В этой заметке мы покажем, как складываются две скорости, если известны их глобальные векторы, полученные путём преобразования Лоренц-фактора. Метод позволяет получить классическую релятивистскую формулу такого сложения [1] только лишь при помощи векторной алгебры, без инерциальной и движущейся систем отсчёта, наглядно, и без применения дифференцирования.

Глобальный вектор скорости (GVV) представляет собой вектор, определяющий скорость первой точки в многомерном пространстве относительно его ортогонального базиса \((\mathbf{j_0, j_1,\ldots ,j_n})\): \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n, \quad \beta = v/c \qquad (1.1)\] где: \(\gamma = 1 / \sqrt{1 - \beta^2}\) — Лоренц-фактор. На рисунке (1a) этот вектор изображён голубым цветом.

Напоминаем, что возможности отображения бесконечномерного вектора на двумерной плоскости сильно ограничены и мы можем показать от силы трёхкоординатное пространство.

Рис.1. GVV для первой точки (a-b), два GVV для двух точек (c) и два GVV относительно неподвижной системы координат (d).

Для упрощения дальнейшего изложения свернём GVV до двухмерного пространства (свойство свёртки). Это никак не повлияет на более общее доказательство, которое можно посмотреть здесь. Вектор тогда станет таким: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} \frac{c}{\gamma} + \mathbf{j_1} v \qquad (1.2)\] Его мы отобразили на рисунке (1b). Заметьте, что угол \(\alpha\) между \(\mathbf{V}\) и осью \(\mathbf{j_0}\) остался прежним, а синус этого угла находится теперь так: \[\sin(\alpha) = \beta \qquad (1.3)\] Здесь мы учитываем, что длина GVV всегда равна скорости света: \(|\mathbf{V}| = c\). Также, далее нам понадобится косинус этого угла: \[\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \beta^2} \qquad (1.4)\] Плюс перед корнем мы выбрали исходя из рисунка.

Теперь расположим на оси \(\mathbf{j_0}\) ещё один глобальный вектор \(\mathbf{V1}\), который будет определять движение второй точки. На рисунке (1c) мы его нарисовали оранжевым цветом. Очевидно, что теперь \(\alpha\) определяет угол между двумя GVV. Для получения конечного результата теперь нам достаточно ввести ещё один ортогональный базис \((\mathbf{i_0, i_1,\ldots ,i_n})\), относительно которого обе точки будут иметь свою скорость: первая — \(v_1\), вторая — \(v_2\). Такое расположение отображено на рисунке (1d). Тогда GVV этих точек будет представляться так: \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma_1} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{i_n} \beta_1^n, \quad \beta_1 = v_1/c \qquad (1.5)\] \[\mathbf{V2} = \frac{c}{\gamma_1} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{i_n} \beta_2^n, \quad \beta_2 = v_2/c \qquad (1.6)\] Отсюда следует, что мы снова можем найти косинус угла между этими двумя векторами, но уже через их векторы по формулам (1.5) и (1.6): \[\cos(\alpha) = {\mathbf{V}\cdot \mathbf{V2} \over |\mathbf{V}| |\mathbf{V2}|} = {1 \over \gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2) } \qquad (1.7)\] Остаётся приравнять (1.4) и (1.7), и вывести оттуда \(\beta\): \[\beta = {\beta_1 - \beta_2 \over 1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (1.8)\] Знак перед этим равенством мы выбрали исходя из рисунка (1c). Если перенести скорость света из левой части в правую, то мы получим классическую форму записи релятивистской суммы двух скоростей [1]: \[v = {v_1 - v_2 \over 1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (1.9)\] Опытным путём такой результат впервые обнаружил Физо ещё в 1851-м году [2].

Обратимся снова к формуле (1.2), в которой мы представили вариант свёртки GVV и подставим туда полученный ранее результат: \[\mathbf{V} = \mathbf{j_0} \frac{c}{\gamma_1 \gamma_2 (1 - \beta_1 \beta_2)} + \mathbf{j_1} {v_1 - v_2 \over 1 - \beta_1 \beta_2} \qquad (1.10)\] Он важен и сам по себе, и для глобального вектора длины, который мы рассмотрим в следующем разделе.