Эта заметка посвящена преобразованию скалярных периодических и гиперболических функций в векторные по этой теореме. Для лучшего восприятия формул введём некоторые упрощения. Если пределы знака суммы специально не обозначены, будем подразумевать, что знак суммы означает суммирование по \(n\) от нуля до бесконечности, где \(n\) — целые числа, начиная с нуля: \[ \sum \equiv \sum \limits_{n=0}^{\infty} \] Единичные вектора будем обозначать жирным шрифтом: \(\mathbf{j_n}\) — единичный вектор координаты \(n\), направление которого может иметь равновероятно как положительное, так и отрицательное значение, то есть: \[ \mathbf{j_n} \equiv \pm \mathbf{j_n} \] Также, мы будем считать, что: \(0!=1\), и что: \(0^0=1\).

Альтернативная форма записи последующих формул приводится здесь.

Приведём преобразования некоторых периодических функций: \[ \cos(x/2) \to \mathbf{j_0} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \mathbf{j_n} \sqrt{ \frac12 \cos \left( {n\pi \over 2} \right) {x^{n} \over n!} } \tag{1}\] \[ \sin(x/2) \to \sum \limits_{n=1}^{\infty} \mathbf{j_n} \sqrt{ \frac{-\!1}{2} \cos \left( {n\pi \over 2} \right) {x^{n} \over n!} } \tag{2}\] \[ \cos(x) + \sin(x) \to \mathbf{j_0} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \mathbf{j_n} \sqrt{ \sin \left( {n\pi \over 2} \right) {(2x)^{n} \over n!} } \tag{3}\] \[ \sqrt{\cos(x)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ \cos \left( {n\pi \over 2} \right) {x^{n} \over n!} } \tag{4}\] \[ \sqrt{\sin(x)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ \sin \left( {n\pi \over 2} \right) {x^{n} \over n!} } \tag{5}\] \[ \sqrt{\cos(x) + \sin(x)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ \left[ \cos \left( {n\pi \over 2} \right) + \sin \left( {n\pi \over 2} \right) \right] {x^{n} \over n!}} \tag{6}\] \[ \sqrt{\cos(x) \sin(x)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ \frac12 \sin \left( {n\pi \over 2} \right) {(2x)^{n} \over n!}} \tag{7}\] Приведём преобразования некоторых гиперболических функций [1]: \[ \sqrt{\cos(ix)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ {1 + (-1)^n \over 2} {x^{n} \over n!} } \tag{8}\] \[ \sqrt{\sin(ix)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ i {1 - (-1)^n \over 2} {x^{n} \over n!} } \tag{9}\] \[ e^{x/2} = \sqrt{\cos(ix) - i\sin(ix)} = \sqrt{\operatorname{ch}(x) + \operatorname{sh}(x)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{{x^{n} \over n!}} \tag{10}\] \[ \sqrt{i\cos(ix) + \sin(ix)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{i {x^{n} \over n!}} \tag{11}\] \[ \sqrt{\cos(ix) + i\sin(ix)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ (-1)^n {x^{n} \over n!}} \tag{12}\] \[ \sqrt{\cos(ix) + \sin(ix)} \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ \sqrt{(-1)^n} {x^{n} \over n!}} \tag{13}\] \[ \exp \left( i \frac{x}{2} \right) \to \sum \mathbf{j_n} \sqrt{ (i)^n {x^{n} \over n!}} \tag{14}\] Также, предлагается ещё одно необычное равенство, которое не доказывается в скалярной математике: \[ e^{x/2} = \left| \sqrt{\cos(ix)} + \sqrt{i\sin(ix)} \right| = \left| \sqrt{\operatorname{ch}(x)} + i\sqrt{\operatorname{sh}(x)} \right|, \quad x \geq 0 \\ e^{-x/2} = \left| \sqrt{\cos(ix)} + i\sqrt{i\sin(ix)} \right| = \left| \sqrt{\operatorname{ch}(x)} + \sqrt{\operatorname{sh}(x)} \right|, \quad x < 0 \tag{15}\]