Ранее мы разбирали интеграл с модулем косинуса и синусом в целочисленной степени. В этой заметке мы будем изучать интеграл вида \(\int |\cos(x)|\, e^{inx}\, \Bbb{d}x\), где косинус берётся по абсолютной величине, \(i\) — мнимая единица, а \(n\) — целые положительные числа. Без модуля косинуса он берётся аналитически без проблем, а вот модуль приводит нас к очень необычныи результатам и исключениям. В результате нашего анализа мы получим чуть более сложное, но всё ещё аналитичекое решение этого интеграла.

Такой интеграл берётся разложением в ряд Фурье довольно сложным приближением, что чаще всего не очень удобно: \[ I = \int |\cos(x)|\, e^{inx}\, \Bbb{d}x = \int \left( \sum \limits_{m=0}^{\infty} A_m \cos(2mx) \right) e^{inx}\, \Bbb{d}x \tag{1}\] Как мы видим, здесь нужно искать коэффициенты ряда Фурье \(A_m\), затем суммировать и интегрировать большое число слагаемых. Этот способ мы здесь приводим для примера и далее к нему возвращаться не будем.

Мы пойдём другим путём, и упростим решение такого интеграла для интервала \(0..T\) при помощи следующей методики: сначала возьмём интеграл без модуля, а затем указанный интервал разобьём на части, и в каждой из них найдём своё решение.

Так и поступим. Возьмём сначала интеграл без модуля, применяя стандартные методы интегрирования \[ \int \limits_{T_0}^T \cos(x)\, e^{inx}\, \Bbb{d}x = {1 \over 2 i} \left( {e^{i(n+1)T} \over n+1} + {e^{i(n-1)T} \over n-1} \right) \bigg|_{T_0}^T \tag{2}\] а затем разобьём это интервал на части, и будем искать решение в каждой из них. Только сначала обозначим несколько функций для более простой записи общего решения. Первая такая функция делается из (2): \[ I(T,T_0) = {1 \over 2 i} \left( {e^{i(n+1)T} - e^{i(n+1) T_0} \over n+1} + {e^{i(n-1)T} - e^{i(n-1) T_0} \over n-1} \right) \tag{3}\] Также напомним, что при \(n=1\) в этом выражении нужной найти предел, после чего оно станет таким: \[ I(T,T_0) = {1 \over 2 i} \left( {e^{i 2 T} - e^{i 2 T_0} \over 2} + i(T - T_0) \right), \quad n=1 \tag{4}\] Здесь: \(T_0\) — нижняя граница интегрирования.

Введём ещё несколько функций. \[ R = Re \left[ I \left( {\pi \over 2},0 \right) \right] \tag{5}\] где: \(Re\) — действительная часть от выражения. Введём также \[ N = \mbox{floor} \left( {T \over 2\pi} \right) \tag{6}\] где: \(\mbox{floor}\) — наименьшее целое от деления, то есть — сколько полных периодов содержится в \(T\).

Последняя необходимая функция такая: \[ T_{mod} = \mbox{mod} (T, 2\pi) = T - 2\pi N \tag{7}\] Она возвращает остаток от деления. Например, \(\mbox{mod} (3,2)\) возвращает 1, потому что 2 входит в 3 один раз, а остаток равен 1. В случае с формулой (7) выходит, что она показывает остаток после вычитания из \(T\) всех полных \(2\pi\) периодов.

Тогда искомый интеграл будет находиться так: \[I(T,0) = 4 N R + \left\{\begin{matrix} I(T,0) & \mbox{if} & T_{mod} \leqslant \pi/2 \mbox{ and } n \ne 1 \\ I(T,0) - 8 N R & \mbox{if} & T_{mod} \leqslant \pi/2 \mbox{ and } n = 1 \\ I(\pi/2,0) - I(T,\pi/2) & \mbox{if} & \pi/2 \lt T_{mod} \leqslant 3\pi/2 \\ I(3\pi/2,0) + I(T,3\pi/2) & \mbox{if} & T_{mod} \gt 3\pi/2 \mbox{ and } n \ne 1 \\ I(3\pi/2,0) + I(T,3\pi/2) - 8 N R & \mbox{if} & T_{mod} \gt 3\pi/2 \mbox{ and } n = 1 \end{matrix}\right. \tag{8}\] Интеграл получился хоть и довольно громоздкий, но всё же намного проще, чем в решении (1). Правая часть выражения (8), после скобки, периодически повторяется в каждом периоде, а левая — увеличивается с каждым периодом. Также, необходимо заметить, что с каждым новым периодом увеличивается только действительная часть интеграла, мнимая — остаётся периодической.

Может быть интересен интеграл не по неопределённым границам, а только его значения через определённое число периодов. Такое решение более простое и находится так: \[ I(N) = 2N \left( {\sin((n+1) \pi / 2) \over n+1} + {\sin((n-1) \pi / 2) \over n-1} \right), \quad N=0,1,2,3,\ldots \tag{9}\] Здесь \(N\) — число полных периодов. В этом случае верхняя граница интегрирования будет такой: \(T= 2\pi N\).

Формулу (9) можно упростить учитывая чётность и нечётность степени \(n\): \[I(N) = \left\{\begin{matrix} {\large {4 N \over 1 - n^2} (-1)^{n/2}} & \mbox{if} & n = 0,2,4,6,\ldots \\ 0 & \mbox{if} & n = 1,3,5,7,\ldots \\ \end{matrix}\right. \tag{10}\] Теперь нам будет интересно узнать сумму таких интегралов по всем \(n\), от нуля до бесконечности: \[ 4 N \sum \limits_{n=0}^{\infty} {(-1)^{n} \over 1 - 4 n^2} = N(2 + \pi) \tag{11}\] Отсюда находим окончательное решение: \[ \sum \limits_{n=0}^{\infty} I(N) = N(2 + \pi) \tag{12}\] Ещё может быть интересен такой результат: \[ \sum \limits_{n=0}^{\infty} I(N)^2 = N(2 + \pi^2 / 4) \tag{13}\] Такая сумма интегралов по полному числу периодов нам потребуется для решения некоторых практических задач в гипотезе о единичном пространстве.