Это один из известных парадоксов в физике, на который исследователи обратили внимание достаточно давно [1,2]. На этом парадоксе, возможно, работают некоторые устройства свободной энергии, принцип действия одного из которых был представлен автором здесь. Необходимо заметить, что автор этой заметки не настаивает на однозначности приводимых далее выкладок.

Парадокс выглядит на первый взгляд очень просто. У нас имеется две одинаковые идеальные ракеты, двигатели которых набирают скорость отбрасывая минимум массы (например, имея ионные движки), при этом энергетические затраты на такой разгон, равно как и кинетическая энергия ракеты, могут быть рассчитаны по классической формуле: \[E = W = {m\, v^2 \over 2} \tag{1}\] где: \(m\) — масса ракеты, \(v\) — скорость, которую набрала ракета. Способ разгона мы здесь не рассматриваем.

Мы делаем два опыта.
1 опыт. Одну ракету устанавливаем на другую, и при помощи движка нижней ракеты разгоняем эту конструкцию до скорости \(v\). После этого, верхнюю ракету отсоединяем и она продолжает набирать скорость за счёт уже своего движка, разгоняясь таким образом до \(2 v\). В этот момент мы рассчитываем энергию, затраченную на разгон всей конструкцией — \(E_1\), и кинетическую энергию верхней ракеты — \(W_1\).

2 опыт. Одну ракету разгоняем до скорости до \(2 v\), и в этот момент мы рассчитываем энергию, затраченную на разгон — \(E_2\), и её кинетическую энергию — \(W_2\).

Обе ракеты были разогнаны до одной и той же скорости и, казалось бы, затраты на их разгон должны быть одинаковы. Однако, давайте сравним их математически.

1 опыт. Для разгона двух соединённых ракет до скорости \(v\) потребуется энергия: \[E_{11} = {(m + m)\, v^2 \over 2} = m\, v^2 \tag{2}\] Кинетическая энергия этой конструкции после разгона будет, очевидно, такая же: \[W_{11} = {(m + m)\, v^2 \over 2} = m\, v^2 \tag{3}\] Для дальнейшего разгона одной ракеты до скорости \(2 v\) будет затрачена энергия: \[E_{12} = {m\, v^2 \over 2} \tag{4}\] Напомним, что на втором участке ракета разгоняется относительно уже набранной скорости \(v\). А вот кинетическая энергия будет считаться от суммы скоростей: \[W_{12} = {m\, (v + v)_1^2 \over 2} = 2 m\, v^2 \tag{5}\] Тогда общая энергия для разгона ракеты будет такая: \[E_{1} = E_{11} + E_{12} = 1.5\, m\, v^2 \tag{6}\] а кинетическая энергия у верхней ракеты такая (5): \[W_{1} = W_{12} = 2\, m\, v^2 \tag{7}\] Получается, что на разгон ракеты в этом опыте мы затратили меньше энергии, чем получили: \[C\!O\!P = {W_{1} \over E_{1}} \approx 1.33 \tag{8}\] И это мы не ещё не считали кинетическую энергию нижней ракеты, которая так и продолжает лететь где-то в космосе :)

2 опыт. Для разгона одной ракеты до скорости \(2 v\) потребуется энергия: \[E_{2} = {m\, (2 v )^2 \over 2} = 2\, m\, v^2 \tag{9}\] которая, очевидно, равна кинетической энергии нашей ракеты: \[W_{2} = {m\, (2 v )^2 \over 2} = 2\, m\, v^2 \tag{10}\] В этом опыте \[C\!O\!P = {W_{2} \over E_{2}} = 1 \tag{11}\] мы получили ожидаемый от закона сохранения энергии, классический результат.

В этом мысленном эксперименте были рассмотрены идеализированные ракеты без отброса топлива, что в реальности пока не представляется возможным. В наше время можно привести аналог нашим опытам — ракету с двумя ступенями, однако, есть разница между многоступенчатой ракетой и двумя соединёнными ракетами. В первом случае, нужно учитывать массу отбрасываемой ступени, из-за чего, собственно, и делаются ступени. Кроме того, в реальной на сегодняшний день ракете нужно учитывать расход энергии на формирование реактивной струи [1]. Результат (8) этой заметки, в этом случае, будет другим.

С другой стороны, использование природных статических сил может открыть человечеству совершенно новые источники энергии, поэтому отбрасывать такой механизм является нецелесообразным. Пример преобразования силы гравитации в полезную кинетическую энергию, на представленном в этой заметке принципе, показан здесь [3].