2026-11-03
Двухфазный оператор J
От формулы Эйлера к расширенному нормированному состоянию
Стрелка часов вращается в одной плоскости, и её положение можно задать одним углом. А как записать два независимых вращения, каждое со своей фазой, сохранив простоту формулы Эйлера? В этой статье мы построим двухфазный оператор \(J\) в пространстве четырёх вещественных координат, выведем его свойства и тригонометрические тождества. Затем добавим нормированные амплитудные веса и покажем, как расширенная конструкция связана с кватернионными поворотами и может применяться для описания вероятностных явлений.
Часть I
Исходный оператор J и двухфазная геометрия
Исходный оператор J и двухфазная геометрия
1. От одной фазы к двум
Формула Эйлера объединяет две вещественные проекции одного комплексного вращения:
\[\tag{1}
e^{i\alpha}=\cos\alpha+i\sin\alpha,\qquad \alpha\in\mathbb R.
\]
Комплексная плоскость имеет две вещественные координаты, однако точка на единичной окружности задаётся одной фазой. Косинус и синус здесь являются согласованными проекциями одного состояния.
Поставим более общую задачу: объединить в одном объекте два независимых комплексных вращения, каждое со своей фазой. Для этого требуется пространство двух комплексных координат, то есть четырёх вещественных координат. При этом мы хотим сохранить экспоненциальную форму, понятные правила композиции и тригонометрические тождества.
Алгебраическая основа такой конструкции описана в работах «От формулы Эйлера к сплит-геометрии» и «Сплит-синус и сплит-косинус двухфазной геометрии». Ниже определения собраны в единую последовательность и дополнены свойствами, необходимыми для перехода к расширенному оператору.
2. Гиперболическая единица и идемпотенты
Работаем над вещественными числами в коммутативной алгебре, порождённой двумя единицами:
\[\tag{2}
i^2=-1,\qquad \j^2=1,\qquad i\j=\j i,\qquad \j\ne\pm1.
\]
Единица \(i\) — обычная комплексная, а \(\j\) — гиперболическая. Введём две идемпотенты:
\[\tag{3}
\ep=\frac{1+\j}{2},\qquad
\em=\frac{1-\j}{2}.
\]
Из условия \(\j^2=1\) непосредственно следует:
\[\tag{4}
\ep^2=\ep,\qquad
\em^{\,2}=\em,\qquad
\ep\em=0,\qquad
\ep+\em=1.
\]
Идемпотенты действуют как взаимно дополнительные проекторы. Например, умножение на \(\ep\) сохраняет первую компоненту и аннулирует вторую. Черта в обозначении \(\em\) служит именем второго идемпотента; комплексное сопряжение далее обозначается отдельно.
В частности,
\[\tag{5}
1=\ep+\em,\qquad
\j=\ep-\em.
\]
Такое разложение является свойством выбранной расширенной алгебры. В нём единица представляется суммой двух проекторов на независимые компоненты.
3. Две комплексные плоскости и четыре вещественные координаты
Общий элемент алгебры допускает две равноправные записи:
\[\tag{6}
Z=\ep z_++\em z_-
=x_0+i x_1+\j x_2+i\j x_3,
\qquad z_+,z_-\in\mathbb C.
\]
Связь координат имеет вид:
\[\tag{7}
z_+=(x_0+x_2)+i(x_1+x_3),\qquad
z_-=(x_0-x_2)+i(x_1-x_3).
\]
Обратный переход получается сложением и вычитанием этих выражений. Таким образом, пространство алгебры четырёхмерно над \(\mathbb R\). Две выделенные комплексные плоскости имеют базисы \((\ep,i\ep)\) и \((\em,i\em)\).
Обычное произведение в идемпотентных координатах покомпонентно:
\[\tag{8}
(\ep z_++\em z_-)
(\ep w_++\em w_-)
=\ep z_+w_++\em z_-w_-.
\]
Эта формула выражает независимость компонент. В алгебре имеются делители нуля: ненулевые \(\ep\) и \(\em\) дают нулевое произведение. Поэтому обратим не каждый ненулевой элемент: для существования \(Z^{-1}\) нужны одновременно \(z_+\ne0\) и \(z_-\ne0\).
4. Непрерывные степени и образование J
Поскольку \(-1=e^{i\pi}\), гиперболическая единица записывается как
\[\tag{9}
\j=\ep+\em e^{i\pi},\qquad
-\j=\ep e^{i\pi}+\em.
\]
Для вещественных показателей выберем непрерывное фазовое продолжение:
\[\tag{10}
\j^a:=\ep+\em e^{i\pi a},\qquad
(-\j)^b:=\ep e^{i\pi b}+\em.
\]
Такое определение соответствует выбранным логарифмам \(\log\j=i\pi\em\) и \(\log(-\j)=i\pi\ep\). Оно возвращает обычные целые степени и задаёт однопараметрические группы. Указание выбора существенно: дробная степень не определяется одним лишь условием \(\j^2=1\).
Оператор \(\j^a\) поворачивает вторую компоненту на угол \(\pi a\), а \((-\j)^b\) — первую на угол \(\pi b\). Их произведение равно
\[\tag{11}
\boxed{\begin{aligned}
J(a,b)&:=\j^a(-\j)^b\\
&=(\ep+\em e^{i\pi a})
(\ep e^{i\pi b}+\em)\\
&=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
\end{aligned}}
\]
\[\large{
J(a,b)=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}.
}
\]
Смешанные слагаемые исчезают из-за \(\ep\em=0\). Полученный оператор объединяет два независимых фазовых вращения.
5. Двухфазное расширение формулы Эйлера
Разложение по идемпотентам позволяет применять экспоненту покомпонентно:
\[\tag{12}
J(a,b)=
\exp\!\left[i\pi\left(\ep b+\em a\right)\right].
\]
Подставляя определения идемпотентов, получаем ещё одну полезную форму:
\[\tag{13}
J(a,b)=
\exp\!\left[i\pi\frac{a+b}{2}+i\j\pi\frac{b-a}{2}\right].
\]
Оба генератора коммутируют, причём \(i^2=(i\j)^2=-1\). Поэтому экспоненту можно представить произведением двух обычных по структуре круговых вращений с разными генераторами.
На диагонали и антидиагонали фазовой плоскости возникают простые сечения:
\[\tag{14}
J(a,a)=e^{i\pi a},\qquad
J(a,-a)=e^{-i\j\pi a}
=\cos(\pi a)-i\j\sin(\pi a).
\]
Следовательно, классическая формула Эйлера входит в двухфазную конструкцию как случай совпадающих фаз. При независимых \(a\) и \(b\) одного обычного комплексного фазового параметра уже недостаточно.
6. Характерные значения
Несколько значений показывают, как внутри одного семейства возникают вещественная, комплексная и гиперболическая единицы.
| \(a\) | \(b\) | \(J(a,b)\) | \(J(a,b)^2\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(0\) | \(\j\) | \(1\) |
| \(0\) | \(1\) | \(-\j\) | \(1\) |
| \(1\) | \(1\) | \(-1\) | \(1\) |
| \(\tfrac12\) | \(\tfrac12\) | \(i\) | \(-1\) |
| \(\tfrac12\) | \(-\tfrac12\) | \(-i\j\) | \(-1\) |
| \(-\tfrac12\) | \(\tfrac12\) | \(i\j\) | \(-1\) |
| \(-\tfrac12\) | \(-\tfrac12\) | \(-i\) | \(-1\) |
Например,
\[\tag{15}
J\!\left(\frac12,-\frac12\right)
=-i\ep+i\em
=-i\j.
\]
Односторонние повороты дают корни из гиперболических единиц:
\[\tag{16}
\begin{aligned}
J\!\left(\frac12,0\right)&=\ep+i\em,
&J\!\left(\frac12,0\right)^2&=\j,\\
J\!\left(0,\frac12\right)&=i\ep+\em,
&J\!\left(0,\frac12\right)^2&=-\j.
\end{aligned}
\]
7. Композиция, сопряжение и обратимость
Покомпонентное умножение немедленно приводит к закону сложения фаз:
\[\tag{17}
J(a,b)J(c,d)=J(a+c,b+d).
\]
Это произведение коммутативно и ассоциативно. Единичное состояние равно \(J(0,0)=1\), а
\[\tag{18}
J^{-1}(a,b)=J(-a,-b),\qquad
J(a,b)^n=J(na,nb),\quad n\in\mathbb Z.
\]
Определим комплексное сопряжение коэффициентов при неизменных идемпотентах:
\[\tag{19}
Z^\dagger:=\ep\overline{z_+}
+\em\overline{z_-}.
\]
Тогда
\[\tag{20}
J^\dagger(a,b)=J(-a,-b)=J^{-1}(a,b),
\qquad J^\dagger J=1.
\]
Последнее равенство — алгебраическое условие единичности: модуль каждого комплексного коэффициента равен единице. Его смысл следует отличать от скалярной нормы произвольной пары коэффициентов, которая понадобится во второй части.
8. Периодичность, корни и геометрия семейства J
Обе фазовые координаты периодичны с периодом \(2\):
\[\tag{21}
J(a+2k,b+2l)=J(a,b),\qquad k,l\in\mathbb Z.
\]
Для положительного целого \(n\) все решения уравнения \(X^n=1\) в рассматриваемой алгебре имеют вид
\[\tag{22}
X=J\!\left(\frac{2k}{n},\frac{2l}{n}\right),
\qquad k,l=0,\ldots,n-1.
\]
Действительно, каждый из двух комплексных коэффициентов должен независимо быть корнем \(n\)-й степени из единицы. Поэтому различных решений \(n^2\). В частности,
\[\tag{23}
X^2=1\ \Longleftrightarrow\ X\in\{1,-1,\j,-\j\},
\qquad
X^2=-1\ \Longleftrightarrow\ X\in\{i,-i,i\j,-i\j\}.
\]
Пара \((e^{i\pi b},e^{i\pi a})\) пробегает произведение двух окружностей. Следовательно, семейство \(J\) имеет геометрию тора \(S^1\times S^1\): это двухпараметрическая поверхность в четырёхмерном пространстве алгебры.
Умножение произвольного элемента \(Z\) на \(J\) вращает две выделенные плоскости независимо. В координатах \((\operatorname{Re}z_+,\operatorname{Im}z_+,\operatorname{Re}z_-,\operatorname{Im}z_-)\) соответствующая матрица равна
\[\tag{24}
L_J=\begin{pmatrix}
R(\pi b)&0\\0&R(\pi a)
\end{pmatrix},\qquad
R(\phi)=\begin{pmatrix}\cos\phi&-\sin\phi\\\sin\phi&\cos\phi\end{pmatrix}.
\]
Таким образом, \(J\) действует в четырёхмерном пространстве, но описывает конкретную коммутативную подгруппу вращений двух фиксированных плоскостей, изоморфную \(SO(2)\times SO(2)\). Для произвольного вращения в четырёх измерениях требуется более общий аппарат.
9. Сплит-косинус и сплит-синус
Раскроем обе экспоненты в определении \(J\) и сгруппируем действительные и мнимые части. Получим двухфазную формулу Эйлера:
\[\tag{25}
\boxed{J(a,b)=\Cos(a,b)+i\Sin(a,b),}
\]
где
\[\tag{26}
\Cos(a,b)=
\ep\cos(\pi b)+\em\cos(\pi a),
\]
\[\tag{27}
\Sin(a,b)=
\ep\sin(\pi b)+\em\sin(\pi a).
\]
Жирное начертание отличает сплит-функции от обычных скалярных функций. Их значения лежат в вещественной подалгебре, порождённой \(1\) и \(\j\).
Из формул для \(J\) и \(J^{-1}\) следуют симметричное и антисимметричное разложения:
\[\tag{28}
\boxed{\Cos(a,b)
=\frac{J(a,b)+J(-a,-b)}{2}
=\frac{J+J^{-1}}{2}
,}\]
\[\tag{29}
\boxed{\Sin(a,b)
=\frac{J(a,b)-J(-a,-b)}{2i}
=\frac{J-J^{-1}}{2i}
.}
\]
Сплит-косинус выделяет часть, симметричную относительно одновременного обращения обеих фаз. Сплит-синус выделяет антисимметричную часть и делит её на \(i\).
При совпадающих фазах
\[\tag{30}
\Cos(a,a)=\cos(\pi a),\qquad
\Sin(a,a)=\sin(\pi a).
\]
Подробнее о свойствах сплит-синуса и сплит-косинуса, тригонометрических тождествах и формулах сложения можно прочитать в статье «Сплит-синус и сплит-косинус двухфазной геометрии».
10. Производные и независимость фаз
Дифференцирование исходной экспоненциальной записи даёт
\[\tag{31}
\frac{\partial J}{\partial a}=i\pi\em J,
\qquad
\frac{\partial J}{\partial b}=i\pi\ep J.
\]
Каждая производная выделяет только свою компоненту. В частности,
\[\tag{32}
\frac{\partial^2J}{\partial a\,\partial b}=0,
\qquad
\left(\frac{\partial^2}{\partial a^2}
+\frac{\partial^2}{\partial b^2}\right)J=-\pi^2J.
\]
Для сплит-функций получаем
\[\tag{33}
\begin{aligned}
\partial_a\Cos&=-\pi\em\Sin,
&\partial_a\Sin&=\pi\em\Cos,\\
\partial_b\Cos&=-\pi\ep\Sin,
&\partial_b\Sin&=\pi\ep\Cos.
\end{aligned}
\]
Если фазы зависят от параметра \(t\), то
\[\tag{34}
\frac{dJ}{dt}
=i\pi\bigl(\ep\dot b+\em\dot a\bigr)J.
\]
Последняя формула позволяет описывать два независимых фазовых движения с различными скоростями, сохраняя единое операторное представление.
11. Повторное идемпотентное расщепление
Двухфазная конструкция допускает дальнейшее обобщение: каждую исходную компоненту можно разделить на два независимых канала. Для этого необходимо расширить алгебру, поскольку внутри исходной алгебры идемпотенты \(\ep\) и \(\em\) уже являются минимальными. Введём новую независимую гиперболическую единицу \(\j_2\), для которой \(\j_2^2=1\) и которая коммутирует с \(i\) и \(\j\).
Она порождает дополнительную пару идемпотентов:
\[\tag{35}
\begin{gathered}
\pmp=\frac{1+\j_2}{2},\qquad
\pme=\frac{1-\j_2}{2},\\
\pmp^2=\pmp,\quad \pme^2=\pme,\quad
\pmp\pme=0,\quad \pmp+\pme=1.
\end{gathered}
\]
Умножая каждую исходную компоненту на эту сумму, получаем повторное расщепление:
\[\tag{36}
\ep=\ep\pmp+\ep\pme,\qquad
\em=\em\pmp+\em\pme.
\]
Четыре полученных произведения являются взаимно аннулирующимися идемпотентами и в сумме дают единицу. Назначая каждому из них собственную фазу, определим четырёхфазное продолжение оператора:
\[\tag{37}
\boxed{\begin{aligned}
J_2(a_+,a_-;b_+,b_-)={}&
\ep\pmp\,e^{i\pi b_+}
+\ep\pme\,e^{i\pi b_-}\\
&+\em\pmp\,e^{i\pi a_+}
+\em\pme\,e^{i\pi a_-}.
\end{aligned}}
\]
При попарном совпадении дочерних фаз восстанавливается исходный оператор:
\[\tag{38}
J_2(a,a;b,b)=\ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a}=J(a,b).
\]
Таким образом, исходная двухфазная геометрия входит в четырёхфазную как частный случай. Пространство расширенной алгебры содержит четыре комплексные компоненты, или восемь вещественных координат. Подробное построение и дальнейшие уровни расщепления рассмотрены в статье «Многоуровневое идемпотентное расщепление фазовых плоскостей».
Повторное расщепление увеличивает число независимых компонент. Во второй части рассмотрим другое обобщение: сохраним две компоненты, но введём изменяемые амплитудные веса. В дальнейшем оба подхода можно объединить.
Часть II
Расширенный оператор и нормированные амплитуды
Расширенный оператор и нормированные амплитуды
Исходный оператор \(J\) описывает два независимых фазовых вращения, но модули обеих его комплексных компонент остаются равными единице. Чтобы описывать состояния с различным соотношением амплитуд, необходимо добавить возможность перераспределять веса между компонентами, сохраняя сумму квадратов их модулей равной единице. Для этого введём расширенный оператор \(\widehat J\), в котором независимые фазы дополняются амплитудным параметром. Такая конструкция может применяться и к вероятностным явлениям, если квадраты модулей компонент интерпретировать как вероятности двух альтернативных исходов.
12. Введение амплитудного параметра
В исходном \(J\) оба комплексных коэффициента имеют модуль \(1\). Теперь разрешим изменять их относительные величины. Введём вещественный параметр \(\varsigma\) и определим
\[\tag{39}
\boxed{\widehat J(a,b,\varsigma)=
\ep\cos\varsigma\,e^{i\pi b}
+\em\sin\varsigma\,e^{i\pi a}.}
\]
Связь с исходным оператором выражается обычным идемпотентным произведением:
\[\tag{40}
\widehat J=W(\varsigma)J(a,b),\qquad
W(\varsigma)=\ep\cos\varsigma
+\em\sin\varsigma.
\]
Обозначим комплексные коэффициенты:
\[\tag{41}
u=\cos\varsigma\,e^{i\pi b},\qquad
v=\sin\varsigma\,e^{i\pi a},\qquad
\widehat J=\ep u+\em v.
\]
Теперь два параметра задают фазы, а третий распределяет величину между компонентами. При равных весах
\[\tag{42}
\widehat J\!\left(\frac\pi4,a,b\right)
=\frac{J(a,b)}{\sqrt2}.
\]
13. Нормировка: какое именно равенство сохраняется
Для пары комплексных коэффициентов введём скалярную квадратичную норму:
\[\tag{43}
N(\ep u+\em v):=|u|^2+|v|^2.
\]
Тогда для любого вещественного \(\varsigma\)
\[\tag{44}
\boxed{N(\widehat J)=\cos^2\varsigma+\sin^2\varsigma=1.}
\]
Эта скалярная норма и алгебраическое произведение с сопряжением — разные конструкции. Для сравнения:
\[\tag{45}
\begin{aligned}
J^\dagger J&=1,&N(J)&=2,\\
\widehat J^\dagger\widehat J
&=\ep\cos^2\varsigma+\em\sin^2\varsigma,
&N(\widehat J)&=1.
\end{aligned}
\]
Если пользоваться координатами \((x_0,x_1,x_2,x_3)\) в базисе \((1,i,\j,i\j)\), то сумма их квадратов равна \(N(Z)/2\). Поэтому исходный \(J\) имеет единичную евклидову норму в этом базисе, а \(\widehat J\) — единичную норму в координатах пары \((u,v)\). Явное указание координат устраняет неоднозначность слова «единичный».
В координатах \((\operatorname{Re}u,\operatorname{Im}u,\operatorname{Re}v,\operatorname{Im}v)\) расширенный оператор пробегает сферу \(S^3\) в \(\mathbb R^4\). Достаточно взять \(0\le\varsigma\le\pi/2\) и обе фазы по модулю \(2\pi\). При \(u=0\) или \(v=0\) фаза нулевой компоненты произвольна.
Таким образом, четырёхмерность относится к окружающему вещественному пространству; нормированное семейство \(\widehat J\) имеет три независимых параметра.
14. Соответствие единичным кватернионам
Введём кватернионные единицы \(\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\), для которых \(\mathbf i^2=\mathbf j^2=\mathbf k^2=-1\) и \(\mathbf i\mathbf j=\mathbf k=-\mathbf j\mathbf i\). Они отличаются от коммутирующих единиц исходной алгебры.
Определим вещественно-линейное соответствие
\[\tag{46}
\Phi(\ep u+\em v)
=q_0+q_1\mathbf i+q_2\mathbf j+q_3\mathbf k,
\]
где
\[\tag{47}
\begin{aligned}
q_0&=\cos\varsigma\cos(\pi b),
&q_1&=\cos\varsigma\sin(\pi b),\\
q_2&=\sin\varsigma\cos(\pi a),
&q_3&=\sin\varsigma\sin(\pi a).
\end{aligned}
\]
Следовательно,
\[\tag{48}
|q|^2=q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2=|u|^2+|v|^2=N(\widehat J)=1.
\]
Соответствие охватывает все единичные кватернионы. По заданному \(q\) восстанавливаем
\[\tag{49}
u=q_0+i q_1,\qquad v=q_2+i q_3,
\qquad
\varsigma=\operatorname{atan2}(|v|,|u|),\quad
b=\frac{\arg u}{\pi},\quad a=\frac{\arg v}{\pi}.
\]
Аргументы определяются по модулю \(2\pi\); фаза нулевого коэффициента не фиксируется. Это особенность фазовых координат, а не потеря самого состояния.
15. Отдельная операция композиции
Линейное соответствие \(\Phi\) само по себе не превращает исходное коммутативное произведение в кватернионное. Чтобы переносить композицию поворотов, определим новую операцию:
\[\tag{50}
X_2\star X_1:=\Phi^{-1}\!\left(\Phi(X_2)\Phi(X_1)\right).
\]
Представляя кватернион как \(u+v\mathbf j\), где комплексная единица отождествлена с \(\mathbf i\), и используя \(\mathbf j z=\bar z\mathbf j\), получаем
\[\tag{51}
\boxed{(u_2,v_2)\star(u_1,v_1)=
\left(u_2u_1-v_2\overline{v_1},\quad
u_2v_1+v_2\overline{u_1}\right).}
\]
Эта операция ассоциативна и в общем случае некоммутативна. Её единица — пара \((1,0)\), то есть \(\ep\). В частности,
\[\tag{52}
\em\star\em=-\ep,
\qquad
\ep\star\em
=\em\star\ep=\em.
\]
Поэтому идемпотентность \(\em^{\,2}=\em\) относится к исходному произведению. При \(\star\) те же обозначения служат базисом другой алгебраической структуры. Ненулевые делители нуля исходной алгебры также не переносятся в кватернионное умножение.
Обратная нормированная пара относительно \(\star\) равна \((\bar u,-v)\). Она отличается от покомпонентного сопряжения \((\bar u,\bar v)\).
Непосредственное раскрытие квадратов модулей даёт
\[\tag{53}
\begin{aligned}
N(X_2\star X_1)
&=|u_2u_1-v_2\overline{v_1}|^2
+|u_2v_1+v_2\overline{u_1}|^2\\
&=(|u_2|^2+|v_2|^2)(|u_1|^2+|v_1|^2).
\end{aligned}
\]
Смешанные слагаемые взаимно сокращаются. Таким образом, композиция любых нормированных операторов снова нормирована:
\[\tag{54}
N(\widehat J_2\star\widehat J_1)=1.
\]
16. Произвольный пространственный поворот
Пусть единичный вектор \(\mathbf n=(n_x,n_y,n_z)\) задаёт ось, а \(\theta\) — угол активного поворота в правой системе координат. Ему соответствует
\[\tag{55}
q=\cos\frac\theta2
+(n_x\mathbf i+n_y\mathbf j+n_z\mathbf k)\sin\frac\theta2.
\]
Отсюда находятся коэффициенты расширенного оператора:
\[\tag{56}
u=\cos\frac\theta2+i n_x\sin\frac\theta2,
\qquad
v=(n_y+i n_z)\sin\frac\theta2.
\]
Они автоматически удовлетворяют \(|u|^2+|v|^2=1\); фазовые параметры восстанавливаются по приведённым выше формулам. Это даёт построение любого пространственного поворота непосредственно из его оси и угла.
Для вектора \(\mathbf r\), записанного как чисто мнимый кватернион,
\[\tag{57}
\mathbf r'=q\mathbf r q^{-1}.
\]
Если \(q=q_0+\mathbf s\), где \(\mathbf s=(q_1,q_2,q_3)\), то вычисление можно выполнить без явного кватернионного произведения:
\[\tag{58}
\mathbf r'=(q_0^2-|\mathbf s|^2)\mathbf r
+2(\mathbf s\cdot\mathbf r)\mathbf s
+2q_0(\mathbf s\times\mathbf r).
\]
Сначала применяя \(q_1\), затем \(q_2\), получаем \(q_{\mathrm{итог}}=q_2q_1\). Поэтому
\[\tag{59}
\boxed{\widehat J_{\mathrm{итог}}
=\widehat J_2\star\widehat J_1.}
\]
Правый множитель действует первым. Кватернионы \(q\) и \(-q\) задают один пространственный поворот; соответственно, \(\widehat J\) и \(-\widehat J\) имеют одинаковое действие на векторы через это соответствие.
Например, повороты на \(\pi/2\) вокруг осей \(x\) и \(y\) задаются парами
\[\tag{60}
X=\left(\frac{1+i}{\sqrt2},0\right),\qquad
Y=\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right).
\]
Их композиции различаются:
\[\tag{61}
Y\star X=\left(\frac{1+i}{2},\frac{1-i}{2}\right),
\qquad
X\star Y=\left(\frac{1+i}{2},\frac{1+i}{2}\right).
\]
Первый порядок переводит исходный вектор \((0,0,1)\) в \((0,-1,0)\), второй — в \((1,0,0)\). При этом норма обеих итоговых пар равна единице.
17. Что меняется в вычислениях
Обычная кватернионная запись хранит четыре вещественные компоненты с одним условием нормировки. Форма \(\widehat J\) использует три параметра и явно разделяет относительные величины компонент и их фазы.
При многократной композиции удобно хранить непосредственно \((u,v)\), выполнять \(\star\) и восстанавливать \((\varsigma,a,b)\) только для анализа или отображения. Это позволяет избежать вычисления аргументов и тригонометрических функций после каждого шага.
Кватернионная и парная записи описывают одну арифметику в разных координатах. Поэтому универсальное сокращение числа операций из нового обозначения не следует. Преимущество фазовой формы состоит в устройстве параметров и явной нормировке; конкретная скорость зависит от алгоритма и реализации.
В точной арифметике нормировка сохраняется тождественно. При вычислениях с плавающей точкой возможен накопленный уход нормы, как и при обычном кватернионном расчёте. При необходимости пару делят на \(\sqrt{|u|^2+|v|^2}\). Представление тремя параметрами обеспечивает нормировку аналитически, но само по себе не устраняет округления.
18. Вероятностная интерпретация весов
Нормированную пару \((u,v)\) можно использовать как амплитудное описание двух альтернатив. При принятом правиле квадратов модулей определим
\[\tag{62}
\boxed{p_1=|u|^2=\cos^2\varsigma,\qquad
p_2=|v|^2=\sin^2\varsigma,\qquad p_1+p_2=1.}
\]
Оба числа неотрицательны. Значение \(\varsigma=0\) задаёт \((p_1,p_2)=(1,0)\), значение \(\pi/2\) — \((0,1)\), а \(\pi/4\) — равные вероятности. Любую пару \((p,1-p)\) при \(0\le p\le1\) можно получить выбором \(\varsigma=\arccos\sqrt p\).
Фазы \(a,b\) не меняют эти два веса непосредственно. Однако они могут влиять на вероятности после преобразования, которое складывает амплитуды. Например, унитарное смешивание
\[\tag{63}
u'=\frac{u+v}{\sqrt2},\qquad
v'=\frac{u-v}{\sqrt2}
\]
приводит к
\[\tag{64}
\begin{aligned}
p'_1&=\frac12\left[1+\sin(2\varsigma)\cos\bigl(\pi(b-a)\bigr)\right],\\
p'_2&=\frac12\left[1-\sin(2\varsigma)\cos\bigl(\pi(b-a)\bigr)\right].
\end{aligned}
\]
Сумма остаётся равной единице, а распределение зависит от относительной фазы. Сложение амплитуд и последующее вычисление вероятностей здесь выполняются в указанном общем канале; само по себе идемпотентное разложение такого смешивания не задаёт.
Если параметры зависят от \(x\), то \(p_1(x)+p_2(x)=1\) в каждой точке. Это удобно для двух взаимно дополнительных вероятностных функций. Но условие в каждой точке не заменяет интегральную нормировку плотности по \(x\). Например, для нормированной плотности \(\rho(x)\) можно положить
\[\tag{65}
\psi_1(x)=\sqrt{\rho(x)}\,u(x),\qquad
\psi_2(x)=\sqrt{\rho(x)}\,v(x),\qquad
\int\rho(x)\,dx=1.
\]
Тогда
\[\tag{66}
\int\left(|\psi_1(x)|^2+|\psi_2(x)|^2\right)dx=1.
\]
Для большего числа альтернатив требуется больше нормированных компонент, например последовательное распределение весов через дополнительные углы. Одна пара \((u,v)\) непосредственно описывает две альтернативы.
Вероятностная интерпретация относится здесь именно к расширенному \(\widehat J\), поскольку его коэффициенты имеют нужную скалярную нормировку. Исходный \(J\) задаёт фазовую структуру с единичным модулем каждого коэффициента.
19. Возможный физический смысл
Математический аппарат допускает несколько применений: независимую фазовую динамику компонент, пространственные повороты и нормированные амплитуды альтернатив. В физических моделях двум компонентам можно сопоставлять состояния или каналы, а параметрам — величины, определяющие их фазы и относительные веса.
Для конкретной модели необходимо отдельно задать, что измеряется, как состояние изменяется и по какому правилу его коэффициенты связаны с результатами наблюдений. Равенство суммы квадратов единице обеспечивает согласованную нормировку при принятой амплитудной интерпретации, но само по себе не выводит физический закон вероятностей или динамическое уравнение.
Четыре вещественные координаты построенной алгебры описывают математическое пространство состояний. Их связь с пространственными координатами, временем или внутренними степенями свободы является отдельной задачей физической интерпретации.
Вывод
Оператор \(J(a,b)\) расширяет эйлерову экспоненту от одной фазы к двум независимым фазам в четырёхмерной вещественной алгебре. Идемпотентное разложение сохраняет простые правила композиции, позволяет определить сплит-синус и сплит-косинус и непосредственно вывести их тождества.
Расширенный оператор \(\widehat J\) добавляет управляемые амплитудные веса с суммой квадратов, равной единице. Соответствие единичным кватернионам и отдельно определённое произведение \(\star\) дают композицию произвольных пространственных поворотов. Та же нормированная пара пригодна для описания двух вероятностных альтернатив, если правило связи амплитуд с вероятностями принято в рассматриваемой модели.