Ещё однин красивый вариант свёртки глобального вектора получается, если использовать для этого кватернионы [1]. В этом случае уже необязательно, чтобы точка двигалась прямолинейно и равномерно, как это было необходимо ранее. Напомним, что кватернион состоит из действительной и мнимой части также, как и комплексное число, но мнимая часть состоит из трёх мнимых значений: \[q = a + \mathbf{i} b + \mathbf{j} c + \mathbf{k} d \tag{2.1}\] где: \(a, b, c, d\) — вещественные числа, \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) — мнимые единицы, которые задаются по следующему правилу \[\mathbf{i}^2 = \mathbf{j}^2 = \mathbf{k}^2 = \mathbf{i} \mathbf{j} \mathbf{k} = -1\] \[\mathbf{i} \mathbf{j} = -\mathbf{j} \mathbf{i} = \mathbf{k} ,\quad \mathbf{j} \mathbf{k} = -\mathbf{k} \mathbf{j} = \mathbf{i} ,\quad \mathbf{k} \mathbf{i} = -\mathbf{i} \mathbf{k} = \mathbf{j} \tag{2.2}\] Хотя здесь мнимые части и называются векторами, но с точки зрения векторной алгебры это не совсем векторы. Поэтому мы будем их называть мнимыми векторами.

Тогда глобальный многомерный вектор скорости (GVV), в общем случае, может быть свёрнут до четырёхмерного пространства таким образом: \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \to c\, e^{\mathbf{i}a} e^{\mathbf{j}b} e^{\mathbf{k}d} \tag{2.3}\] Как и в случае c многомерным вектором, модуль мнимого вектора также равен скорости света: \[ c\, | e^{\mathbf{i}a} e^{\mathbf{j}b} e^{\mathbf{k}d} | = c \tag{2.4}\] Давайте разберём частные случаи.

Этот случай возникает, если нам необходимо отразить (свернуть) GVV на двумерное пространство, на две его координаты. Тогда GVV можно представить так: \[\mathbf{V} = c\,e^{\mathbf{i}a} \tag{2.5}\] где угол \(a\) находится через арксинус \(\beta\): \[a = \arcsin(\beta), \quad \beta= {v \over c} \tag{2.6}\] Причём в более общем случае все эти величины могут зависеть и меняться от времени \(t\) \[a(t) = \arcsin(\beta(t)), \quad \beta(t)= {v(t) \over c} \tag{2.7}\] но далее мы всё же будем применять более простой вариант формулы (2.6), подразумевая (2.7). Тогда, раскрывая полученное выражение, и вспоминая, что \(\cos(\arcsin(\beta)) = \sqrt{1 - \beta^2}\), мы получим: \[\mathbf{V} = c \left( \sqrt{1 - \beta^2} + \mathbf{i}\beta \right) \tag{2.8}\] А теперь мы просим наших читателей обратить внимание на всю красоту момента, в котором мы сможем переписать эту же формулу, но не для мнимых векторов, а для настоящих: \[\mathbf{V} = c \left( \mathbf{j_0} \sqrt{1 - \beta^2} + \mathbf{j_1} \beta \right) \tag{2.9}\] Здесь \(\mathbf{j_0}, \mathbf{j_1}\) — единичные векторы. Мы можем проверить правильность такого перехода так: \[ \left| \mathbf{j}_0 \sqrt{1 - \beta^2} + \mathbf{j}_1 \beta \right| = \left| \sqrt{1 - \beta^2} + \mathbf{i}\beta \right| = 1 \tag{2.10}\] Это же правило перехода от мнимых координат к векторным можно распространить и для бо́льших мерностей.

Здесь мы можем воспользоваться те же принципом и разложить формулу (2.3) сначала на кватернионы, а затем — перейти к векторам. Четырёхмерный кватернион GVV выглядит так: \[\mathbf{V} = c\, e^{\mathbf{i}a} e^{\mathbf{j}b} e^{\mathbf{k}d}, \quad a = \arcsin(\beta_1),\, b = \arcsin(\beta_2),\, d = \arcsin(\beta_3) \tag{2.11}\] Здесь \[ \beta_1= \beta_1(t) = {v_1(t) \over c},\, \beta_2= \beta_2(t) = {v_2(t) \over c},\, \beta_3= \beta_3(t) = {v_3(t) \over c} \tag{2.12}\] Раскрывая формулу (2.11) мы получим такой кватернион: \[\mathbf{V} = c\, (A + \mathbf{i} B + \mathbf{j} C + \mathbf{k} D) \tag{2.13}\] в котором \[A = \sqrt{1 - \beta_1^2} \sqrt{1 - \beta_2^2} \sqrt{1 - \beta_3^2} - \beta_1 \beta_2 \beta_3 \] \[B = \beta_1 \sqrt{1 - \beta_2^2} \sqrt{1 - \beta_3^2} + \beta_2 \beta_3 \sqrt{1 - \beta_1^2} \] \[C = \beta_2 \sqrt{1 - \beta_1^2} \sqrt{1 - \beta_3^2} - \beta_1 \beta_3 \sqrt{1 - \beta_2^2} \] \[D = \beta_3 \sqrt{1 - \beta_1^2} \sqrt{1 - \beta_2^2} + \beta_1 \beta_2 \sqrt{1 - \beta_3^2} \tag{2.14}\] Переходя к векторам мы получим: \[\mathbf{V} = c\, (\mathbf{j_0} A + \mathbf{j_1} B + \mathbf{j_2} C + \mathbf{j_3} D) \tag{2.15}\] Здесь \(\mathbf{j_0}, \mathbf{j_1}, \mathbf{j_2}, \mathbf{j_3}\) — единичные векторы. Проверка на модуль от функции позволяет сделать вывод о правильности наших выкладок: \[ |\mathbf{j_0} A + \mathbf{j_1} B + \mathbf{j_2} C + \mathbf{j_3} D| = |A + \mathbf{i} B + \mathbf{j} C + \mathbf{k} D| = 1 \tag{2.16}\]

Для примера свёртки многомеронго единичного вектора в четырёхмерный кватернион, мы возьмём вращение точки по окружности вокруг оси, плюс дополнительное движение с постоянной скоростью вдоль этой оси. Математически отразить это можно так: \[ \beta_1 = {v \over c} \sin(\omega t),\, \beta_2 = {v \over c} \cos(\omega t),\, \beta_3 = {v_3 \over c} \tag{2.17}\] где \(v\) — скорость движения точки по окружности, \(v_3\) — скорость движения точки вдоль оси, \(\omega\) — частота вращения, радиан в секунду, \(t\) — время. Свёрнутый вектор считается по формуле (2.14-2.15), куда мы и подставляем (2.17).

На картинках ниже будут приведены примеры реализации полученной формулы. При этом нужно учитывать, что координата X — это направление \(\beta_1\), Y — это направление \(\beta_2\), а Z — это направление \(\beta_3\) (движение вдоль оси). Время на рисунках проявляется параметрическим образом.

Если теперь проинтегрировать каждое направление из (2.14), которые из себя представляют проекции скорости на координаты, то мы получим график движение точки в пространстве. Что и будут отражать следующие графики.

На рисунках 9 и 10 мы получили направление скорости точки, а на рисунках 11 и 12 — график движения точки в пространстве, в координатах XYZ. Было правильно отобразить и координату времени, которая в формуле (2.15) представлена действительной частью \(A\), но это невозможно сделать на плоскости.

На следующих рисунках будут представлены направление скоростей и движение точки (их интегралы) при световых сокростях по одной из координат.

Интегрируем вектор глобальной скорости.

Еще один вариант

Интегрируем вектор глобальной скорости.

Еще один вариант, в котором все скорости равны скорости света.

Интегрируем вектор глобальной скорости.

Согласно классической теории ОТО, в последнем варианте, где линейная и круговая скорости равны скорости света, время в подвижной системе отсчёта должно полностью остановиться. Но если расписать по формуле (2.14) элемент \(A\), отвечающий за координату времени в подвижной системе координат, то получится, что эта координата ненулевая, и зависит от времени в неподвижной системе координат следующим образом: \[ A = - \int \limits_0^t \sin(\omega t) \cos(\omega t)\, dt = - {\sin(\omega t)^2 \over 4\pi} \tag{2.18}\] Движение точки в пространстве при этом можно увидеть на рисунках 19-20.