Иногда требуется найти уединённую ёмкость шара, который заряжен неравномерно, функция объёмного распределения заряда которого известна, а сам заряд симметрично расположен относительно его центра. В этом случае стандартная формула определения ёмкости, выражаемая как отношение заряда к потенциалу, мало что даёт и требуется более глубокий анализ. Здесь мы выведем методику для подсчёта такой ёмкости и рассмотрим один частный случай.

Сначала напомним, что электрическая ёмкость находится так [1]: \[C = {q \over \varphi} \qquad (1)\] где: \(q\) — электрический заряд, \(\varphi\) — потенциал. Эта формула хорошо подходит для тел с равномерно распределённым зарядом или, когда весь заряд расположен на поверхности, например, на сфере. А что, если заряд распределён неравномерно? Тогда это отношение будет разным для разных частей этого тела. Как тогда подсчитать общую ёмкость? На помощь приходит её главное свойство, которе предполагает, что в этом случае ёмкости отдельных частей этого тела будут суммироваться. Остаётся разбить тело на достаточно мелкие кусочки, а затем — просуммировать. Мы сразу перейдём к шару и разобьём его на слои, в каждом из которых ёмкость будет находиться так: \[\Delta C_i = {\Delta q_i \over \varphi_i} \qquad (2)\] а общая ёмкость — так: \[C = \sum \limits_{i=0}^N {\Delta q_i \over \varphi_i} \qquad (3)\] Уменьшив высоту слоя до очень малой величины, и перейдя к интегрированию, получим общую формулу: \[C = \int \limits_0^R {\Bbb{d} q(r) \over \varphi (r)} \qquad (4)\] где: \(R\) — общий радиус шара, где: \(r\) — текущий радиус шара. Из условия задачи мы знаем картину обёмного распределения заряда вдоль радиуса, а значит, можем выразить через него и сам заряд [2]: \[q(r) = \int \limits_0^{r} \rho (r) \Bbb{d} V = 4\pi \int \limits_0^{r} \rho (r) r^2 \Bbb{d} r \qquad (5)\] где: \(\rho (r)\) — известная функция обёмного распределения заряда вдоль радиуса. Подставляя это выражение в предыдущее — получаем: \[C = 4\pi \int \limits_0^R {\rho (r) r^2 \over \varphi (r)} \Bbb{d} r \qquad (6)\] Это и есть общая формула для поиска общей ёмкости неравномерно заряженного шара в случае, если заряд симметрично расположен относительно его центра.

Сначала найдём зависимость потенциала от радиуса исходя из формулы (19) этой работы. Поскольку, в этом случае, объёмная плотность заряда не зависит от радиуса и везде постоянна, то её мы вынесем за скобки: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} \int \limits_0^r r^2 \Bbb{d} r + \int \limits_r^R r\, \Bbb{d} r \right) \qquad (7)\] \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0} \left({R^2 \over 2} - {r^2 \over 6} \right) \qquad (8)\] Теперь подставляем эту зависимость в формулу (6), откуда и получаем искомую ёмкость: \[C = 24 \pi\, \varepsilon_0 R \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \ln{\left| {\sqrt{3}+1 \over \sqrt{3}-1}\right| } - 1 \right) \approx 10.595\, \varepsilon_0 R \qquad (9)\] Интересно, что ёмкость равномерно заряженного шара на 16% меньше, чем аналогичная по радиусу ёмкость сферы. Но её поверхность будет способна вместить меньше зарядов, чем весь объём шара. В этом заключается небольшой парадокс.

Для линейно заряженного шара выберем такую зависимость \[\rho(r)= \rho_0 {r \over R} \qquad (10)\] и поступим далее так же, как и в предыдущем примере, — найдём зависимость потенциала от радиуса: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0 R} \left({R^3 \over 3} - {r^3 \over 12} \right) \qquad (11)\] А уже отсюда — определим ёмкость шара: \[C = 16 \pi\, \varepsilon_0 R\, \ln{4 \over 3} \approx 14.46\, \varepsilon_0 R \qquad (12)\] Как видим, ёмкость линейно заряженного шара примерно на 36% больше, чем ёмкость шара равномерно заряженного. Далее можно проследить следующую зависимость: чем больше нелинейность распределения заряда в шаре, тем больше его ёмкость, при одном и том же радиусе.

Ещё одним интересным примером может стать шар с обратно-линейной зависимостью распределения заряда. Т.е. теперь на его поверхости заряда нет, а в центре — он максимальный: \[\rho(r)= \rho_0 {R - r \over R} \qquad (13)\] Потенциал, в этом случае, распределяется так: \[\varphi(r) = {\rho_0 \over \varepsilon_0 R} \left( {(R-r)^2 (R+2r) \over 6} + {r^2 (4R-3r) \over 12}\right) \qquad (14)\] Точно найти ёмкость шара в этом случае довольно сложно, поэтому мы сразу приведём приближённый результат: \[C \approx 39.887\, \varepsilon_0 R \qquad (15)\] Ёмкость шара с обратно-линейной зависимостью примерно в 2.8 раза больше, чем с прямой (см. предыдущий пример), и примерно в \(\pi\) раз выше, чем у аналогичной по радиусу сферы.