Ранее мы познакомились с теоремой преобразования скаляра в вектор, из которой следует очень интересный вывод: любое число — это проекция вектора (в общем случае многомерного), на числовую ось. К слову, такую проекцию далее мы будем называть свёрткой вектора.

Можно себе представить этот вывод ещё и так. Любое движение точки в пространстве одномерно в каждый момент времени. Если на кривой движения этой точки разместить пространственную ось координат, то такое движение будет пространственно одномерно в любой момент времени и на любом его отрезке. Но ведь это и есть некая числовая ось, где в качестве цифр расположены расстояния. А теперь — самое интересное! Согласно теореме преобразования скаляра в вектор следует, что можно разложить такое движение точки на векторы. Т.е. точка движется, в общем случае, в многомерном пространстве, а три наших пространственных координаты являются всего лишь свойством нашей реальности, например, ограничением нашего сознания! Не является ли эта причина и ограничением максимальной скорости передвижения?

Одно из свойств нашего пространства описывает Лоренц-фактор [1], разложение которого в вектор выглядит так: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \left\{\pm 1,\, \pm \beta,\, \pm \beta^2,\, \ldots,\, \pm \beta^n \right\} \tag{1}\] Здесь: \[\beta = {v \over c} , \quad \gamma = {1 \over \sqrt{1 - \beta^2}} \tag{2}\] Cкорость движения точки в общем случае зависит от времени: \(v = v(t)\), а значит от времени зависит и безразмерная скорость: \(\beta = \beta(t)\). Это обобщение мы будем подразумевать и далее.

Запишем полученный вектор в другой форме: \[\mathbf{R} = \frac{1}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \tag{3}\] где: \(\mathbf{j_n}\) — единичные вектора координат многомерного пространства [2]. Необходимо заметить, что здесь мы выбрали положительный знак перед безразмерной скоростью, но в общем плане он может быть и отрицательным. Это будет зависеть от начальных условий движения точки.

Свойством такого вектора является равенство его модуля единице: \[|\mathbf{R}| = 1 \tag{4}\] Сам по себе такой вектор хотя и представляет математический интерес, но физический смысл в нём появляется, если его домножить на скорость света \(c\): \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \tag{5}\] Это и есть глобальный вектор скорости (GVV), описывающий движение любой точки в многомерном пространстве. Свойством GVV является равенство его модуля скорости света \[|\mathbf{V}| = c \tag{6}\] что автоматически подразумевает закон сохранения энергии в системе. Примеры применения этого свойства можно найти здесь.

Более полно наше четырёхмерно пространство, и манипуляции с ним, мы представим вам далее, а пока выделим первые несколько координат от GVV и поясним их значение: \[\mathbf{V} = \frac{1}{\gamma} \big( \mathbf{j_0}\, c + \mathbf{j_1}\, v + \ldots \big) \tag{7}\] Здесь координата \(\mathbf{j_0} c\) — отвечает за время, и по сути является координатой времени. Это стане яснее далее. Координата \(\mathbf{j_1} v\) — это скорость движения точки в декартовых координатах.

Например, при равномерном движении точки мы може получить глобальный вектор перемещения простым умножением GVV на время \(t\): \[\mathbf{L} = \frac{1}{\gamma} \big( \mathbf{j_0}\, ct + \mathbf{j_1}\, \ell + \ldots \big) \tag{8}\] Здесь первая координата — время, вторая — длина перемещения точки \(\ell\). На физических графиках ньютоновской механики именно первые две координаты и изображают. Но действительное пространство вносит свои коррективы в виде Лоренц-фактора, а потому при относительно больших скоростях нужно учитывать и вклад от других координат (пример). В наиболее общем виде всё это учитывается в глобальном векторе скорости (5).