер (рис. 1b). Для получения энергетического баланса цепи, домножим все слагаемые формулы (1.1) на \(Y\) (ток в данном случае), и проинтегрируем их по одному периоду колебаний: \[\int_0^T \dot \Psi\,Y\, \partial t + \int_0^T Y^2\, dt = \int_0^T U\,Y\, dt \qquad (1.2)\] Введём обозначения для каждого члена этого уравнения: \[W_r + W_a = W_g \qquad (1.3)\] Здесь \(W_r\) — энергия в реактивном элементе, \(W_a\) — энергия в активном элементе, а \(W_g\) — энергия генератора. Рассмотрим интеграл реактивной энергии из (1.2): \[W_r = \int_0^T \dot \Psi\,Y\, \partial t = \int_0^T Y\, \partial (Z\, Y) = Z\, Y^2 \bigg |_{Y(0)}^{Y(T)} - \int_{Y(0)}^{Y(T)} Z\, Y\, \partial Y \qquad (1.4)\] После преобразований, мы получили выражение, не зависящее от координаты времени, что для дальнейших выкладок является очень важным результатом. Обратите внимание на эту формулу — она содержит в себе потенциально достижимую энергию в параметрических реактивностях. Теперь, если посмотреть на пределы интегрирования выражения (1.4), сразу становится понятен его смысл: в начале и в конце периода \(Y\) равно нулю (рис. 1b), а значит равен нулю и весь этот интеграл: \[\int_0^T \dot \Psi\,Y\, \partial t = 0, \quad W_r = 0 \qquad (1.5)\] Полученный результат вполне очевиден: одну часть периода реактивный элемент накапливает энергию, а в другую часть — отдаёт её. В сумме — ноль. Но здесь был доказан и ещё один важный момент, заключающийся в том, что этот принцип распостраняется и на катушки, в которых индуктивность меняется в зависимости от протекающего тока — \(Z(Y)\), причём вид этой зависимости совершенно не важен.

Теперь мы можем вернуться к формуле (1.2) и записать её так: \[\int_0^T Y^2\, \partial t = \int_0^T U\,Y\, \partial t \qquad (1.6)\] Если мы перепишем её для RL-цепи, заменим \(Y\) на \(I\) и вспомним о единичном \(R\), то получим: \[R \int_0^T I^2\, \partial t = \int_0^T U\,I\, \partial t\qquad (1.7)\] А ведь это выражение представляет собой баланс энергий в нашей цепи, означающий, что за любое полное число периодов, вся энергия генератора полностью рассеивается на активном сопротивлении \(R\): \[W_a = W_g\] Отсюда мы можем сделать следующий вывод:

Давайте проверим, что интеграл \(W_r\), за полный период, равен нулю даже если разбить его на несколько участков. Для этого разобьём период T на два таких участка: \(T_1\) и \(T_2\) (см. рис. 1b), и для них получим сумму интегралов: \[\int_{Y(0)}^{Y(T)} Z\, Y\, \partial Y = \int_{Y(0)}^{Y(T_1)} Z\, Y\, \partial Y + \int_{Y(T_1)}^{Y(T_2)} Z\, Y\, \partial Y \qquad (1.8)\] Поскольку ток имеет периодический характер, то \(Y(T_2) = Y(0)\), следовательно: \[\int_{Y(0)}^{Y(T_1)} Z\, Y\, \partial Y + \int_{Y(T_1)}^{Y(T_2)} Z\, Y\, \partial Y = \int_{Y(0)}^{Y(T_1)} Z\, Y\, \partial Y - \int_{Y(0)}^{Y(T_1)} Z\, Y\, \partial Y = 0 \qquad (1.9)\] Точно так же доказывается нулевая сумма и для первого члена правой части выражения (1.4).

Здесь мы поступаем аналогичным образом, только в этом случае домножим (1.1) на \(\dot \Psi\), представляющее здесь ток в цепи: \[\int_0^T \dot \Psi^2\, \partial t + \int_0^T Y\,\dot \Psi\, dt = \int_0^T U\,\dot \Psi\, dt \qquad (1.10)\] Также, по аналогии, выразим каждый член этого выражения через соответствующие энергии: \[W_a + W_r = W_g \qquad (1.11)\] Обратим своё внимание на реактивную энергию: \[W_r = \int_0^T Y\,\dot \Psi\, \partial t = \int_0^T Y\, \partial (Z\, Y) = Z\, Y^2 \bigg |_{Y(0)}^{Y(T)} - \int_{Y(0)}^{Y(T)} Z\, Y\, \partial Y \qquad (1.12)\] Таким образом, мы получили выражение, полностью соответствующее формуле (1.4), а значит — и свойство, которым оно обладает: реактивная энергия в цепи, за любое полное число периодов, равна нулю, а значит, вся энергия генератора полностью рассеивается на активном сопротивлении \(R\): \[W_a = W_g\] Поэтому сразу же сделаем следующий вывод:

Здесь была рассмотрена последовательная параметрическая цепь (рис. 1a), но по аналогии можно показать те же результаты и для параллельной цепи. Таким образом, для параметрических цепей первого рода был подтверждён закон сохранения энергии для замкнутых систем. Построение генераторов свободной энергии на этих принципах нецелесообразно.

Эта работа показала невозможность получения дополнительной энергии за любое полное число периодов, из реактивных параметрических элементов, которые включены в параметрические цепи первого рода. Это означает, что классический трансформатор или катушка индуктивности, варикап или вариконд, включённые по классической схеме, не могут давать прибавку энергии. Исключение составляют режимы, при которых характер изменения параметра на подъёме тока или напряжения отличен от их спада. Но это уже — плавный переход в параметрические цепи второго рода, где энергетическая прибавка вполне возможна.