На одном известном форуме несколько лет обсуждалась такая задача: если один заряженный конденсатор соединить параллельно с другим разряженным, то, в теории, общая потенциальная энергия двух конденсаторов станет в два раза меньше. Вопрос задавался следующий: куда девается энергия?

Варианты решения предлагались разные: от версии, что закон сохранения энергии важнее закона сохранения заряда, до той, где в цепи конденсаторов рассматривалось внутреннее сопротивление, на наргев которого и тратится часть энергии. Последний вариант решения, кстати, самый верный.

Но ведь условия задачи можно немного изменить, например, в цепь между двумя конденсаторами последовательно добавить не только сопротивление, но и небольшую индуктивность, такую, чтобы на внутреннее сопротивление энергии тратилось меньше. Либо, вместо конденсаторов взять две одинаковые уединённые ёмкости — шары, к примеру, один с зарядом, другой — без. Тогда внутренние сопротивления испаряются сами собой, а вопрос остаётся тот же: куда девается энергия при соединении двух таких шаров? Очевидно, что для разрешения кажущегося парадокса «копать» нужно глубже.

Предположим, что у нас есть: источник зарядов, малый шар с радиусом r, и большой — с радиусом R. Оба шара представляют собой уединённые ёмкости, а R>>r. Начнём переносить заряд малым шаром: от источника — к большому шару (рис 1).

Рис. 1. Перенос заряда от их источника — к большому шару с помощью малого шара

В начале малый шар заряжается от источника зарядом \(q\) и следующей энергией: \[ W_{r} = \frac {q^2}{2C_{r}} \] где: \(C_{r}\) — ёмкость малого шара. Формула для определения ёмкости уединённого шара такая: \[ C_{r} = 4\pi \varepsilon \varepsilon_{0}r \] где: \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость среды, \(\varepsilon_{0}\) — абсолютная диэлектрическая проницаемость, равная \(8.86\cdot 10^{-12} \; \frac {Ф} {м}\).

Далее малый шар соединяется с большим и передаёт ему почти весь свой заряд, т.к. по закону сохранения заряда: \(q=q_{1} + Q_{1}\), где: \(q_{1}\) и \(Q_{1}\) — соответственно заряды малого и большого шаров после их соединения. Поскольку \(q_{1}=C_{r}U_{1}\) , а \(Q_{1}=C_{r}U_{1}\) и \(C_{R} \gg C_{r}\) , то \(Q_{1} \gg q_{1}\). Заметим только, что \(U_{1}\) — это напряжение на соединённых шарах, а \(C_{R}\) — это ёмкость большого шара, которая определяется по формуле: \[ C_{R} = 4\pi \varepsilon \varepsilon_{0}R \] где: \(R\) — радиус большого шара.

Это становится более понятным, если рассматривать закон сохранения заряда, как сумму определённого количества электронов: сколько их было, столько в сумме и осталось.

Энергия большого шара после переноса заряда становится равной: \[ W_{R1} = \frac {Q_{1}^{2}} {2C_{R}} \] или приближённо: \[ W_{R1} \approx \frac {q^{2}} {2C_{R}} \]

Несложно подсчитать, что после второй такой же операции по переносу, заряд на большом шаре увеличится примерно вдвое, а энергия — в четыре раза: \[ W_{R2} \approx \frac {(2q)^{2}} {2C_{R}} = 4 \frac {q^{2}} {2C_{R}} \]

Хорошо видно, что энергия большого шара на \(n\)-ном шаге будет равна: \[ W_{Rn} \approx n^{2} \frac {q^{2}} {2C_{R}}, \qquad (1.1) \] конечно же, пока соблюдается условие \(R \gg r \cdot n\).

Если работу совершаемую каждый раз на перенос заряда обозначить через \(A\), то через \(n\) переносов общая затраченная работа будет такая: \(A_{n}=A \cdot n\). Как видим, можно подобрать такие условия эксперимента, при которых через некоторое число \(n\) переносов потенциальная энергия большого шара станет больше затраченной механической: \[ W_{Rn} > A_{n} \qquad (1.2) \]

Поскольку мы поставили обратную задачу, то и вопрос, сформулированный в самом начале, также будет звучать по-другому: откуда берётся энергия? На него ответим позже, а пока вспомним электрофорную машину [1] знакомую нам всем ещё с уроков физики — там используется именно такой принцип: роль источника зарядов выполняют вращающиеся диски, роль малой ёмкости — пластины, с которых снимается заряд, а большая ёмкость — это лейденские банки.

Примечание. Самые наблюдательные отметят, что при расчётах не были учтены кулоновские силы. Но, в отличии от \(W_{Rn}\), которая растёт пропорционально квадрату \(n\), кулоновские силы будут расти лишь пропорционально \(n\), и потому на качественный вывод не влияют.