Ещё Ампер заметил, что при внесении проводника перпендикулярно силовым линиям магнитного поля в самом проводнике начинает течь ток. Причём вектор скорости должен быть перпендикулярен, как линиям магнитного поля, так и направлению тока. Т.е. по факту имеем три перпедикулярные между собой силы, переходящие одна в другую в зависимости от условий эксперимента. А что, если одна из сил, например магнитная, будет формироваться стоячей волной, энергетические затраты на поддержание которой минимальны? В этой работе мы постараемся ответить на этот вопрос.

Посмотрите на два примера — пример 1 и пример 2 — В обоих случаях мы наблюдаем стоячую волну, но в первом — волна зрительно стоит, а во втором — движется. Более подробно процесс преобразование поперечных волн в продольные смотрите здесь.

Поскольку анимация построена с максимальным приближениям к реальным линиям, на странице с примерами вам нужно подождать некоторое время, пока не установится стационарный режим.

Для некоторых задач необходимо определить величину такого движения, а поскольку волна смещается всей площадью, то очевидно, что её и необходимо будет найти. Условимся, что далее площадь смещения волны мы будем называть ПСВ, а забегая вперёд скажем, что при некоторых условиях эта величина — и есть численное выражение так называемой свободной энергии. Но сначала мы введём определение волны, а затем найдём и её ПСВ.

Для представления импульса в длинной линии (ДЛ) воспользуемся его стандартным выражением для падающей \(A_1\) и отраженной \(A_2\) волны [1]. \[A_1 = \frac{a}{2} \sin(\omega t - k x), \qquad A_2 = \frac{a}{2} \sin(\omega t + k x) \qquad (1.1) \] Параллельно будем рассматривать и косинусный вариант: \[A_1 = \frac{a}{2} \cos(\omega t - k x), \qquad A_2 = \frac{a}{2} \cos(\omega t + k x) \qquad (1.2) \] где: \(a\) — амплитуда волны, \(\omega\) — круговая частота, \(t\) — время, \(k\) — пространственный множитель, \(x\) — расстояние. Поскольку в дальнейших расчётах мы будем применять относительные единицы, то \(\omega = k = 2\pi\). Также, в данных выкладках мы будем считать ДЛ идеальной, без затухания. Тогда результирующие уравнения стоячей волны будут выражаться так: \[A = A_1 + A_2 = \frac{a}{2} (\sin(\omega t - k x) + \sin(\omega t + k x)) = a\cos(k x)\sin(\omega t) \qquad (1.3) \] \[A = A_1 + A_2 = \frac{a}{2} (\cos(\omega t - k x) + \cos(\omega t + k x)) = a\cos(k x)\cos(\omega t) \qquad (1.4) \] Пример описанной в уравнении (1.4) волны, которая находится в полуволновой ДЛ, находится здесь.

Для наших задач нам потребуется сложная форма импульса, поэтому для большего обобщения мы будем представлять его в виде ряда Фурье. Пока будем рассматривать его частный случай — разложение по синусам и по косинусам. Итак, синусное и косинусное уравнение стоячей волны в более общем случае будет таким: \[A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \sin(i\omega t)) \qquad (1.5) \] \[A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \cos(i\omega t)) \qquad (1.6) \] где \(N\) — число гармоник, \(a_i\) — амплитуда i-той гармоники. Теперь мы можем представлять более сложные импульсы, например такие.

Далее, нам необходимо найти площадь смещения волны, которая проходит путь по ДЛ, при этом перемещаясь и во времени. Обозначим её символом \(S\). Её значение должно быть пропорционально смещению всей площади импульса в пространстве и во времени. Если же импульс в пространстве неподвижен, а меняется только во времени, то значение \(S\) должно быть равно нулю.

На следующем рисунке изображен один и тот же импульс, но для двух разных значений времени (1) и (2), Импульс образует в ДЛ стоячую волну, поэтому длина ДЛ \(\lambda\) может принимать значения \(\frac14, \frac12, \frac34, 1\) и т.д.

Будем искать изменение площади волны по пространству-времени в таком виде: \[\Delta S' = \sum_i {\Delta A_x \over \Delta x } \Delta A_t \qquad (1.7) \] где: \(\Delta A_x\) — изменение амплитуды импульса в точке \(x\), \(\Delta x\) — изменение пространственной координаты в этой точке, \(\Delta A_t\) — изменение амплитуды импульса при смещении на \(\Delta t\), \(i\) — индекс, который проходит все значения пространственной оси, от нуля до \({\lambda \over \Delta x } \). Тогда верно и обратное выражение: \[\Delta S' = \sum_i {\Delta A_t \over \Delta t } \Delta A_x \] Переходя к дифференциалам и интегралам получаем следующее выражение: \[d S' = \int_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x } \partial A_t = \int_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dt \qquad (1.8) \] где: \({\partial A_x \over \partial x}, {\partial A_t \over \partial t}\) — частные производные по пространственной и временной координате. Тогда общая ПСВ будет находиться так [2]: \[S = \iint_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dx\,dt \qquad (1.9) \]

Чтобы разобраться, какая форма импульса даёт больший ПСВ, нам нужно его нормировать. Для этого воспользуемся теоремой Парсеваля [3] для ряда Фурье и найдём нормировщик: \[\Psi = \iint_0^1 A(x,t)^2 \, dx\,dt \qquad (1.10) \] Следовательно теперь наша искомая формула будет выглядеть так: \[\bar S = \frac {S} {\Psi} = \frac {\iint_0^\lambda {\partial A_x \over \partial x} {\partial A_t \over \partial t} dx\,dt} {\iint_0^1 A(x,t)^2 \, dx\,dt} \qquad (1.11) \] Нужно сказать, что \(\bar S\) удобная относительная величина для сравнения. Например, для классического трансформатора Тесла [4], где \(\lambda = \frac14\) и только одна первая гармоника, \(\bar S = 1\) (пример). А значит все остальные ПСВ мы можем сравнивать именно с этим случаем. Для \(\lambda = \frac12\) и двух первых одинаковых по амплитуде гармоник \(\bar S = 7\) — здесь уже явно видно движение волны по ДЛ (пример). Если ещё добавить гармоники и этим ещё больше усилить движение волны, можно получить ещё большее значение \(\bar S\). Так например этот вариант даст \(\bar S = 64\).

\(S\) и \(\bar S\) всегда будем брать по модулю, так как нам важно относительное, а не абсолютное значение этой величины. В формулах модуль не показывается, но подразумевается.

Расчёт по формуле (1.11) легче всего проводить в математическом редакторе, например в MathCAD. Для этого редактора и этой формулы программка находится здесь. Для \(N=10\) этот редактор, на компьютере с процессором в 2.2 ГГц, просчитывает формулу (1.11) за 12 секунд, для \(N=15\) — за 25 секунд. Далее будет показана упрощенная формула для одного частного случая, но которая просчитывается компьютером за миллисекунды.

С помощью формулы (1.11) можно находить относительные площади смещения для любых сигналов, но поскольку нас будут интересовать только импульсы в виде (1.5) или (1.6), то можно сузить задачу и найти более простое уравнение для одного распостранённого частного случая.

При \(\lambda = \frac12\) в ДЛ устанавливается полуволновой режим, для которого из формулы (1.11) получен более простой вид. Для волны (1.5) упрощенная формула будет такой: \[S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^3 (i-1) \over 4i^2-1} \quad \qquad (1.12) \] Для волны (1.6) — такой: \[S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \quad \qquad (1.13) \] Они работают с точностью 10% в диапазоне \(N \le 12\). Из формул, в частности, следует, что \(S\) равно нулю, если спектр импульса содержит только одну гармонику (пример, пример) или в спектре присутствуют только нечётные гармоники (пример). Как видно их этих примеров, волна в ДЛ не движется. Из дальнейших изложений будет ясно, что нечётные гармоники отвечают за крутизну спада-нарастания импульса, а чётные — за движение волны в ДЛ. Также приведём пример с чётными и нечётными гармониками, где уже явно видно движение волны.

Из формулы (1.10) возьмём правило нормировки и выведем его для импульса (1.5) и (1.6): \[\Psi = \frac14 \sum_{i=1}^N a_i^2 \qquad (1.14)\] Таким образом, общая приближённая формула для случая \(\lambda = \frac12\) и волны (1.5) будет такая: \[\bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^3 (i-1) \over 4i^2-1} \over \sum_{i=1}^N a_i^2} \qquad (1.15) \] а для волны (1.6) — такая: \[\bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \over \sum_{i=1}^N a_i^2} \qquad (1.16) \] Если же все \(a_{i}\) одинаковые, то тогда формулы совсем упрощаются: \[\bar S \approx {32 \over N} \sum_{i=1}^{N} { i^3 (i-1) \over 4i^2-1 } \qquad (1.17) \] \[\bar S \approx {32 \over N} \sum_{i=1}^{N} { i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \qquad (1.18) \] Из формул (1.17, 1.18) следует интересный факт, что ПСВ для синусной и косинусной формы волны немного отличаются.

Если же число одинаковых по амплитуде гармоник будет достаточно большое \(N \ge 12\), то ПСВ для синусной и косинусной формы волны становятся примерно равными, а сама формула ещё больше упрощается [5]: \[\bar S \approx \frac43 (2N + 1)(N + 1) \qquad (1.19)\] Нужно не забывать, что приближённые формулы (1.12-1.19) выведены для частного случая \(\lambda = \frac12\), который мы и будем в дальнейшем рассматривать. Для квазипрямоугольного импульса расчёт ПСВ приводится здесь.

Этот частный случай приводит нас к интересному наблюдению. В формуле (1.19) было найдено относительное (нормированное) значение ПСВ, но по абсолютному значению площадь смещения будет находиться так: \[S \approx \frac{a^2}{3} N(2N + 1)(N + 1) = 2 a^2 \left({N^3 \over 3} + {N^2 \over 2} + {N \over 6}\right) \qquad (1.20)\] Выражение до скобок — это квадрат амплитуды волны или некая единичная энергия, например, одного блока, а в скобках — формула для построения всей пирамиды [6]. В такой интерпретации \(N\) представляет собой число её ярусов, а \(S\) — общую энергию пирамиды.

Но наша задача другая — научиться использовать ПСВ для получения свободной энергии, о чём и пойдёт речь во второй части этой статьи.