Здесь будет представлена очень необычная математика, которая может изменить некоторые ваши представления о пространстве-времени. Она проистекает из важной теоремы о преобразовании скаляра в вектор. Из представленного материала будет следовать например, что координата времени в нашем реальном пространстве представляет собой не просто прямую, а некое вероятностное подпространство. Также, здесь мы получим интересный вывод о математической запутанности, из которой может следовать принцип квантовой запутанности частиц.

Вся конструкция будет базироваться на свойстве длины вектора, которое остаётся неизменным при любых его преобразованиях, в том числе при переходе из скалярной формы в векторную.

Необходимо также напомнить нашим читателям, что согласно нашей гипотезе единичного многомерного пространства, наш реальный мир — всего-лишь его отражение. Одно из отражений.

Эйлеровым подпространством будем именовать плоскость, образованную двумя координатами, которые представляют собой действительную и мнимую составляющие следующей функции: \[ f(\alpha) = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha) \tag{1}\] где: \(i\) — мнимая единица, \(\alpha\) — угол [1].

Давайте преобразуем эту скалярную функцию в вектор согласно теореме, но сделаем это отдельно для её косинусной, и для её синусной части. Для краткости последующих формул, будем это преобразование далее обозначать так: \[ \cos(\alpha) \to \mathcal{COS}(\alpha) \\ \sin(\alpha) \to \mathcal{SIN}(\alpha) \tag{2}\] Теперь произведём само преобразование: \[ \mathcal{COS}(\alpha) = \pm\, \mathbf{j_0} \pm\, \mathbf{j_1}\, i \alpha \pm\, \mathbf{j_2} \frac{1}{\sqrt{3}} \alpha^2 + \ldots \pm \mathbf{j_{n}}\, \sqrt{\large (-1)^{n} \normalsize \frac{2^{2n-1}}{(2n)!}}\, \alpha^{n} \tag{3}\] \[ \mathcal{SIN}(\alpha) = \pm \mathbf{j_1}\, \alpha \pm\, \mathbf{j_2} \frac{i}{\sqrt{3}} \alpha^2 + \ldots \pm \mathbf{j_{n}}\, \sqrt{\large (-1)^{n + 1} \normalsize \frac{2^{2n-1}}{(2n)!}}\, \alpha^{n} \tag{4}\] где: \(\mathbf{j_n}\) — единичный вектор координаты \(n\), направление единичного вектора может иметь равновероятно как положительное, так и отрицательное значение, а \(n \in 1,2,3,4,\ldots\) Таким образом, мы сделали преобразование эйлерова подпространства в глобальное многомерное пространство (ГМП).

Поскольку преобразование скаляра в вектор является линейным, то для него выполняется следующее условие: \[ f_1(\alpha) + f_2(\alpha) \to \mathbf{f_1}(\alpha) + \mathbf{f_2}(\alpha) \tag{5}\] где: \(f_1, f_2\) — произвольные функции.

Сначала проверим основное свойство глобального вектора, основываясь на этом условии: \[ \cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2 = \mathcal{COS}(\alpha)^2 + \mathcal{SIN}(\alpha)^2 = 1 \tag{6}\] Согласно этому же условию сделаем преобразование для формулы (1): \[ \cos(\alpha) + i \sin(\alpha) \to \mathcal{COS}(\alpha) + i\, \mathcal{SIN}(\alpha) \tag{7}\] Проверим модули этих функций, показывающие длину вектора, которая, очевидно, всегда должна быть равна единице: \[ |\cos(\alpha) + i\, \sin(\alpha)| = 1 \tag{8}\] Логично предположить, что и длина вектора также должна быть равна единице: \[ |\mathcal{COS}(\alpha) + i\, \mathcal{SIN}(\alpha)| = 1 \tag{9}\] Однако здесь есть один важный момент, который может перевернуть ваше представление о математике. Давайте приступим к получению совершенно неожиданного результата!

Раскроем векторную часть выражения (7) воспользуясь формулами (3, 4): \[ \mathcal{COS}(\alpha) + i\, \mathcal{SIN}(\alpha) = \pm\mathbf{j_0} + \left( \pm\mathbf{j_1}\, i \alpha \pm\mathbf{j_1}\, i \alpha \right) + \left( \pm\mathbf{j_2} \frac{1}{\sqrt{3}} \alpha^2 \pm\mathbf{j_2} \frac{1}{\sqrt{3}} \alpha^2 \right) + \ldots \tag{10}\] Напомним только, что все \(\pm\) до сих пор здесь были равновероятны. Отсюда сразу же можно сделать вывод, что единственно возможный вариант, когда будет выполняться условие (9), будет таким: \[ \mathcal{COS}(\alpha) + i\, \mathcal{SIN}(\alpha) = \pm\mathbf{j_0} \tag{11}\] Получилась совершенно неочевидная формула, которая может нам рассказать сразу о нескольких закономерностях.

1. Удивительная способность формулы (11) проистекает из свойства сохранения энергии. Если модуль начального вектора равен единице, то как бы мы его не преобразовывали, его длина меняться не должна. А раз так, то все \(\pm\) в выражении (3) и (4) попарно связаны между собой и являются линейно зависимыми величинами. Такое положение вещей возникает только тогда, когда эти формулы начинают описывать одну общую систему (общий вектор). А разве не так же работает запутанность квантовых частиц [2]?

2. Из формулы (11) выходит, что эйлерово подпространство из нашей реальности, в ГМП представляет собой нулевой по счёту единичный вектор. А это может говорить о многом. Например, если в нашем реальном пространстве точка совершает круговое вращение, плюс — перемещается во времени, то в ГМП её траектория будет представлять собой прямую линию времени.

Ещё пример. Волна в нашей реальности, описываемая формулой Эйлера — \(A \exp(i \omega t)\), в ГМП будет являться прямой линией с амплитудой \(A\). Но никто нам не мешает представить и обратную ситуацию, когда прямая линия времени в ГМП даёт проекцию на наш реальный мир в виде многочисленных линий времени, равновероятно раскиданных по плоскости комплексного эйлерова пространства. При этом угол \(\alpha\) будет являться случайной величиной в диапазоне \(0 .. 2\pi\).