В предыдущем разделе мы вывели формулу (19) для распределения электрического потенциала вдоль радиуса шара, в зависимости от распределения объёмной плотности заряда. Эта формула позволила найти физический смысл этого явления и упростила математические вычисления. В этом разделе мы найдём формулы для некоторых популярных функций, как для абсолютного потенциала, так и для его разности между поверхностью шара и слоем на известной глубине.

Вывод для каждой функции разобьём на три части. В первой — выводим общую формулу для распределения потенциала вдоль радиуса в зависимости от такого же распределения объёмной плотности заряда. Во второй части мы находим разность потенциалов между поверхностью шара и слоем, расположенным на некоторой глубине \(h\). Третья часть будет посвещена упрощению формулы из второго раздела в предположении, что глубина \(h\) минимум на несколько порядков меньше, чем общий радиус шара \(R\). Этот расчёт делается исходя из разложения функции в степенной ряд Тейлора-Маклорена [1], с точностью до второго члена.

1. \[\varphi(r) = { \rho_0\, R^{2} \over \varepsilon_0} {n + 3 - (r/R)^{n+2} \over (n+2) (n+3)} \qquad (1.1)\] 2. \[\Delta \varphi(h) = { \rho_0\, R^{2} \over \varepsilon_0} {(1- \frac{h}{R})^{n+2} - 1 \over (n+2) (n+3)} \qquad (1.2)\] 3. \[\Delta \varphi(h) \approx { \rho_0\, R\, h \over \varepsilon_0 (n+3)} \left({n+1 \over 2} \frac{h}{R} - 1 \right), \quad R \gg h \qquad (1.3)\]

1. \[\varphi(r) = { \rho_0 \over \varepsilon_0\, \alpha^{2}} \left[ \frac{2}{\alpha r} (e^{\alpha r} - 1) + e^{\alpha R} (\alpha R - 1) - e^{\alpha r} \right] \qquad (2.1)\] 2. \[\Delta \varphi(h) = {\rho_0 \over \varepsilon_0\, \alpha^{2}} \left[{2 e^{\alpha R} \over \alpha (R-h)} \left(\frac{R-h}{R} - e^{-\alpha h} \right) - e^{\alpha R} \left( 1-e^{-\alpha h} \right) + {2 h \over \alpha R(R-h)} \right] \qquad (2.2)\] 3. \[\Delta \varphi(h) \approx {\rho_0\, h \over \varepsilon_0\, \alpha} \left[\frac{(1 + \delta)(\alpha R - 2) e^{\alpha R}}{\alpha R} + {2 (1 + \delta)(e^{\alpha R} - 1) \over \alpha^2 R^2} - \frac{\alpha h e^{\alpha R}}{2} \right] \qquad (2.3)\] Здесь применяется сокращение: \(\delta = h/R\). Эта формула упрощается, если есть некоторые дополнительные условия: \[\Delta \varphi(h) \approx {\rho_0\, h\, R \over \varepsilon_0} \left[e-2 + \frac{h}{R} {e-4 \over 2} \right], \quad \alpha R = 1 \qquad (2.3.1)\] \[\Delta \varphi(h) \approx -{\rho_0\, h\, R \over \varepsilon_0} \left[{1+2e(e-1) \over e} + \frac{h}{R}{11-4e \over 2e} \right], \quad \alpha R = -1 \qquad (2.3.2)\]