В этой работе мы познакомим вас с методикой расчёта электрической ёмкости для симметричных тел, найдём отличия классического расчёта и более реалистичного — для некоторых видов конденсаторов, дадим определение для ёмкости связи. Такие расчёты необходимы для решения более сложных задач с использованием электростатического конденсатора. В них принципиально важно разделять различные виды ёмкостей.

Здесь мы будем рассматривать ёмкость с нестандартных позиций, тем не менее, все расчёты останутся в рамках классики. С точки зрения классических представлений она находится, как отношение заряда и потенциала её проводника — для уединённой ёмкости, и отношение заряда и разности потенциалов — для двухобкладочной ёмкости [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] Такое определение годится для энергетики происходящих в конденсаторе процессов: затраченной энергии на его заряд и полученной после — от его разряда. Здесь вопросов нет. Дальше мы покажем отличие в некоторых свойствах для определённых типов конденсаторов, а пока подойдём к ёмкости с другой позиции и будем рассматривать её, как отношение потока электрического поля [2], проходящего через проводник обкладки, делённого на её потенциал. Математически, этот поток необходимо ещё умножить на \(\varepsilon_0\) — абсолютную диэлектрическую постоянную [3]: \[C = {\varepsilon_0 \Phi \over \varphi} \qquad (2)\] Казалось бы, это то же самое, просто записано в другим виде, но далее мы покажем принципиальное отличие такой постановки вопроса. Сам же поток полностью называется так: поток вектора напряжённости электрического поля и находится по теореме Гаусса [2]: \[\Phi = \oint \limits _{S} {E\, S} \qquad (3)\] где: \(E\) — напряжённость электрического поля, \(S\) — площадь поверхности, через которую протекает поток \(\Phi\) (рис. 1a). Для симметричных тел с таким же симметричным распределением электрического поля эта формула сильно упрощается и будет использоваться нами далее именно в таком виде: \[\Phi = E\, S \qquad (4)\] Здесь нужно заметить, что линии электрического поля в этом случае считаются перпендикулярными к поверхности пронизываемой ими площади. Мы также знаем, что этот поток, умноженный на диэлектрическую постоянную, даёт нам заряд, который этот поток образует проходя через поверхность: \[q_2 = \varepsilon_0 \Phi = \varepsilon_0 E\, S \qquad (5)\] Но мы также можем найти суммарный поток от начального источника заряда (рис. 1a): \[q_1 = \varepsilon_0 E\, S_g \qquad (6)\] Отсюда мы можем вывести сразу две формулы, которые нам понадобятся в дальнейшем.
1. Мы можем найти неизвестную пока напряжённость поля: \[E = {q_1 \over \varepsilon_0 S_g} \qquad (7)\] 2. Введём коэффициент распостранения заряда, который выводится на основании (5) и (6): \[k_q = {q_2 \over q_1} = {S \over S_g} \qquad (8)\] Он показывает, насколько уменьшается заряд \(q_2\), который мы измеряем на площадке \(S\), находящейся на расстоянии \(d\) от начального зяряда \(q_1\).

Потенциал на площадке \(S\) находится по классической формуле: \[\varphi = \int E\, \Bbb{d} x \qquad (9)\] где: \(x\) — ось отностительно центра симметричного тела. Мы специально пока не ставим пределы интегрирования, т.к. для уединённой ёмкости и двухобкладочной они будут разные. Их мы будем устанавливать в каждом случае отдельно. Подставляя сюда формулу (7) находим: \[\varphi = {q_1 \over \varepsilon_0} \int {\Bbb{d} x \over S_g} \qquad (10)\] Тогда искомая ёмкость будет находиться по следующей простой формуле: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over S_g}} \qquad (11)\] При всех упрощениях, связанных с её применением, она хорошо отражает, как классические, так неклассические представления о ёмкости. Кроме того, в ней полностью отсутствуют поля и заряды, а остаётся только геометрия конденсатора. Конечно же, как и в классике здесь мы вводим допущение, что окружающие предметы достаточно удалены и никак не влияют на электрические поля конденсатора. Давайте для начала проверим эту формулу на классических примерах.

Рис.1. Схемы для нахождения ёмкости плоского сферического и коаксиального конденсаторов

Сразу же определимся, что в последующих трёх примерах коэффициент распостранения заряда будет равен единице, т.к. весь потоки через первую и вторую обкладки — одинаковые: \(k_q=1\).

Возьмём два проводящих круга с площадями \(S_1\) и \(S_2\), и расположим их соосно и перпендикулярно друг к другу на расстоянии \(d\) (рис. 1b). Ось \(\ell\), по которой мы будем проводить интегрирование по формуле (11), расположена в центре кругов и перпендикулярна к их плоскости. Подсчитаем ёмкость системы, в которой площади кругов одинаковые: \(S_1=S_2=S\). Поскольку в этом случае поток не претерпевает изменений вдоль оси, то \(S\) выносится за знак интеграла, а пределы интегрирования, очевидно, будут такие: (\(0, d\)): \[C = {\varepsilon_0 \over (d/S)} = {\varepsilon_0 S \over d} \qquad (12)\] Т.е. получаем классическую формулу плоского конденсатора [1].

Вычисление ёмкости такого конденсатора также не вызывает трудностей (рис. 1c). Достаточно вспомнить, что площадь сферы находится по формуле: \(S = 4\pi x^2\) и подствить её в (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (13)\] Пределы интегрирования здесь будут находиться между двумя радиусами сфер: (\(r_1, r_2\)). Тогда ёмкость сферического конденсатора будет такой: \[C = {4\pi\varepsilon_0 \over 1/r_1 - 1/r_2} \qquad (14)\] что также полностью соответствует классике. К слову, число \(\pi\) в таких формулах показывает, что исследуемая обкладка не только симметрична, но ещё является и телом вращения.

Для геометрического расчёта конденсатора по приводимой здесь методике, очень важно правильно выбрать ось симметрии \(x\), вдоль которой будет производиться интегрирование. В первых двух случаях она была очевидна, а в случае коаксиального конденсатора на ней нужно остановиться подробнее (рис. 1d). Эта ось должна быть направлена вдоль силовых линий электрического поля и в то же время — быть в их центре. Для цилиндров, из которых состоит коаксиальный конденсатор, такая ось может проходить через центр цилиндров и направлена — перпендикулярно их осей. Тогда площадь обкладки конденсатора (цилиндра) находится так: \(S = 2\pi x \ell\), где: \(\ell\) — длина цилиндра. Подставляем эту площадь в формулу (11): \[C = {\varepsilon_0 \over \int {\Bbb{d} x \over 2\pi x \ell}} \qquad (15)\] Пределы интегрирования здесь будут находиться между двумя радиусами этих цилиндров: (\(r_1, r_2\)). Окончательно находим искомую ёмкость \[C = {2\pi \varepsilon_0 \ell \over \ln (r_2 / r_1)} \qquad (16)\] которая также совпадает с классической [1].

Если найти значение ёмкости между двумя проводящими обкладками, расположенными на некотором расстоянии, то обнаружится, что например, плоский, сферический и коаксиальный конденсаторы рассчитываются без учёта их уединённых ёмкостей, а две сферы — с учётом таковых. Так, ёмкость между двумя проводящими сферами (шарами) классическим образом рассчитывается так [1,4,5]: \[C = 2\pi \varepsilon_0 r \left(1 + \frac{1}{2D} + \frac{1}{4D^2} + ... \right) \qquad (17)\] где: \(D=d/(2r)\). Отсюда прямо следует, что при больших значениях \(d\) (рис. 2c) ёмкость перестаёт меняться, фиксируется на значении: \(C = 2\pi \varepsilon_0 r\), и более не зависит от расстояния между сферами. Это является совершенно правильным с точки зрения энергетических соотношений. Действительно, если зарядить сферы противоположными зарядами, то если между ними протянуть провод с включённым последовательно с ним активным сопротивлением, и разрядить таким образом сферы, то на этом сопротивлении выделится как раз энергия, которая тратилась и на их зарядку. Причём, расстояние между сферами не играет никакой роли. Всё верно.

Но смотрите, какая интересная картина получается в случае, если мы захотим на таких сферах устроить радио или энерго -связь (рис 2a). Раз с какого-то момента ёмкость перестаёт меняться от расстояния, то по известной схеме (рис. 2b) мы могли бы передавать информацию и энергию на неограниченные расстояния. Причём, даже между планетами и звёдами! Однако, как мы знаем из практики, с расстоянием мощность приёмного сигнала падает, что вполне логично, иначе с одного передатчика мы могли бы собирать бесконечное количество энегии :) Где здесь ошибка?

Рис.2. Связь между двумя сферами (a,b) и схема для расчёта ёмкости связи между двумя сферами (c,d)

Эта ошибка, а скорее — недопонимание, исчезнет, если выделить при расчёте конденсаторов отдельную категорию, в которой подсчёт параметров будет производиться без учёта их уединённой ёмкости. Ёмкость, рассчитанную таким способом, мы будем называть ёмкостью связи или конденсатором связи.

В подавляющем большинстве случаев конденсатор именно так и рассчитывается. Например, по описываемой здесь методике у конденсатора можно подсчитать исключительно его ёмкость связи. Также, классические ёмкости плоского, сферического и коаксиального конденсаторов — считаются без учёта уединённых ёмкостей их обкладок.

Давайте теперь рассчитаем ёмкость связи между двумя сферами с радиусом \(r\) и расстоянием между ними — \(d\). Ось интегрирования проведём между центрами сфер (рис. 2c). Из теории электростатики известно, что заряд на сфере можно мысленно поместить в её центр и далее, на этом основании, производить подсчёты. Так мы и сделаем с первой (левой на рисунке) сферой (рис. 2d). Из этой точки будут радиально исходить силовые электрические линии \(\bar E\), часть которых пройдёт и сквозь вторую сферу. Тогда пронизывающий её поток будет охватывать шаровой сектор (изображён зелёным цветом), площадь которого находится из формул тригонометрии: \[S = 2\pi \sqrt{d^2 - r^2} (d - \sqrt{d^2 - r^2}) \qquad (18)\] Напомним, что силовые электрические линии должны быть перпендикулярны пронизываемой ими площади. Также напомним, как находится площадь сферы, охватывающей весь поток: \[S_g = 4\pi d^2 \qquad (19)\] Тогда коэффициент распостранения заряда здесь будет таким: \[k_q = \frac12 \sqrt{1 - \delta^2} (1 - \sqrt{1 - \delta^2}),\, \delta = \frac{r}{d} \qquad (20)\] Заменяя \(d\) на \(x\) и подставляя площадь (19) в формулу (11) получаем искомую ёмкость: \[C = {\varepsilon_0 k_q \over \int {\Bbb{d} x \over 4\pi x^2}} \qquad (21)\] Границы интегрирование здесь такие: (\(r, d-r\)). Решая интеграл и подставляя эти границы, получаем ёмкость связи между двумя сферами: \[C = {4\pi r \varepsilon_0 {1 - \delta \over 1 - 2\delta} k_q }, \quad \delta \lt 1/2 \qquad (22)\] Если взять \(\delta = 1/2 \), т.е. когда сферы будут соприкасаться, то ёмкость будет стремиться к бесконечности, что равносильно замыканию между её выводами. Это согласуется с нашими начальными предположениями (рис. 2b). Если же расстояние между сферами большое, т.е. если \(d \gg r\), то эта формула упрощается, а ёмкость — находится так: \[C \approx {\pi r^3 \varepsilon_0 \over d^2} \qquad (23)\] Теперь всё стало на свои места: с увеличением расстояния, ёмкость связи уменьшается на всём интервале.