\[ \newcommand{\j}{\jmath} \newcommand{\ep}{\mathfrak{e}} \newcommand{\em}{\bar{\mathfrak{e}}} \newcommand{\pmp}{\mathfrak{e}} \newcommand{\pme}{\bar{\mathfrak{e}}} \]

В этой статье мы рассмотрим возможную связь между волновой функцией и законом квадратного корня из числа независимых случайных шагов, используя общее представление об амплитудных каналах расщепления. Покажем, как способ объединения этих каналов и квадратичная операция позволяют получать интенсивности, вероятностные веса и статистические характеристики наблюдаемых результатов. Но прежде приведём простые примеры со звуковыми волнами, которые помогут наглядно понять роль амплитуд, фаз и случайности в таком построении.

Представим два динамика, воспроизводящих один и тот же чистый тон. В некоторой точке комнаты каждый из них по отдельности создаёт одинаковую амплитуду звукового давления. Что произойдёт, если включить оба? При совпадении фаз приходящих волн амплитуда удвоится, а соответствующая интенсивность станет в четыре раза больше интенсивности от одного источника. При противоположных фазах и равных амплитудах звук в этой точке в идеальных условиях погаснет. Если относительная фаза равномерно меняется, средняя интенсивность окажется суммой интенсивностей отдельных источников.

Индивидуальные характеристики источников одинаковы, но совместный результат зависит от их фазового соотношения. Следовательно, для его описания необходима амплитуда с фазой, а наблюдаемая интенсивность получается после квадратичного преобразования. Для простой акустической модели ниже рассматривается локально бегущая волна в однородной среде: интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды давления. В произвольном стоячем поле поток энергии требует учёта также колебательной скорости среды.

В работе «Случайный выбор в идемпотентном расщеплении» построено вероятностное описание дерева историй. В статье «Волновая функция как представление расщеплённого события» каналы получают амплитудное и фазовое описание. Можно ли представить эти подходы через общий математический объект, а наблюдаемые веса получать при объединении его составляющих?

Обозначим комплексные амплитуды двух приходящих волн через \(z_1\) и \(z_2\). Их сумма и интенсивность результирующей волны имеют вид

\[\tag{1} z=z_1+z_2,\qquad I=K|z|^2, \]

где \(K>0\) определяется средой и выбранным соглашением об амплитуде. Если \(z_1=A_1\), \(z_2=A_2e^{i\theta}\), а \(A_1,A_2\geq0\), то

\[\tag{2} I=K\left(A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos\theta\right). \]

При \(A_1=A_2=A\) совпадение фаз даёт \(I=4KA^2\), противоположность фаз — \(I=0\). Это локальный результат; его нельзя автоматически переносить на суммарную мощность всей установки.

Таким образом, объединение имеет два этапа: сначала складываются амплитуды, затем берётся квадрат модуля. Сложение интенсивностей получается лишь при условиях, устраняющих перекрёстное слагаемое. Последнее содержит сведения об отношении между составляющими, которых нет в их отдельных квадратах.

Теперь пусть громкость источников и относительная фаза случайно меняются. Состояние настройки обозначим через \(\omega\). При каждой реализации возникают амплитуды \(A_1(\omega)\), \(A_2(\omega)\) и фаза \(\theta(\omega)\). Предполагается, что изменения достаточно медленны для определения интенсивности тона при данной настройке, а вторые моменты амплитуд конечны.

\[\tag{3} Z(\omega)=A_1(\omega)+A_2(\omega)e^{i\theta(\omega)}, \qquad I(\omega)=K|Z(\omega)|^2. \]

Средняя интенсивность равна

\[\tag{4} \boxed{\mathbb E[I]=K\left(\mathbb E[A_1^2]+\mathbb E[A_2^2] +2\mathbb E[A_1A_2\cos\theta]\right).} \]

Если фаза равномерно распределена на полном периоде и независима от амплитуд, последнее среднее равно нулю. При согласованных фазах или их связи с амплитудами оно может сохраняться. Само наличие случайности не исключает интерференции.

Важно различать квадрат средней амплитуды и средний квадрат амплитуды:

\[\tag{5} \mathbb E[|Z|^2]=|\mathbb E[Z]|^2 +\mathbb E\!\left[|Z-\mathbb E[Z]|^2\right]. \]

Например, если результирующая амплитуда принимает значения \(+A\) и \(-A\) с равными вероятностями, её среднее равно нулю, но средняя интенсивность равна \(KA^2\). Поэтому усреднение амплитуд и усреднение интенсивностей описывают разные процедуры.

Если возможные настройки образуют конечное множество с вероятностями \(w_\alpha\), то

\[\tag{6} \mathbb E[I]=K\sum_\alpha w_\alpha|Z_\alpha|^2, \qquad \sum_\alpha w_\alpha=1. \]

Здесь \(w_\alpha\) — вероятность настройки, а \(Z_\alpha\) — звуковая амплитуда при ней. Это разные данные. Но их можно объединить в коэффициент \(\sqrt{w_\alpha}Z_\alpha\), что подводит к общему пространству амплитудных состояний.

Пусть состояние описывается в комплексном пространстве со скалярным произведением. Введём ортогональные проекторы каналов:

\[\tag{7} P_\alpha^\dagger=P_\alpha,\qquad P_\alpha P_\beta=\delta_{\alpha\beta}P_\alpha, \qquad \sum_\alpha P_\alpha=\mathbf 1. \]

Идемпотентная структура выделяет составляющие одного целого:

\[\tag{8} \Phi=\sum_\alpha\Phi_\alpha,\qquad \Phi_\alpha=P_\alpha\Phi,\qquad \|\Phi\|^2=\sum_\alpha\|\Phi_\alpha\|^2. \]

Для одномерных каналов выберем ортонормированные состояния \(\xi_\alpha\). Тогда

\[\tag{9} \boxed{\Phi=\sum_\alpha c_\alpha\xi_\alpha, \qquad \|\Phi\|^2=\sum_\alpha|c_\alpha|^2.} \]

Этот вектор будем называть амплитудным состоянием расщепления. Его коэффициенты содержат модули и относительные фазы. Расщепление задаёт каналы, но не определяет автоматически значения коэффициентов, закон их изменения или физическое содержание.

Нулевое произведение алгебраических идемпотентов также не задаёт скалярное произведение само по себе. В данной конструкции дополнительно выбрано их представление самосопряжёнными ортогональными проекторами. Именно этот выбор позволяет использовать положительную квадратичную норму.

Чтобы получить наблюдаемый выход, нужно определить отображение регистрации \(R\). Для конечного набора выходов обозначим его элементы через \(u_{r\alpha}\). Тогда

\[\tag{10} \Psi_{\mathrm{out}}=R\Phi,\qquad \psi_r=\sum_\alpha u_{r\alpha}c_\alpha. \]

Если регистрация полная и сохраняет вес состояния, принимаем \(R^\dagger R=\mathbf 1\), откуда

\[\tag{11} \sum_r|\psi_r|^2=\|\Phi\|^2. \]

Один выход может получать вклады от нескольких каналов. Однако остальные выходы также необходимы для нормировки: нельзя произвольно сложить все амплитуды в единственный выход и объявить его квадрат полной вероятностью. Потери при регистрации требуют включить дополнительные выходы либо явно использовать вероятности, условные на успешную регистрацию.

Для ненулевого состояния квадратичное вероятностное правило имеет вид

\[\tag{12} \boxed{p_r=\frac{|\psi_r|^2}{\|\Phi\|^2}.} \]

В непрерывном представлении \(\psi_r\) заменяется функцией \(\psi(x)\), а сумма — интегралом по заданной мере \(d\nu(x)\). Величина \(|\psi(x)|^2/\|\Phi\|^2\) тогда является плотностью относительно этой меры, а вероятность области получается её интегрированием.

Формула (12) здесь принимается как правило физической интерпретации квадратичного веса. В акустическом примере тот же тип выражения даёт интенсивность с размерным коэффициентом \(K\); превращать её в вероятность без дополнительного определения процедуры наблюдения нельзя.

Раскрывая квадрат амплитуды выхода, получаем

\[\tag{13} \boxed{|\psi_r|^2= \sum_{\alpha,\beta} u_{r\alpha}c_\alpha\, u_{r\beta}^{*}c_\beta^{*}.} \]

Пусть \(C\) — множество каналов. Индексы этой суммы пробегают его декартов квадрат:

\[\tag{14} C\times C=\{(\alpha,\beta):\alpha\in C,\ \beta\in C\}. \]

Поэтому квадратичное построение можно понимать как переход от отдельных каналов к парам каналов. Диагональные пары дают собственные веса, а недиагональные — перекрёстные вклады:

\[\tag{15} |\psi_r|^2= \sum_\alpha|u_{r\alpha}c_\alpha|^2 +2\operatorname{Re}\sum_{\alpha<\beta} u_{r\alpha}c_\alpha\, u_{r\beta}^{*}c_\beta^{*}. \]

Перекрёстные вклады могут быть положительными, отрицательными или нулевыми. Они не являются самостоятельными вероятностями. Неотрицательность принадлежит полному квадрату модуля.

Декартово произведение лишь перечисляет пары. Численный результат возникает после сопоставления им произведений амплитуд и применения правила регистрации. Для вектора коэффициентов \(c\) ту же конструкцию можно записать через матрицу

\[\tag{16} D=cc^\dagger,\qquad D_{\alpha\beta}=c_\alpha c_\beta^*, \qquad |\psi_r|^2=(RDR^\dagger)_{rr}. \]

Матрица \(D\) хранит квадратичные отношения между каналами. При нормированном чистом состоянии это матрица плотности. Для случайного набора состояний её обобщение имеет вид \(\overline D=\mathbb E[cc^\dagger]\), а средний вес выхода равен \((R\overline D R^\dagger)_{rr}\), если отображение \(R\) фиксировано.

Есть и обычная геометрическая картина. Если \(\psi_r=x_r+iy_r\), то

\[\tag{17} |\psi_r|^2=x_r^2+y_r^2. \]

Это квадрат длины вектора на плоскости амплитуд. Он согласуется с построением по парам, но не совпадает с декартовым произведением как множеством: для квадрата длины необходимо задать метрику.

Рассмотрим \(n\) независимых бинарных выборов. Полная история обозначается через \(\boldsymbol\varepsilon=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)\), где \(\varepsilon_k=\pm1\). При симметричной мере каждой истории соответствует вес \(2^{-n}\). Введём нормированное амплитудное представление

\[\tag{18} \Phi_n=2^{-n/2}\sum_{\boldsymbol\varepsilon} e^{i\theta_{\boldsymbol\varepsilon}}\xi_{\boldsymbol\varepsilon}. \]

Фазы здесь могут быть произвольными: при измерении в базисе историй вероятности остаются одинаковыми. Сама классическая мера фаз не определяет.

Каждой истории сопоставим результат \(S_n(\boldsymbol\varepsilon)=\sum_k\varepsilon_k\). Оператор этой наблюдаемой и проектор результата \(s\) равны

\[\tag{19} \widehat S_n=\sum_{\boldsymbol\varepsilon} S_n(\boldsymbol\varepsilon)P_{\boldsymbol\varepsilon}, \qquad Q_s=\sum_{S_n(\boldsymbol\varepsilon)=s}P_{\boldsymbol\varepsilon}. \]

Объединение историй с одинаковым результатом даёт

\[\tag{20} \Pr(S_n=s)=\|Q_s\Phi_n\|^2 =\sum_{S_n(\boldsymbol\varepsilon)=s}2^{-n}. \]

Истории сохраняются как ортогональные составляющие, поэтому перекрёстных членов нет. При \(s=2m-n\) число подходящих историй равно \(\binom nm\), откуда получается биномиальное распределение:

\[\tag{21} \Pr(S_n=2m-n)=2^{-n}\binom nm. \]

Средний квадрат наблюдаемой также является квадратичной характеристикой состояния:

\[\tag{22} \langle S_n^2\rangle =\|\widehat S_n\Phi_n\|^2 =\mathbb E\!\left[\left(\sum_k\varepsilon_k\right)^2\right] =n. \]

Последнее равенство использует нулевые средние, единичные квадраты и независимость выборов. Поэтому \(S_{\mathrm{rms}}=\sqrt n\). При пространственных шагах длины \(\ell\) аналогичные условия дают \(R_{\mathrm{rms}}=\ell\sqrt n\). Корреляции или ненулевой средний шаг изменяют этот вывод.

Таким образом, вероятность результата и его средний квадрат получаются из одного состояния, но посредством разных операторов. Значение отдельного результата \(s\) задано наблюдаемой \(\widehat S_n\); оно не обязано само быть квадратом.

Для двух каналов рассмотрим состояние

\[\tag{23} \Phi=c_+\xi_++c_-\xi_-, \qquad |c_+|^2+|c_-|^2=1. \]

Фазовая динамика оператора \(J\), используемого в связанной статье, в этом представлении изменяет коэффициенты на \(c_+e^{i\pi b}\) и \(c_-e^{i\pi a}\) при действительных \(a,b\). Она сохраняет модули и не перераспределяет веса самостоятельно.

Возьмём конкретное сохраняющее норму объединение в два выхода:

\[\tag{24} \psi_1=\frac{c_++c_-}{\sqrt2},\qquad \psi_2=\frac{c_+-c_-}{\sqrt2}. \]

Если \(c_+=1/\sqrt2\), \(c_-=e^{i\theta}/\sqrt2\), то

\[\tag{25} \boxed{p_1=\frac{1+\cos\theta}{2},\qquad p_2=\frac{1-\cos\theta}{2},\qquad p_1+p_2=1.} \]

При \(\theta=0\) весь вес оказывается в первом выходе, при \(\theta=\pi\) — во втором. При равномерном усреднении относительной фазы оба средних веса равны \(1/2\). В последнем случае недиагональные элементы средней матрицы \(\overline D\) исчезают.

Здесь видна связь с примером динамиков: результат зависит от амплитуд и их относительных фаз. Но для вероятностного описания объединение нормировано по всем выходам. Если пути помечены различимыми ортогональными состояниями прибора или окружения, при игнорировании этих меток их перекрёстный вклад также исчезает.

Классическое сложение вероятностей можно получить при регистрации ортогональных альтернатив, а для рассматриваемых выходов — также после усреднения, устраняющего когерентность. Это не означает, что любое случайное расщепление автоматически является квантовым процессом: физический смысл каналов и закон регистрации должны быть установлены отдельно.

Квадратичная конструкция определяет веса выходов и средние наблюдаемых. Она не выделяет единственный исход отдельного опыта. Для математической генерации результата можно ввести равномерную случайную величину \(r\in[0,1)\) и накопленные вероятности:

\[\tag{26} F_0=0,\qquad F_k=\sum_{j=1}^{k}p_j, \qquad \text{исход }k\ \Longleftrightarrow\ F_{k-1}\le r<F_k. \]

Это правило точно воспроизводит распределение, но не объясняет происхождение \(r\) или физический механизм выбора. Для такой интерпретации можно исследовать более общее состояние системы, прибора и окружения.

Пусть дополнительные начальные параметры имеют меру \(\nu\), а динамика регистрации разделяет их пространство на области \(B_k(\Phi)\), ведущие к разным исходам. Тогда задача физического обоснования состоит в получении равенства

\[\tag{27} \nu\bigl(B_k(\Phi)\bigr) =\frac{|\psi_k|^2}{\|\Phi\|^2} \]

из независимо заданных меры и динамики. Назначение областям нужных размеров заранее лишь повторяет вероятностное правило. Полноценный вывод требует объяснить, почему именно эти размеры возникают при взаимодействии.

Первичным математическим объектом предлагается считать амплитудное состояние единой системы каналов. Расщепление раскрывает его составляющие, отображение регистрации определяет их объединение, а квадратичная форма задаёт наблюдаемый вес.

\[\tag{28} \boxed{ \Phi\ \longrightarrow\ \{P_\alpha\Phi\} \ \xrightarrow{\ R\ }\ \Psi_{\mathrm{out}} \ \longrightarrow\ \text{квадратичные веса выходов}. } \]

Декартов квадрат множества каналов описывает адреса пар, участвующих в квадратичном построении. Собственные веса относятся к диагональным парам, а фазовые связи — к недиагональным. Метрика и способ регистрации определяют, какие вклады сохраняются в наблюдаемом результате.

Вероятности ортогональных исходов, средние квадраты случайных сумм и интенсивности когерентно объединённых волн получают общий язык. В примере случайного выбора он воспроизводит заданную вероятностную меру и статистику накопления; в волновом примере — зависимость выходных весов от фаз.

Физическое содержание гипотезы состоит в предположении, что такая структура состояния соответствует реальному устройству исследуемой системы. Для её проверки требуется определить каналы, динамику амплитуд, отображение регистрации и измеримые следствия. Квадратичная норма обеспечивает согласованность построения, но не выводит самостоятельно правило Борна, уравнение движения или механизм отдельной реализации.

Предложенная конструкция указывает на возможную связь между волновой функцией и законом квадратного корня из числа независимых случайных шагов. Оба описания можно построить на общей основе: расщепление раскрывает каналы единого амплитудного состояния, а способ их объединения и регистрации определяет наблюдаемую квадратичную величину.

В волновом случае составляющие каналов когерентно объединяются в амплитуду \(psi\), квадрат модуля которой задаёт интенсивность или, при принятой вероятностной интерпретации, плотность вероятности. В случае независимых симметричных случайных шагов квадратичная характеристика суммы накапливается иначе: перекрёстные вклады исчезают при усреднении, поэтому средний квадрат результата пропорционален числу шагов. Для единичных шагов:

Таким образом, возможная единая причина этих закономерностей состоит в амплитудной структуре расщеплённого состояния и квадратичном способе получения наблюдаемых характеристик. Волновая функция описывает амплитуды и фазы, участвующие в регистрации, а закон \(\sqrt n\) выражает среднеквадратичный масштаб накопления независимых вкладов. Различие результатов определяется тем, какие связи между каналами сохраняются при их объединении: когерентные связи создают интерференционные слагаемые, тогда как независимое случайное накопление приводит к их исчезновению в среднем.

Эту связь следует рассматривать как общую математическую гипотезу. Само расщепление ещё не определяет квадратичную норму, вероятностное правило или независимость шагов. Однако после явного введения этих условий оно позволяет представить волновое описание и закон квадратного корня как два применения единого формализма. Следующая задача — установить, может ли необходимая квадратичная структура и характер связей между каналами следовать из динамики расщепления и регистрации.