Такая задача возникает, когда в классической RC-цепи неизвестными являются значения некоторых её элементов. На рисунке 1 эти элементы обведены пунктирной линией — квадратом, который, по сути, является «чёрным ящиком». Нам неизвестно \(r\) — активное внутреннее сопротивление схемы (потери), и, соответственно, ток \(I_0\), протекающий через него. А также, нам неизвестно активное сопротивление \(R\), через которую происходит зарядка конденсатора \(C\), и, соответственно, ток \(I_C\), протекающий через него.

Зато нам известна ёмкость конденсатора \(C\) и параметры, которые мы можем измерить на входе и выходе схемы: ток от источника питания \(I\) в начале и в конце заряда: \(I_1, I_2\), напряжение на конденсаторе \(U\) в начале и в конце заряда: \(U_1, U_2\). Нам необходимо найти средний ток \(I_M\), потребляемый от источника питания, за время зарядки \(t_2\). Подробно эти значения отражены на графике 2, где красным цветом изображён ток от источника питания, а синим — напряжение на конденсаторе.

Рис.1. Принципиальная схема RC-цепи для расчёта

Рис.2. График, поясняющий известные параметры задачи

Для решения этой задачи необходимо найти все недостающие элементы, а затем, с помощью интегрирования, найти нужный ответ. Вначале воспользуемся классическим решением задачи о зарядке конденсатора \(C\) из работы [1]: \[U(t) = U_1 \mathrm{e}^{-t/\tau} + U_p (1 - \mathrm{e}^{-t/\tau}), \quad \tau = R C \qquad (1)\] Исходя из этого, найдём значения на конденсаторе в начальный и конечный моменты времени (\(t_1, t_2\)). Поскольку \(t_1=0\), то \(t_2\) — это время зарядки конденсатора. Тогда: \[U(t_1) = U_1 \qquad (2)\] \[U(t_2) = U_2 = U_1 \mathrm{e}^{-a} + U_p (1 - \mathrm{e}^{-a}), \quad a = t_2/\tau \qquad (3)\] А уже отсюда получим напряжение источника питания. Почему его не ввести, как известную величину? — ответим чуть позже. А пока найдём его значение из ранее полученных выражений: \[U_p = U_1 + {\Delta U \over 1 - \mathrm{e}^{-a}}, \quad \Delta U = U_2 - U_1 \qquad (4)\] Тогда формула (1) примет окончательный вид: \[U(t) = U_1 + \Delta U {1 - \mathrm{e}^{-t/\tau} \over 1 - \mathrm{e}^{-a}} \qquad (5)\] Теперь перейдём к току. Из рисунка 1 очевидно, что: \[I(t) = I_0 + I_C(t), \quad I_C(t) = {U_p - U(t) \over R} \qquad (6)\] Как и случае с напряжением, здесь мы также найдём значения тока в начальный и конечный моменты времени (\(t_1, t_2\)): \[I(t_1) = I_1 = I_0 + I_C(t_1), \quad I(t_2)= I_2 = I_0 + I_C(t2) \qquad (7)\] Из (6) и (7), путём несложных преобразований, находим (8) и (9): \[R = {\Delta U \over \Delta I}, \quad \Delta I = I_1 - I_2 \qquad (8)\] \[I_0 = I_1 - {\Delta I \over 1 - \mathrm{e}^{-a}} \qquad (9)\] Подставляя выведенные выражения в формулу (6), получим зависимость тока от времени: \[I(t) = I_1 - \Delta I\, {1 - \mathrm{e}^{-t/\tau} \over 1 - \mathrm{e}^{-a}} \qquad (10)\] Но для ответа необходимо среднее значение тока, который мы и получим далее.

Для нахождения среднего значения необходимо взять интеграл тока по времени, и разделить его на время зарядки конденсатора \(t_2\): \[I_M = \frac{1}{t_2} \int \limits_0^{t_2} I(t)\, \mathrm{d}t \qquad (11)\] Вычислив этот интеграл, и произведя несложные преобразования, мы получим окончательную формулу: \[I_M = I_1 - \Delta I \left({1 \over 1 - \mathrm{e}^{-a}} - {1 \over a} \right) \qquad (12)\] Напомним, что здесь: \[ a = t_2/\tau, \quad \tau = R C = C {\Delta U \over \Delta I} \] \[\Delta U = U_2 - U_1, \quad \Delta I = I_1 - I_2 \] Такая формула не встречается в классических учебниках и может быть интересна для некоторых расчётов. Пример.

В этом случае формула (12) сильно упрощается: \[I_M \approx { I_1 + I_2 \over 2}, \quad a \ll 1 \] Это происходит из-за того, что функция выходит на квази линейный участок. Тогда средний ток можно найти, как среднее значение между начальным и конечным токами.

Нам может быть интересен расчёт чёрного ящика, который содержит внутри преобразователь, например, повышающий напряжение (см. рисунок слева). В этом случае формула (12) также оказывается полностью работоспособной, т.к. \(\tau\) оказывается независимым от этих параметров.

Также, расчёт подходит и в случае, когда на выходе «Black box» напряжение импульсное. Именно для этих случаев, когда это напряжение неизвестно, мы не вводили \(U_p\) в условие задачи. Представленный здесь подход отличается тем, что для энергетического расчёта подобных неизвестных структур нам достаточно знать два значения тока, поступающих в неё (до и после заряда), два значения напряжения на заряжаемом конденсаторе (до и после), ёмкость конденсатора, и время его заряда.

Домножив среднее значение тока по формуле (12) на напряжение питания B1, мы получаем среднюю мощность, затрачиваемую источником питания при заряде конденсатора. А умножив эту мощность на время зарядки — находим энергию, затрачиваемую на этот процесс.