2026-07-24
От формулы Эйлера к сплит-геометрии
Часть 2. Сплит-синус и сплит-косинус двухфазной геометрии
Тригонометрические функции возникли как язык описания вращения. Косинус и синус позволяют представить одно и то же движение через две взаимно перпендикулярные проекции, а формула Эйлера объединяет эти проекции в единую комплексную экспоненту. Благодаря этому один фазовый параметр одновременно определяет положение точки на окружности, её действительную координату и её мнимую координату.
Однако такая конструкция предполагает, что весь геометрический объект подчиняется одной общей фазе. Если же объект состоит из двух независимых компонент, каждая из которых вращается по собственному закону, одной фазовой координаты уже недостаточно. Возникает задача построить аналог формулы Эйлера, способный описывать сразу два вращения, не смешивая их и сохраняя привычные свойства синуса и косинуса.
Поскольку каждое из двух вращений имеет собственную фазу, обычные функции sin(α) и cos(α), зависящие от одного аргумента, оказываются недостаточными. Это естественным образом приводит к введению их двухпараметрического обобщения.
Ниже будет показано, что такую конструкцию естественно получить в идемпотентном базисе. Две его взаимно аннулирующиеся компоненты позволяют закрепить за каждой из фаз собственную плоскость вращения, а затем определить их общие действительную и мнимую проекции. Эти проекции и будут названы сплит-косинусом и сплит-синусом.
Классическая формула Эйлера
\[
e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi
\tag{1}
\]
показывает, что косинус и синус являются действительной и мнимой проекциями одного вращения в комплексной плоскости. Такое вращение определяется одной фазой \(\varphi\).
Однако в двухфазной геометрии возникает более общий объект
\[
J(a,b)=\j^{a}(-\j)^{b},
\tag{2}
\]
содержащий уже две независимые фазовые координаты. Одна из них относится к компоненте \(\ep\), другая — к компоненте \(\em\). Поэтому представить действительную и мнимую части оператора (2) при помощи одного обычного синуса и одного обычного косинуса уже невозможно.
Именно для описания такого двухфазного объекта естественно ввести новые функции — сплит-косинус и сплит-синус. Они не заменяют классические тригонометрические функции, а расширяют их на случай двух независимых вращений, сохраняя при этом форму формулы Эйлера и основные тригонометрические тождества.
1. Два независимых вращения
Используем идемпотентный базис
\[
\ep^2=\ep,\qquad
\em^2=\em,\qquad
\ep\em=0,\qquad
\ep+\em=1.
\tag{3}
\]
Степени гиперболической единицы и противоположной ей величины представляются в виде
\[
\j^{a}=\ep+\em e^{i\pi a},
\tag{4}
\]
\[
(-\j)^{b}=\ep e^{i\pi b}+\em.
\tag{5}
\]
Перемножая (4) и (5), получаем
\[
\begin{aligned}
J(a,b)
&=
\left(\ep+\em e^{i\pi a}\right)
\left(\ep e^{i\pi b}+\em\right)
\\[2mm]
&=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
\end{aligned}
\tag{6}
\]
Смешанные произведения исчезают вследствие условия \(\ep\em=0\). Поэтому каждая фазовая координата остаётся в собственной идемпотентной компоненте:
\[
\pi b\quad\text{в компоненте}\quad\ep,
\qquad
\pi a\quad\text{в компоненте}\quad\em.
\tag{7}
\]
Таким образом, оператор \(J(a,b)\) объединяет два независимых комплексных вращения в единый алгебраический объект.
2. Определение сплит-функций
Раскроем обе экспоненты в формуле (6):
\[
\begin{aligned}
J(a,b)
={}&\ep\left[\cos(\pi b)+i\sin(\pi b)\right]
\\
&+\em\left[\cos(\pi a)+i\sin(\pi a)\right].
\end{aligned}
\tag{8}
\]
Собирая отдельно действительную и мнимую части, введём определения
\[
\boxed{
\Cos(a,b)
=\ep\cos(\pi b)+\em\cos(\pi a)
}
\tag{9}
\]
и
\[
\boxed{
\Sin(a,b)
=\ep\sin(\pi b)+\em\sin(\pi a).
}
\tag{10}
\]
Тогда оператор (2) принимает форму
\[
\boxed{
\j^{a}(-\j)^{b}
=\Cos(a,b)+i\Sin(a,b).
}
\tag{11}
\]
Формула (11) является двухфазным аналогом формулы Эйлера. Обычная комплексная экспонента описывает одно вращение с одной фазой, тогда как оператор \(\j^{a}(-\j)^{b}\) описывает два независимых вращения с фазами \(\pi a\) и \(\pi b\).
3. Связь с классической тригонометрией
Важнейшее свойство новых функций проявляется при совпадении двух фазовых координат:
\[
a=b.
\tag{12}
\]
В этом случае
\[
\begin{aligned}
\Cos(a,a)
&=\ep\cos(\pi a)+\em\cos(\pi a)
\\
&=(\ep+\em)\cos(\pi a)
\\
&=\cos(\pi a),
\end{aligned}
\tag{13}
\]
а также
\[
\Sin(a,a)=\sin(\pi a).
\tag{14}
\]
Следовательно,
\[
\boxed{
\Cos(a,a)=\cos(\pi a),
\qquad
\Sin(a,a)=\sin(\pi a).
}
\tag{15}
\]
Классическая тригонометрия оказывается диагональным случаем двухфазной геометрии. Когда обе компоненты вращаются синхронно, различие между ними исчезает и сплит-функции переходят в обычные синус и косинус.
При \(a\ne b\) две компоненты имеют разные фазы, поэтому оператор \(J(a,b)\) в общем случае нельзя заменить одной обычной экспонентой \(e^{i\varphi}\). Именно эта возможность независимого изменения фаз и составляет содержание нового обобщения.
4. Основное тождество
Возведём функции (9) и (10) в квадрат. Благодаря ортогональности идемпотентов смешанные слагаемые исчезают:
\[
\Cos^{2}(a,b)
=\ep\cos^{2}(\pi b)+\em\cos^{2}(\pi a),
\tag{16}
\]
\[
\Sin^{2}(a,b)
=\ep\sin^{2}(\pi b)+\em\sin^{2}(\pi a).
\tag{17}
\]
Складывая эти выражения и используя классическое тождество \(\cos^{2}x+\sin^{2}x=1\) отдельно в каждой компоненте, получаем
\[
\begin{aligned}
\Cos^{2}(a,b)+\Sin^{2}(a,b)
&=\ep+\em=1.
\end{aligned}
\tag{18}
\]
Итак,
\[
\boxed{
\Cos^{2}(a,b)+\Sin^{2}(a,b)=1
}
\tag{19}
\]
Формула (19) полностью сохраняет структуру классического тождества
\[
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1.
\tag{20}
\]
Различие состоит лишь в том, что классическая формула относится к одной фазе, а сплит-тождество объединяет две независимые фазы в одном нормированном объекте.
5. Формулы двойного аргумента
Особенно наглядно связь сплит-функций с классической тригонометрией проявляется в формулах двойного аргумента. Для обычных функций справедливы тождества
\[
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},
\qquad
\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},
\tag{21}
\]
\[
\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}.
\tag{22}
\]
Поскольку каждая идемпотентная компонента подчиняется обычной тригонометрии, эти формулы переносятся на сплит-функции покомпонентно:
\[
\boxed{
\Cos^{2}(a,b)
=\frac{1+\Cos(2a,2b)}{2}
}
\tag{23}
\]
\[
\boxed{
\Sin^{2}(a,b)
=\frac{1-\Cos(2a,2b)}{2}
}
\tag{24}
\]
\[
\boxed{
\Sin(a,b)\Cos(a,b)
=\frac{\Sin(2a,2b)}{2}.
}
\tag{25}
\]
Сравнение формул (21), (22) с формулами (23)–(25) показывает, что структура классической тригонометрии сохраняется без изменений. Единственное отличие состоит в одновременном удвоении двух фазовых координат:
\[
(a,b)\longmapsto(2a,2b).
\tag{26}
\]
Это сходство не является формальной аналогией. Оно непосредственно следует из разложения сплит-функций по идемпотентам и из условия \(\ep\em=0\), которое не допускает смешивания двух фазовых плоскостей.
6. Геометрический смысл
Обычная комплексная экспонента \(e^{i\varphi}\) задаёт вращение на одной единичной окружности. Её действительная и мнимая проекции равны \(\cos\varphi\) и \(\sin\varphi\).
Сплит-оператор
\[
J(a,b)=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}
\tag{27}
\]
объединяет две единичные окружности, каждая из которых имеет собственную фазу. Сплит-косинус задаёт совокупность действительных проекций этих вращений,
\[
\Cos(a,b)
=\ep\cos(\pi b)+\em\cos(\pi a),
\tag{28}
\]
а сплит-синус — совокупность их мнимых проекций:
\[
\Sin(a,b)
=\ep\sin(\pi b)+\em\sin(\pi a).
\tag{29}
\]
Поэтому сплит-синус и сплит-косинус следует понимать не как произвольные комбинации обычных функций, а как естественные координатные проекции двухфазного геометрического объекта.
Заключение
Введение функций \(\Cos(a,b)\) и \(\Sin(a,b)\) позволяет сохранить эйлерову форму представления для оператора, содержащего две независимые фазовые координаты. Основной результат работы можно записать в виде
\[
\j^{a}(-\j)^{b}
=
\Cos(a,b)
+
i\Sin(a,b)
\]
При этом сплит-косинус и сплит-синус определяются как
\[
\Cos(a,b)
=
\ep\cos(\pi b)
+
\em\cos(\pi a),
\qquad
\Sin(a,b)
=
\ep\sin(\pi b)
+
\em\sin(\pi a)
\]
Формула (30) показывает, что единый оператор \(\j^{a}(-\j)^{b}\) объединяет два независимых комплексных вращения. Фаза \(\pi b\) относится к компоненте \(\ep\), а фаза \(\pi a\) — к компоненте \(\em\). Благодаря условию \(\ep\em=0\) эти вращения не смешиваются, но входят в общий нормированный геометрический объект.
При совпадении фаз \(a=b\) новые функции переходят в обычные синус и косинус:
\[
\Cos(a,a)=\cos(\pi a),
\qquad
\Sin(a,a)=\sin(\pi a).
\]
При различных фазах \(a\ne b\) они описывают более общий объект, состоящий из двух независимых вращений в ортогональных идемпотентных компонентах.
Тем самым классическая тригонометрия не отбрасывается, а включается в новую конструкцию как её частный диагональный случай. Сплит-тригонометрия расширяет формулу Эйлера с одной фазовой координаты на две, сохраняя нормировку и наиболее важные классические тождества.