В этом приложении приводится пример работы с единичным пространством и глобальным вектором скорости применительно к массе. В дальнейших работах мы постараемся дать определение массы на основе такого пространства, но пока, в данной заметке, мы «потренеруемся» на известных данных о ней и покажем два простейших варианта вывода самой известной формулы 20-го века через глобальный вектор.

Как мы уже знаем, такой вектор получается путём преобразования скалярного Лоренц-фактора: \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \qquad (1.1)\] где: \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2}\), а \(\beta = v/c\). При этом, \(c\) — это скорость света, а \(v\) — скорость в нашем реальном пространстве. Для более наглядного доказательства представим глобальный вектор скорости так: \[\mathbf{V} = \frac{1}{\gamma} \mathbf{v}, \quad \mathbf{v} = c \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \qquad (1.2)\] А теперь вспомним формулу для нахождения импульса из школьного курса физики, только вместо обычной скорости возьмём её глобальный вектор. Тогда мы автоматически получаем глобальный вектор импульса: \[\mathbf{P} = m \mathbf{V} \qquad (1.3)\] Поскольку мы рассчитываем на любую скорость, то должны учитывать, что масса может меняться в зависимости от её величины [1]: \[m = m_0 \gamma \qquad (1.4)\] Тогда глобальный вектор импульса станет таким: \[\mathbf{P} = m_0 c \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} = m_0 \mathbf{v} \qquad (1.5)\] Давайте ещё раз запишем значение глобального вектора импульса в двух различных вариантах. Такие формулы нам пригодятся в будущих вычислениях: \[\mathbf{P} = m_0 \mathbf{v} = m_0 c \sum \limits_{n=0}^{\infty} \pm \mathbf{j_n} \beta^n \qquad (1.6)\] Осталось вспомнить, как связаны скорость, импульс и энергия, и взять интеграл, учитывая формулу (1.6): \[E = \int \mathbf{V} \Bbb{d} \mathbf{P} = \int \frac{1}{\gamma} \mathbf{v}\, \Bbb{d} (m_0 \mathbf{v}) \qquad (1.7)\] Далее, мы продолжаем преобразовывать подынтегральное выражение \[E = \frac{m_0}{2} \int \frac{1}{\gamma} \Bbb{d} (\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}) = \frac{m_0}{2} \int \frac{1}{\gamma} \Bbb{d} (c \gamma)^2 \qquad (1.8)\] и, наконец, получаем окончательный результат: \[E = m_0 c^2 \int \Bbb{d} \gamma = m_0 c^2 \gamma = m c^2 \qquad (1.9)\] На самом деле, первые формулы были подготовительные, а всё доказательство уложилось всего в три выражения (1.7-1.9).

Этот же результат можно получить совсем просто, если скалярно умножить глобальный вектор импульса (1.6) на глобальный вектор скорости (1.1): \[E = \mathbf{P}\cdot \mathbf{V} = m_0\, \mathbf{v}\cdot \mathbf{V} = m_0 c^2 \gamma = m c^2 \qquad (1.10)\] Как мы видим, при работе с глобальными векторами и единичным пространством, интегрирование и дифференцирование зачастую не требуется, вполне достаточно простых алгебраических операций (пример).