Эти ряды, по мнению автора, позволяют заглянуть в будущее квантовой механики и объяснить некоторые процессы этой дисциплины с чисто математической точки зрения. Кроме того, с их помощью вообще стирается грань между квантовой и неквантовой частицей, что может служить основой, объединяющей две или более науки. Но на данный момент такие ряды недостаточно исследованы из-за присутствия в них случайных величин, осложняющих их анализ. Самые близкие по смыслу функции к той, которую мы будем далее рассматривать, являются производя́щая фу́нкция после́довательности [1] и случайный гармонический ряд [2]. Но даже они не учитывает всех нюансов, возникающие при работе со случайным знакопеременным рядом (СЗПР), которому и будет посвящена эта заметка.

СЗПР образуется из членов ряда со случайным знаком перед ними: \[A_n = \pm a_n x^n, \quad n \in 0,1,2,3,4,... \tag{1}\] где: \(a_n\) — n-ный коэффициент ряда, \(x\) — некоторая известная величина, которая, как правило, принадлежит следующему диапазону чисел: \(x \in 0..1\). Значения знака перед \(a_n\) могут принимать значения плюс или минус с одинаковой вероятностью ½. Но нам далее будет интересен не сам ряд, а его сумма \[f(x) = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \pm a_n x^n \tag{2}\] К такой сумме можно было бы применить производящую функцию [1], если бы значение знака перед коэффициентом ряда имело бы определённую закономерность. Для СЗПР также неприменима и сумма случайного гармонического ряда [2]. Но нам по-прежнему доступны статистические математические методы исследования, применением которых мы далее и займёмся, но сначала разберём частный случай заявленного выше ряда.

Перед исследованием обобщённой СЗПР, мы обратимся к более простой функции вида: \[F_k = \sum \limits_{n=0}^{N} \pm 1, \quad k \in 1,2,3,4,\ldots, K \tag{6}\] где плюс или минус перед единицей может выбираться, в общем случае, случайно, с вероятностью ½. Число измерений функции \(F\) равно \(K\), причём каждое такое \(k\)-тое измерение мы заносим в два массива: если значение \(F\) оказалось положительным, мы его заносим в массив FP, а если отрицательным, то в массив FM. Наглядное представление двух таких массивов изображено на следующих графиках:

где каждая точка — одно измерение функции \(F\). Но в таком виде статистические данные рассматривать не очень удобно, поэтому для этого наука придумала специальный механизм — гистограмму данных [3], представляющую частоты, с которыми данные попадают в определённый интервал (intrv). Пример из рисунка 2: функция \(F\) равнялась +12 около 400 раз, и примерно столько же раз она равнялась минус 12, при общем числе измерений в 10000. Такой график ещё называют энергетическим спектром:

Спектр функции F соответствует нормальному распределению Гаусса [4], но с одним нюансом — спектр получается дискретный, а не сплошной.

А дальше начинается самое интересное. Случайно-знакопеременная функция получает единичный спектр, когда мы пытаемся повлиять на расположение знаков в ряду. Например, спектр c одной частотой получится у функции \(F\), если \[F_k = \sum \limits_{n=0}^{N} (-1)^n \tag{7}\] или \[F_k = \sum \limits_{n=0}^{N} (-1)^{n+1} \tag{8}\] Здесь мы упорядочиваем знаки путём введения определённой закономерности в их изменении. Любое такое упорядочивание приводит энергетический спектр функции к единичному значению:

Мы получили совершенно другой результат (сравните с рисунком 1). Но что изменилось? Только порядок, в который мы с вами вмешались! Разве это не похоже на аналогичную закономерность при прохождении частицей двух щелей [5]?

Рассмотрим СЗПР в виде суммы (2), но уточним закономерность для её элементов: \[F_k = \sum \limits_{n=0}^{N} \pm x^{2n} \tag{9}\] Посмотрим на результаты испытаний этой функции при их числе: \(K=100000\)

Давайте уменьшим x до 0.75 и проверим результаты испытаний:

Видно, что при x=0.75 появляются некоторые колебания в спектре (рис. 5). Если ещё уменьшить x, то они станут очень явными:

Если уменьшать x и дальше, то дискретные линии спектра будут становиться всё более чёткими, а расстояние между соседними линиями будет всё меньше:

Как мы видим, разницы между данными из массивов FP и FM практически не отличаются. Остаточные различия будут стираться по мере увеличения числа испытаний. Также, легко заметить, что расстояние между спектральными группами равно \(2 x^2\), следующее по разрешению будет \(2 x^4\), потом \(2 x^6\), и т.д.

Рис.8. Данные результатов массива FP, по формуле (9) и рисунку 7, при x=0.1 (при большем разрешении)

Пример спектра в большем разрешении представлен на рисунке 8. Когда же x находится около единицы, то все эти линии практически соединяются в единый непрерывный спектр (рис. 4).

Спектр можно сместить вправо или влево, задав формуле (2) начальное смещение. В следующем выражении сместим формулу (9) на единицу \[F_k = 1 + \sum \limits_{n=1}^{N} \pm x^{2n} \tag{10}\] и получим соответствующие графики спектра:

Само собой разумеется, что на все представленные выше спектры распостраняется правило из (7-8): если мы вмешиваемся в случайный порядок плюса и минуса, то в результате получаем единичный спектр, как на рисунке 3.

Сумму энергетического спектра для СЗПР можно представить так: \[S = \sum \limits_{n=0}^{K} F_k \tag{11}\] Иногда требуется, чтобы такая сумма равнялась некоторой постоянной величине. Например, нам требуется, чтобы в следующей формуле \[F_k = 1 + x^2 + \sum \limits_{n=2}^{N} \pm {x^{2n} \over n} \tag{12}\] сумма спектра равнялась единице: \(S=1\). Тогда, мы можем сместить вероятность появления минума или плюса перед членом суммы ряда. В данном случае, нужно увеличить вероятность появления минуса над плюсом примерно в 25 раз: \[F_k = 1 + x^2 + \sum \limits_{n=2}^{N} sign(rand(1.04) - 2) \cdot {x^{2n} \over n}, \quad S=1 \tag{13}\] График энергетического спектра такой функции будет следующим:

Очевидно, что массив отрицательных результатов измерений FM в данном случае пустой и потому не показан на рисунках.

В этой заметке были представлены и рассмотрены ранее малоисследованные случайные знакопеременные ряды, которые могут быть применены, например, для некоторых приложений теории единичного пространства. Из них следует, что движение частицы, в плане его энергетики, можно представлять, как з сумму таких рядов. Если же энергетика частицы не должна меняться при любом типе движения, можно использовать сумму их спектров, которая должна быть равна како-либо постоянной величине.

Если мы не хотим разрушить спектр СЗПР, то можем влиять на случайный выбор плюса или минуса перед каждым членом ряда только частично. Но если же контроль появления этих знаков будет полный, то мы получаем единичный вырожденный спектр, как на рисунке 3. Этот подход напоминает участие наблюдателя, который вмешивается в эксперимент, только здесь на испытание наблюдатель влияет через математику, меняя вероятность события.

При \(N\) стремящимся к бесконечности, спектр СЗПР также является бесконечным в глубину, причём даже, если спектр получается дискретный (рис. 7-8). Для спектров без смещения вероятности, автором найдены расстояния между спектральными линиями при любом разрешении, которое равно \(2 x^{2 g}\), где \(g \in 1,2,3,...\) — глубина разрешения.