В предыдущей части этой работы мы ввели новую модель и познакомились с математикой для расчётов цепей с электростатическим конденсатором (ЭСК). Недостающим элементом для начала такого расчёта является один коэффициент \(k_s\), который мы найдём для ЭСК в виде сферического конденсатора. Именно название этого типа ёмкости и определило название генератора, результаты расчёта которого мы далее приведём для некоторого диапазона начальных параметров.

Найдём отношение \(k_s = C_1/C_S\), которое, по своей сути, связывает двухобкладочную и уединённую ёмкости, и поэтому может быть разной для разных типов конденсаторов (более подробно об этом читаем здесь). Выведем это соотношение для сферического конденсатора (рис. 4) у которого имеется внутрення проводящая сфера с радиусом \(R_1\) и внешняя — с радиусом \(R_2\).

Рис.4. Сферический конденсатор

Между сферами находится пространство, заполненное веществом с относительной диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\), которую мы пока примем равным единице [1]. Тогда его ёмкость будет находиться по известной формуле [2]: \[C_S = {4\pi \varepsilon_0 \over \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}} \qquad (3.1)\] где: \(\varepsilon_0\) — абсолютная диэлектрическая проницаемость. Также, мы знаем и классическую формулу для вычисления уединённой ёмкости сферы [2]: \[C_1 = {4\pi \varepsilon_0 R_1} \qquad (3.2)\] \[C_2 = {4\pi \varepsilon_0 R_2} \qquad (3.3)\] Вспоминая, что \(k = C_2/C_1\), а \(k_s = C_1/C_S\), находим искомый коэффициент для сферического конденсатора: \[k_s = {k \over k - 1} \qquad (3.4)\] Теперь у нас есть все данные для расчёта, по крайней мере — для сферического ЭСК. Вручную производить такой расчёт довольно проблематично, а вот математические редакторы справятся с этой задачей очень даже легко, что мы и проделаем с их помощью далее.

Результаты представлены математическим редактором MathCAD для формул из второй части этой работы, которые включают в себя коэффициент \(k_s\) для ЭСК в виде сферического конденсатора из формулы (3.4). Параметры индуктивных сопротивлений взяты такие: \[X_{L1} = \Bbb{i} r_1 {0.333 \over \Delta}, \quad X_{L2} = \Bbb{i} r_1 {0.1085 \over \Delta} \qquad (3.5)\] Активное сопротивление \(r_1 = 1\) (Ом). В реальности оно представляет собой внутреннее сопротивление генератора в сумме с активным сопротивлением провода катушки \(L_1\). Входное напряжение генератора \(E = 10\) (В) (см. рис. 3d). Коэффициент отношений двух ёмкостей здесь взят таким: \(k = 6\).

Рис.5. Зависимость баланса мощностей от \(\Delta\) и \(k_r\)

Рис.6. Зависимость выходной мощности от \(\Delta\) и \(k_r\)

Рис.7. Зависимость напряжения \(U_1\) от \(\Delta\) и \(k_r\)

Рис.8. Зависимость напряжения \(U_2\) от \(\Delta\) и \(k_r\)

Рис.9. КПД генератора без учёта электростатической индукции

Рисунок (5) представляет график зависимости КПД второго рода (или COP) в зависимости от \(\Delta\) и \(k_r\), рассчитанная по формуле (2.7) из предыдущей части. На рисунке (6), по оси Y, вместо КПД представлена непосредственно выходная мощность генератора в Ваттах, рассчитанная по формуле (2.8).

Рисунок (7) и (8) — это зависимость напряжений \(U_1\) и \(U_2\) от этих же параметров. Здесь хорошо видно, что положительная обратная связь способствует раскачке этих напряжений, а уже отсюда возникает дополнительная прибавка, как по параметру КПД, так и по выходной мощности. Также, по этим графикам можно прикинуть защиту от перенапряжений и пробивные промежутки, например, между двумя сферами ЭСК.

Просто для сравнения мы представили график для обычного КПД в случае, если убрать электростатический эффект \(U_g=0\) и рассчитать генератор без него (рис. 9).

Сначала необходимо выбрать коэффициент сопротивлений \(k_r\) и рабочую точку на первом графике (рис. 5). Допустим, мы выбрали \(k_r = 10^2\) — это фиолетовый график (второй слева). На нём находим максимум, от которого вертикально вниз откладываем прямую и находим параметр \(\Delta\). Для фиолетового графика он составит \(\Delta \approx 1.9\cdot 10^{-4}\). Исходя из найденного параметра, на графиках можно оценить КПД, выходную мощность и напряжения в контрольных точках.

Теперь нужно определиться с рабочей частотой установки \(f\) и пересчитать её — в угловую: \[\omega = 2\pi f \qquad (3.6)\] Найти остальные параметры теперь можно так: \[r_2 = r_1 k_r \qquad (3.7)\] \[C_1 = {\Delta \over \omega r_1}, \quad C_2 = C_1 k\] \[L_1 = {k_{L1} \over \omega^2 C_1}, \quad L_2 = {k_{L2} \over \omega^2 C_1}\] где неизвестные коэффициенты берутся из числителя в формуле (3.5). Для нашего случая они — такие: \(k_{L1} = 0.333\), \(k_{L2} = 0.1085\).

Пример.
Выберем рабочую частоту \(f = 1\) (МГц). Тогда остальные параметры будут такими: \[r_2 = 100\, (Omh), \quad \omega = 6.28\cdot 10^6\] \[C_1 = 30\, (pF), \quad C_2 = 180\, (pF)\] \[L_1 = 282\, (\mu H), \quad L_2 = 94\, (\mu H)\] Исходя из полученных данных можно рассчитать радиусы двух сфер по формулам (3.2-3.3), а конструктивные параметры катушек — в специализированных калькуляторах.

Выше приведен пример для одной комбинации начальных параметров: \(r_1, k, X_{L1}, X_{L2}\). Расчёт из второй части предполагает множество таких вариантов. Ниже приводится ещё один пример со другими начальными параметрами: \[X_{L1} = \Bbb{i} r_1 {0.1 \over \Delta}, \quad X_{L2} = \Bbb{i} r_1 {0.2181 \over \Delta}\] Активное сопротивление \(r_1 = 1\) (Ом), а входное напряжение генератора \(E = 10\) (В). Коэффициент отношений двух ёмкостей здесь такой: \(k = 2\) (относительное расстояние между сферами меньше, чем в предыдущем примере).

Безусловно, любая модель — лишь приближение к реальности. В нашем случае очевидны следующие приближения, которые могут повлиять на практический результат:

• в модели по рисунку (3d) не учитывается собственная ёмкость катушек индуктивности, которая может быть существенной, если не принять специальные меры. Это изменит реальную резонансную частоту;
• расчёты выходной мощности и КПД делаются в приближении, что \(L_2\) не имеет собственного активного сопротивления, что на практике снизит эти параметры;
• в расчётах не принимается во внимание КПД задающего генератора (\(E\) по рисунку 3d), которое в реальности пропорционально уменьшит и общий КПД всего устройства.

Почему же описываемый в этой работе электростатический эффект, открытый ещё А.Вольтой, обнаруживает себя лишь изредка? Здесь видится сразу несколько причин. Во-первых, он проявляется в довольно узких диапазонах частот. И это при том, что другие соотношения, например, согласовка сопротивлений, уже точно настроены; это мы можем видеть из приведенных выше графиков. Во-вторых, важны только определённые соотношения между элементами схемы. Отклонение даже в несколько процентов от них сводит этот эффект к нулю. Во-третьих, в некоторых случаях даже, если всё точно настроено, эффект сложно обнаружить из-за малой выходной мощности. Т.е. COP может быть большим, а \(P_2\) — очень маленькой. Экспериментатор, при этом, ориентируется именно на выходную мощность. Во многих случаях положительная обратная связь проявляется в виде понижения потребления от источника питания, а не увеличения \(P_2\). В-четвёртых, из-за большого скачка напряжений (см. графики), экспериментальная схема может дать сбой в виде пробоя искрового промежутка или выхода из строя радиоэлементов. Дополнительные же причины описаны в предыдущем подразделе. Всё вместе оставляет исследователю невероятно узкий коридор возможностей, но мы надеемся, что эта работа позволит приблизится к нему вплотную.

В данной работе мы привели расчёт генератора для ЭСК на сферическом конденсаторе. В самом общем плане ЭСК представляет собой две или несколько чередующихся пластин, форма которых может быть, в принципе, любой. Пример: коаксиальный конденсатор. Ещё пример: пластинчатый конденсатор, состоящий из двух или более параллельных пластин (рис. 1d). Практичным вариантом выглядит ЭСК в виде индуктивного конденсатора, где две классические либо бифилярные, намотанные друг на друга или расположенные рядом, катушки служат одновременно индуктивностями и ёмкостями для схемы на рисунке (3d). Хорошо зарекомендовало себя устройство Николы Тесла, в которой первый контур (рис. 3d) представляет собой передатчик — Трансформатор Тесла (ТТ) со сферой на горячем конце, а второй приёмный — одну или несколько подобных ТТ. В такой схеме необходимо учитывать волновые свойства катушек, а коэффициент связи \(k_s\) — рассчитывать между двумя сферами, находящимися на определённом расстоянии.