Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2022-02-20
Все заметки/Радиант, второе магнитное поле
Передача электрической энергии трансформатором Тесла
«Когда нет приемника, нет и потребления энергии. Когда мы включаем приемник, он потребляет энергию. Это как раз противоположно волновой теории Герца. В этом случае, если у вас имеется передатчик мощностью в тысячу лошадиных сил, он излучает постоянно, и не важно, принимается ли где-либо энергия. В моей системе энергия не теряется»
Н. Тесла. Речь но случаю вручения медали Эдисона
Скоро исполнится 120 лет со дня запуска знаменитой башни Ворденклиф [1], позволившая Николе Тесле передать электрическую мощность на довольно большое расстояние, но до сих пор у физиков нет более-менее стоящей модели и объяснения, каким образом такая передача стала возможна. Есть гипотезы о возбуждении эфира, через который этот феномен становится возможным, но всевозможные опыты, поставленные за это время, так однозначно и не доказали его существование. Имеется объяснение такой передачи при помощи классических поперечных TEM волн [2], а также интересное объяснение переноса с помощью поверхностных поперечных волн Зеннека [3]. Но сам Тесла заявлял, что его волны имеют негерцовкий тип и являются продольными, о чём он спорил с Герцем и даже, в результате поставленных в то время экспериментов, доказал ему свою правоту. Давайте попробуем разобраться в этом непростом деле с точки зрения классической электродинамики, выведем формулы, позволяющие приблизится к пониманию этих процессов, и сделаем расчёты реальных конструкций с их помощью.
Как оказалось, ничего невозможного здесь нет, и феномен переноса электрической мощности продольными волнами объясним известной на сегодняшний день физикой. Правда сначала придётся вообще отойти от волновых процессов с тем, чтобы пояснить процесс энергетической связи при помощи токов смещения. А поскольку эти токи напрямую связаны с продольными волнами, то в конце этой работы мы снова вернёмся к заявленной волновой модели. Мы не будем ограничиваться здесь только одной башней Тесла, и обобщим это явление на любые конструкции беспроводной передачи электрической энергии с продольным типом волн.
Способы передачи электрической мощности через атмосферу
Первый способ
Сначала предложим наиболее простой в понимании вариант переноса электрической мощности при помощи ионосферного слоя (рис. 1). В этом случае, передающий ионосферный уединённый конденсатор C1 располагается на высоте 150-400 км, или выше, где наблюдается максимальная концентрация ионов. Для высоких потенциалов этот слой является проводящим, поэтому такой же приёмный ионосферный конденсатор C2 может быть расположен в любой точке планеты, на любом удалении от C1.
Рис.1. Способ передачи электрической мощности через ионосферный слой
Доставлять заряды в передающий ионосферный конденсатор можно разными способами, например, по лазерному лучу. Причём это можно делать как с Земли, так и с её спутника — солнечной электростанции, расположенной на орбите и вращающейся синхронно с планетой. К слову, транспорт энергии по лазерному лучу сейчас исследуется в научных лабораториях и является очень перспективным способом направленной передачи энергии на относительно небольшие расстояния, как раз такие, какие здесь и требуются.
Интересно, что приёмный конденсатор может располагаться не обязательно в ионосфере, которая образует с Землёй определённую ёмкость C. Его можно разместить и на небольшой высоте (C3), тогда передача энергии будет осуществляться через ёмкость C0, образованную между ионосферой и этим конденсатором. При этом мощность приёмника, при той же площади конденсатора, будет меньшей, но эту площадь можно пропорционально увеличить.
Преимуществом этого способа передачи является примерно одинаковое расстояние между ионосферой и приёмным конденсатором C3, а значит — примерно постоянную ёмкость связи C0 в любой точке планеты. Это позволит рассчитывать и производить приёмники электрической энергии независимо от их географической привязки.
Второй способ
Этот способ передачи электрической мощности через атмосферу зависит от расстояния между передатчиком и приёмником, где приёмный и передающий конденсаторы располагаются на относительно небольшом расстоянии от поверхности планеты, на до ионосферной высоте (рис. 2a). По всей видимости, именно этот вариант и применялся Теслой в его башнях, коих, на самом деле, было несколько, построенных в разные периоды его творчества [4]. Этот способ мы и будем исследовать далее в этой работе, но поскольку модель должна получиться обобщённая, то полученные здесь формулы будут верны и для первого варианта.
Рис.2. Способ передачи электрической мощности через атмосферу (a), эквивалентная схема этого способа (b)
Таким образом, первый и второй способ предполагает передачу энергии через ёмкость \(C_0\), а значит — через ток смещения. Этот факт мы зафиксируем и пока не будем задействовать волновые процессы, которые безусловно появятся при расстояниях порядка четверти длины волны от частоты задающего генератора. Позже, мы к этому вопросу вернёмся.
Конструкцию передающего и приёмного трансформаторов — катушек L1 и L2 — мы намеренно здесь не рассматриваем, т.к. они могут иметь различные принципы формирования высокого напряжения, например [5]. А также, сделаем некоторые предположения и допуски для упрощения нашей модели, которая позволит нам рассчитывать подобные устройства и понимать принцип их работы.
Допуски и предположения для нашей модели
Сразу же нужно сказать, что в нашей модели передающий и приёмный конденсаторы (\(C_{S1}, C_{S2}\)) имеют форму шара, но могут быть пересчитаны в эквивалентную конструкцию, например, торроид. Высота их расположения над поверхностью земли составляет 10 и более их диаметров. В нашей модели мы будем рассматривать один передающий и один приёмный конденсатор, в состав которых входит ёмкость шара относительно земли и уединённая ёмкость соответствующих им катушек — L1 и L2 (рис. 2b): \[C_1 = C_{S1} + C_{L1} + C_{G1}, \quad C_2 = C_{S2} + C_{L2} + C_{G2} \tag{1}\] Эти шары находятся на расстоянии \(d\) друг от друга и между ними существует электрическое взаимодействие, образованное ёмкостью связи \(C_0\), о которой подробно рассказано здесь. Расстояние между шарами достаточно велико, соответственно, их обобщённая ёмкость много больше ёмкости связи: \[C_1 \gg C_0, \quad C_2 \gg C_0 \tag{2}\] Следующее логичное предположение мы сделаем, если допустим, что контуры L1C1 и L2C2 находятся в резонансе. Ведь мы знаем, что трансформатор Тесла именно так и настраивается. Математически это означает равенство реактивных сопротивлений индуктивности и ёмкости при известной частоте: \[\mathbf{i} \omega L_1 - {\mathbf{i} \over \omega C_1} = \mathbf{i} \omega L_2 - {\mathbf{i} \over \omega C_2} = 0 \tag{3}\] где: \(\omega = 2\pi f\) — круговая частота, а \(f\) — частота задающего генератора G1.
В разрабатываемой нами модели отсутствует внутреннее сопротивление генератора G1 и потери на раскачку передающего трансформатора L1, т.к. они неизвестны. Но при подсчёте КПД всей установки, они могут быть введены в любой момент. Сама раскачка L1 также не рассматривается, т.к. её варианты могут быть любыми, но вместо этого генератор подсоединяется последовательно в цепь с этим трансформатором, схемотехнически представляя наиболее общий подход к этой проблеме. То же можно сказать и о приёмной катушке L2: нагрузка R включается последовательно с ней, а в случае трансформирования напряжения — просто пересчитывается пропорционально отношению виткой первичной и вторичной обомоток. Тогда эквивалентная схема нашей модели будет выглядеть, как на рисунке 2b, представляющую собой классические связанные контуры [6].
Особенность таких контуров является полностью реактивная нагрузка на генератор G1 при отключённой активной нагрузке R. Таким образом, передатчик может расходовать минимум энергии (на потери) при выключенном приёмнике, и начинать расходовать энергию только при его подключении. Это ключевое отличие от классических передатчиков с поперечной волной, где антенна является активной нагрузкой для генератора и расходует активную мощность независимо от числа подключённых приёмников.
Расчёт нашей модели
Можно было бы начать расчёт с нуля, и расписать все токи и напряжения, а уже потом вывести из полученной системы уравнений необходимые нам значения, но лучше мы воспользуемся готовым решением из работы [6] и сразу выпишем токи в цепи, по рисунку 2b: \[I_1 = {Z_2 U_G \over Z_1 Z_2 - Z_0^2}, \quad I_2 = {Z_0 U_G \over Z_1 Z_2 - Z_0^2} \tag{4}\] Здесь: \(Z_1, Z_2, Z_0\) — комплексные сопротивления в цепи, \(U_G\) — напряжение генератора G1. Сначала запишем все комплексные сопротивления в наиболее точном виде, так как это сделано в [6], а затем — упростим эти выражения согласно нашим предположениям: \[Z_1 = \mathbf{i} \omega L_1 - {\mathbf{i} \over \omega C_I}, \quad C_I = C_1 + {C_0 C_2 \over C_0 + C_2} \tag{5}\] \[Z_2 = R+ \mathbf{i} \omega L_2 - {\mathbf{i} \over \omega C_{II}}, \quad C_{II} = C_2 + {C_0 C_1 \over C_0 + C_1} \tag{6}\] \[Z_0 = {- \mathbf{i} \over \omega (C_1 + C_2 + C_1 C_2 / C_0)} \tag{7}\] Теперь вспомним наши предположения и упростим эти формулы. Следуя неравенству (2) и допуску (3) получим: \[Z_1 \approx {\mathbf{i} C_0 \over \omega C_1^2} \tag{8}\] \[Z_2 \approx R+ {\mathbf{i} C_0 \over \omega C_2^2} \tag{9}\] \[Z_0 \approx {- \mathbf{i} C_0 \over \omega C_1 C_2} \tag{10}\] Отсюда мы можем найти токи в цепи: \[I_1 \approx {U_G \over R} \left[ {C_1^2 \over C_2^2} - {\mathbf{i} \omega C_1^2 R \over C_0} \right] \tag{11}\] \[I_2 \approx {U_G \over R} {C_1 \over C_2} \tag{12}\]
Взяв только действительную часть от первого тока (11) найдём активную мощность, затрачиваемую генератором на весь процесс: \[P_G = I_{R1} U_G = {U_G^2 \over R} {C_1^2 \over C_2^2} \tag{13}\] И сравним её с активной мощностью, отдаваемую схемой в нагрузку R: \[P_R = I_2^2 R = {U_G^2 \over R} {C_1^2 \over C_2^2} \tag{14}\] Как мы видим — эти мощности равны, а значит соблюдается принцип, озвученный ранее: активная мощность генератора расходуется только, если включена активная нагрузка (без учёта потерь, разумеется).
Теперь мы подходим к самому интересному — расчёту реальных систем передачи энергии. Но для этого нам нужно отталкиваться не от напряжения генератора — оно нам неизвестно и может быть, в принципе, любым, в зависимости от схемотехники возбуждающего каскада. Зато, из начальных условий, нам известно напряжение \(U\), представляющее собой потенциал на излучающем уединённом конденсаторе трансформатора Теслы (см. рис. 2b). Давайте найдём его математически: \[U = U_G + I_1 \mathbf{i} \omega L_1 \tag{15}\] Делая известные преобразования, найдём отношение напряжений: \[ {|U| \over U_G} = {C_1 \over C_0} \sqrt{1 + \left({C_0 \over \omega C_2^2 R} \right)^2} \tag{16}\] Причём \(U\) берётся здесь по модулю, т.е. ищется действующее значение напряжения. Мы уже знаем, что активная мощность, без учёта потерь, полностью передаётся от генератора к нагрузке. Осталось найти мощность в нагрузке с учётом полученного в (16) напряжения: \[ P_R = {|U|^2 \over R} {C_0^2 \over C_2^2} {g^2 \over 1 + g^2}, \quad g = {\omega C_2^2 R \over C_0} \tag{17}\] Формула получилась полезная, но её можно оптимизировать ещё больше, если найти оптимальное значение нагрузки R. В радиотехнике это называется согласованием нагрузки. Итак, оптимум находится из известного математического приёма приравнивания нулю производной по R: \[ R^{*} = {C_0 \over \omega C_2^2} \tag{18}\] Теперь хорошо видно, что оптимальная величина нагрузки \(R^{*}\) зависит от ёмкости связи, а значит — от расстояния между приёмником и передатчиком. Мощность в нагрузке, при оптимальном (согласованном) её значении, будет находиться так: \[ P_R^{*} = {\omega C_0 |U|^2 \over 2} \tag{19}\] И последнее, что остаётся сделать — подставить в формулу (19) выражения для нахождения ёмкости связи. Его можно взять отсюда, формула (23): \[ P_R^{*} = {\omega \pi r^3 \varepsilon_0 \over 2 d^2} |U|^2 \tag{20}\] Напомним, что здесь: \(r\) — радиус шара, \(d\) — расстояние между передающим и принимающим шаром, \(\varepsilon_0\) — абсолютная диэлектрическая постоянная. Теперь мы можем приступить к расчёту известной работающей установки Тесла.
Расчёт башни Ворденклиф
Мы считаем, что нагрузка в приёмнике максимально согласована со схемой. Тогда для расчёта можно взять формулу (20). Нам известно, что радиус шара на этой башне был 10.5 метров, частота задающего генератора — 150 кГц, а расстояние между передатчиком и приёмником — 42000 метров. При этом Тесла зажигал лампочки накаливания общей мощностью 10 кВт. Единственное, что точно не известно — напряжение на передающем шаре; из различных источников даются цифры: от 12 до 100 миллионов вольт. Последнее значение получается, если учесть стриммеры, исходящие от башни, длина которых доходила до 40 метров [7]. Но для расчёта мы возьмём некоторое среднее значение — 35 МВ. Подставив эти данные в формулу (20) мы получим значение мощности на нагрузке — 10.1 кВт, что вполне соответствует заявленной! Конечно же, здесь не учитываются потери, однако не учитывается и ионосферный эффект, который хоть и частично, но вполне мог усиливать передачу сигнала.
Выводы
В этой работе мы рассмотрели два способа беспроводной передачи электрической энергии с помощью продольных волн. Мы показали, как такую мощность можно передавать токами смещения, которые образуются в любом конденсаторе, в нашем случае — в ёмкости связи между приёмником и передатчиком, и сделали расчёты на этом основании. Продолжая рассуждения в этом ключе можно сказать, что токи смещения, в свою очередь, переносятся продольными волнами, что замыкает изначальную проблему. Однако сам волновой процесс нами не был рассмотрен, т.к. это значительно усложнило бы повествование, а непосредсвенно сам расчёт мощности от этого сильно бы не изменился. Узлы и пучности продольных волн располагаются примерно так же, как и в поперечных, откуда понятно, что приёмник энергии необходимо располагать в волновых пучностях.
При допусках и предположениях не учитывались следующие возможные эффекты:
  • усиление передачи за счёт ионосферного эффекта, описанного в первом способе передачи мощности через продольные волны;
  • усиление мощности приёма за счёт подсоса электронов из земли;
  • потери в передающих каскадах и в атмосфере.
Возможно, какие-то из этих эффектов могли взаимно компенсировать друг друга.
В предложенной математической модели, в катушках L1 и L2, отстутствуют трансформаторные обмотки, имеющие, как правило, небольшое число витков. Но пересчёт напряжения генератора G1 и сопротивления нагрузки R, можно произвести в любой момент, просто изменив их значения пропорционально отношению витков первичной и вторичной обмоток.
Все полученные формулы из этой работы можно применять для расчёта систем передачи электрической энергии продольными волнами, через атмосферу планеты. Например, из них можно получить простые соотношения для вычисления размеров передающего шара при определённой передаваемой мощности, оптимальной нагрузки, и др.
Используемые материалы
  1. Википедия. Башня Ворденклиф.
  2. Как работала Башня Тесла по передаче энергии — собственное расследование.
  3. Википедия. Волны Зеннека.
  4. Википедия. History of the Tesla coil.
  5. Nikola Tesla. System of transmission of electrical energy. Patent USA US645576A.
  6. Котельников В.А., Николаев А.М. Основы радиотехники. Ч.1, Гл.9. Связанные контуры. [PDF]
  7. В. Эткин. Таинственный мир Николы Тесла. [PDF]