В этом дополнении к статье о площади смещения стоячей волны мы покажем, как подсчитать ПСВ квазипрямоугольного импульса со скважностью \(Q\). Приставка «квази» здесь используется по причине приближения исследуемого здесь импульса к прямоугольной форме. Причём, чем больше задействуется гармоник \(N\), тем точнее это приближение.

Известно, что прямоугольный импульс может быть «собран» из гармоник косинусного ряда Фурье [1]: \[A(t) = \frac12 \sum_{i=1}^N a_i \cos(i\,\omega\,t), \qquad a_i= \frac{4}{\pi\,i} \sin\left({\pi\,i \over Q}\right) \qquad (4.1) \] Тогда для \(\lambda = \frac12\) согласно (1.6) формула стоячей волны будет такая: \[A(x,t) = \sum_{i=1}^N (a_i \cos(ik x) \cos(i\omega t)) \qquad (4.2) \] Для нахождения ПСВ волны из такого импульса будем пользоваться приближённой формулой (1.13): \[S \approx 8 \sum_{i=1}^{N} a_{i}a_{i-1}{ i^2 (i-1)^2 \over (2i-1)^2} \] Учитывая, что: \[ a_i= \frac{4}{\pi\,i} \sin\left({\pi\,i \over Q}\right), \qquad a_{i-1}= \frac{4}{\pi\,(i-1)} \sin\left({\pi\,(i-1) \over Q}\right) \] и делая подстановки получаем: \[S \approx \frac{128}{\pi^2} \sum_{i=1}^{N} \left[ \sin\left({\pi\,i \over Q}\right) \sin\left({\pi\,(i-1) \over Q}\right){i(i-1) \over (2i-1)^2} \right] \qquad (4.3) \] Если \(N \gt 8\), то эту формулу с достаточной точностью можно упростить: \[S \approx \frac{16\,N}{\pi^2} \cos(\frac{\pi}{Q}) \qquad (4.4) \]

Формулу нормирования берём из (1.14). Подставляя туда \(a_i\) и делая несложные преобразования получаем нормировщик: \[ \Psi = \frac{4}{\pi^2} \sum_{i=1}^N \frac{1}{i^2} \sin\left({\pi\,i \over Q}\right)^2 \qquad (4.5) \]

Из формул (4.3, 4.4, 4.5) получаем окончательный результат.
Когда \(N \le 8\): \[ \bar S \approx 32 {\sum_{i=1}^{N} \left[ \sin\left({\pi\,i \over Q}\right) \sin\left({\pi\,(i-1) \over Q}\right){i(i-1) \over (2i-1)^2} \right] \over \sum_{i=1}^N \frac{1}{i^2} \sin\left({\pi\,i \over Q}\right)^2 } \qquad (4.6) \] Когда \(N \gt 8\): \[ \bar S \approx { 4 N \cos(\frac{\pi}{Q}) \over \sum_{i=1}^N \frac{1}{i^2} \sin\left({\pi\,i \over Q}\right)^2 } \qquad (4.7) \] Одним из совсем неочевидных выводов из этой формулы является такой, что при достаточно большом числе гармоник относительная ПСВ пропорциональна первой степени \(N\), в отличие от квадратичной зависимости — в формуле (1.19); напомним, что там все \(a_i\) были равны.

Импульс	N	Q	S	S
	3	3	2	5.7
	3	7	3.4	18
	5	3	4.6	11
	5	7	8.8	41
	9	3	7	17
	9	7	11	50
	13	3	9.4	22
	13	7	20	87
	13	11	17	117
	21	3	17	38
	21	7	30	129
	21	11	34	217
	21	15	31	269
	21	21	34	411

Программку для MathCAD, по которой рассчитывалась эта таблица, можно взять здесь.