Ранее мы получили проекцию глобального вектора на наш 4D мир от равномерно движущейся точки. Теперь усложним задачу и посмотрим, как работает единичное пространство в случае движения точки по окружности с постоянной скоростью \(v\).

В этой работе мы покажем методику получения глобального вектора из любой формы движения точки, и посмотрим на результат в виде интерактивных графиков. Такой метод становится возможным благодаря очень важному принципу: движение точки в пространстве всегда одномерно. К одной пространственной координате, конечно же, добавляется координата времени.

В такой постановке задачи будет удобнее вектора обозначать в виде матриц. Например, начальный вектор вращающейся по окружности точки в нашем 4D пространстве будет записываться так: \[ \mathbf{R\! 0} = \begin{vmatrix} 1 \\ \beta \cos(\omega t) \\ \beta \sin(\omega t) \\ 0 \\ \vdots \end{vmatrix} \tag{2.1}\] Здесь: \(\beta = v/c\) — относительная скорость, \(t\) — время, \(\omega = 2\pi\). Для большей ясности можно привести аналогию — какой вектор за какую координату отвечает: \[ \mathbf{R\! 0} \sim \begin{vmatrix} T \\ X \\ Y \\ Z \\ \vdots \end{vmatrix} \tag{2.2}\] Откуда становится понятным, что наша точка вращается в двух координатах: X и Y, при этом скорость по координате Z, очевидно, равна нулю. Далее, на графиках, это станет более наглядным.

Пользуясь обозначенным в начале работы принципом об одномерном движении точки, мы должны подобрать такую систему координат, где этот принцип соблюдается. То есть, в такой системе должна остаться только одна ненулевая пространственная координата, и координата времени.

В случае вращения точки по окружности, подобрать нужную систему координат несложно. Для этого воспользуемся матрицей поворота [1], расширенная до многомерного пространства:

\[ \mathcal{P} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \\ 0 & \cos(\omega t) & \sin(\omega t) & 0 & \\ 0 & -\sin(\omega t) & \cos(\omega t) & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots \\ & & & \ldots \end{vmatrix} \tag{2.3}\] Тогда, перемножив матрицу поворота и матрицу скоростей, мы получим новое координатное пространство, где вращение по окружности станет движением точки по прямой со скоростью \(v\): \[ \mathbf{R}_{\mathcal{P}} = \mathcal{P} \cdot \mathbf{R\! 0} = \begin{vmatrix} 1 \\ \beta \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \end{vmatrix} \tag{2.4}\] На этот важный момент нужно обратить особое внимание, так как в дальнейшем мы будем получать подобные одномерные движения из более сложных форм. На первом этапе, при помощи матриц поворота, мы должны получить матрицу в виде (2.4), а уже с ней проводить дальнейшие преобразования.

Из гипотезы единичного пространства, и следующего из неё глобального вектора, мы знаем, что в случае одномерного (по пространству) движения, проекция удельного GVV на наше 4D пространство будет такой: \[ \mathbf{R}_{\mathcal{P}} \to \mathbf{R_{\perp}} = \begin{vmatrix} \bar\gamma \\ \bar\gamma \beta \\ \beta^2 \sin(r) \\ \beta^2 \cos(r) \\ \vdots \end{vmatrix} \tag{2.5}\] Где: \(\bar\gamma = \sqrt{1 - \beta^2}\) — обратный Лоренц-фактор, а функция \(r\) выдаёт случайные значения в диапазоне \(0..2\pi\) при каждом обращении к ней. Это следует из формулы (1.9). Также мы помним, что глобальный вектор имеет бесконечную размерность, но в данном случае мы можем ограничиться четырьмя его координатами.

Чтобы вернуться в первоначальную систему координат, откуда мы смотрели на вращающуюся точку (2.1), нужно сделать всё в обратном порядке: найти обратную матрицу поворота \[ \mathcal{P}^{-1} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \\ 0 & \cos(\omega t) & -\sin(\omega t) & 0 & \\ 0 & \sin(\omega t) & \cos(\omega t) & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \vdots \\ & & & \ldots \end{vmatrix} \tag{2.6}\] и умножить её на полученный GVV \[ \mathbf{R_{\perp}'} = \mathcal{P}^{-1} \cdot \mathbf{R_{\perp}} = \begin{vmatrix} \bar\gamma \\ \bar\gamma \beta \cos(\omega t) - \beta^2 \sin(\omega t) \cos(r) \\ \bar\gamma \beta \sin(\omega t) + \beta^2 \cos(\omega t) \cos(r) \\ \beta^2 \sin(r) \\ \vdots \end{vmatrix} \tag{2.7}\] Убедимся, что и в этом случае соблюдается главный энергетический принцип GVV: \[ \mathit{\mathbf{R_{\perp}'}} \cdot \mathit{\mathbf{R_{\perp}'}} = 1 \] По сути, в этом параграфе мы уточнили первоначальный вектор \(\mathbf{R\! 0}\) с учётом единичного пространства. Теперь полученный вектор \(\mathbf{R_{\perp}'}\) содержит все необходимые элементы и мы можем приступить к его отображению на графиках.

Ниже представляем график относительной скорости, подсчитываемый по формуле (2.7). Рисунок на нём интерактивный: его можно вращать и изменять его размеры при помощи мышки (или пальцев — на мобильных устройствах). На нём показаны только три координаты X,Y,Z, так как большее их число отобразить на плоскости не получится.

Форма графика зависит от относительной скорости перемещения точки \(\beta\), которую можно менять почти от нуля до единицы. Напомним, что единица в этом случае означает, что точка достигла световой скорости; при этом кольцо превращается в сферу.

Для большей или меньшей детализации можно менять число точек графика (N). Большое число точек может нагружать процессор вашего компьютера, но лучше детализировать всю картину. Также, можно развернуть график на полный экран вашего браузера.

Следующий график будет отражать относительную длину, которая получается интегрированием (2.7) по времени \(t\): \[ \mathit{\mathbf{L_{\perp}}} = \begin{vmatrix} \bar\gamma t \\ \bar\gamma \beta {\sin(\omega t) \over \omega} + \beta^2 {\cos(\omega t) \over \omega} \cos(r) \\ - \bar\gamma \beta {\cos(\omega t) \over \omega} + \beta^2 {\sin(\omega t) \over \omega} \cos(r) \\ \beta^2 \sin(r) t \\ \vdots \end{vmatrix} \tag{2.8}\] Мы примерно в 6 раз вытянули график по осям X и Y для лучшего восприятия. Время \(t\), по умолчанию, выбрано как один период оборота точки вокруг своей оси. Его можно менять от 1 до 3 в поле под названием: «Периодов».

На графике видно, что при увеличении скорости точки до световой (\(\beta=1\)), её движение в плоскости X-Y превращается в волну с периодом \(\omega t\), распространяющуюся вдоль оси Z. Причём речь идёт о волне вероятностей оказаться точке в том или ином месте пространства. Но если таких точек будет достаточно много, то мы получим полноценную волну! Это ключевой результат, который пригодится нам в дальнейшем.