Это довольно необычная теоретическая проблема сподвигла автора сделать её анализ на основе гравитационно-гидравлического генератора [1], но её можно распостранить и на любые другие подобные системы [2]. Автор не претендует на однозначность сделанных здесь выкладок, и, если найдётся достойное опровержение, автор готов его опубликовать в этой работе, как альтернативу.

Общий смысл проблемы заключается в том, что путь движения тела можно разложить на два (или больше) участков, на одном из которых тело набирает определённую скорость, а на другом — движется уже относительно этой приобретённой ранее скорости. Причём одна из сил, воздействующих на тело, должна быть дармовой (например, сила тяжести). Тогда возникает теоретический парадокс, при котором энергия для перемещения тела на начальную точку может быть меньше, чем энергия, которое наберёт тело в результате описанного движения. К слову, подобный же результат достигается при эффекте Оберта [3], и в парадоксе двух ракет.

Схема гравитационно-гидравлического принципа получения дополнительной энергии, или COP более единицы [4], представлена на рисунке 1. Сверху располагается бак с жидкостью (1), как правило водой, внизу которого сделано отверстие (2), через которое эта жидкость вытекает со скоростью \(v\). Поток падающей жикости (3) ускоряется до скорости \(\vartheta\), после чего достигает поддона (4), где мы и будем считать суммарную кинетическую энергию. На этом рисунке не показан обратный процесс — подъём жидкости обратно в бак, хотя в реальном устройстве он должен будет обязательно присутствовать. Давйте разберём эту схему, составим к ней математическую модель, и подсчитаем её COP. Заметим только, что потерями, например на трение, мы здесь пренебрегаем.

Для этого разобьём бак на небольшие участки по высоте, каждый из которых рассмотрим по-отдельности, а затем снова просуммируем их. Начнём расчёт с известного правила об общей кинетической энергии системы точек, которая находится, как сумма кинетических энергий каждой точки [5]: \[A = \sum A_i, \quad A_i = {m_i \vartheta_i^2 \over 2} \tag{1}\] В качестве такой точки мы рассмотрим достаточно тонкий слой жидкости высотой \(\Delta h\), масса каждого слоя которого будет находиться так: \[ m_i = m_0 {\Delta h_i \over h_1} = m_0 {\Delta h \over h_1} \tag{2}\] где: \(m_0\) — масса полного бака. Поскольку мы считаем жидкость несжимаемой, то все слои будут иметь одинаковую массу. Каждый слой перемещается в отверстие бака, при этом, скорость истечения из него будет такая [6]: \[ v_i = \sqrt{2\, g\, h_i}, \quad h_i = i\,\Delta h \tag{3}\] Высота уровня воды в баке здесь обозначается \(h_i\), причём индекс \(i\) меняется от большего значения к меньшему, т.к. бак сначала полностью наполнен водой, а затем её уровень уменьшается: \[ i \in N \ldots 0, \quad N\, \Delta h = h_1 \tag{4}\] Здесь: \(N\) — число точек разбиения высоты бака на слои.

Далее, падая с высоты \(h_2\), струя воды с массой \(m_i\), набирает дополнительную скорость \(\sqrt{2\, g\, h_2}\), которая суммируется с уже имеющейся [6]: \[ \vartheta_i = v_i + \sqrt{2\, g\, h_2} \tag{5}\] Сопротивлением воздуха мы пока пренебрегаем. Запишем теперь кинетическую энергию слоя \(\Delta h\) исходя из (1,2): \[ A_i = {m_0 \over 2} {\Delta h \over h_1} \left( \sqrt{2\, g\, h_i} + \sqrt{2\, g\, h_2} \right)^2 \tag{6}\] или \[ A_i = {m_0 g \over h_1} \left( \sqrt{h_i} + \sqrt{h_2} \right)^2 \Delta h \tag{7}\] Для точного определения суммы кинетических энергий точек, нужно толщину слоя уменьшить до бесконечно малой высоты, а число слоёв — до бесконечности. Это означает переход от суммы (1) к следующему интегралу: \[A = {m_0 g \over h_1} \int \limits_0^{h_1} \left( \sqrt{h} + \sqrt{h_2} \right)^2 \partial h \tag{8}\] Взяв этот интеграл мы с удивлением обнаружим, что кинетическая энергия движения жидкости вниз (в самой нижней точке) отличается от затраченной на её подъём: \[A = m_0 g \left( {h_1 \over 2} + h_2 + \frac43 \sqrt{h_1 h_2} \right) \tag{9}\] А на подъём жидкости в бак требуется энергия, которая находится по классической формуле: \[A_C = m_0 g \left( h_1 + h_2 \right) \tag{10}\] В данной схеме (рис.1) такой подъём не рассматривается, но подразумевается. Кроме того, здесь не учитывается высота поддона, которая нам неизвестна, но которая также может внести небольшие коррективы в расчёт.

Разделив полученную энергию на затрачиваемую, сразу же найдём COP \[C\!O\!P = {A \over A_C} = {1 + \frac12 x + \frac43 \sqrt{x} \over 1 + x}, \quad x = {h_1 \over h_2} \tag{11}\] и представим эту зависимость на следующем графике:

Как видно из графика, максимальный COP, при соблюдении оптимального соотношения \(h_1/h_2\), равен около 1.46. Теперь двавйте вспомним, что мы не учитывали здесь потери. В основном, они будут заключаться в работе компрессора на подъём воды и механики, если съём полученной энергии будет производиться при помощи, например, ковшей. Тогда потери могут составить до 60%, а это означает, что окончательный COP будет меньше единицы: \[C\!O\!P_{in} = C\!O\!P_{max} \cdot 0.6 = 0.88 \tag{12}\] Можно предположить, что в этом заключается причина многих неудач изобретателей устройств свободной энергии, работающих в этой области. Доведение схемы до совершенства, с получением высокого КПД узлов и частей такого устройства, позволяет, в теории, преодолеть этот барьер!