Регистрация
Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
Главная|Заметки|Вычисления|Аккаунт
2026-10-13
Все заметки/Математика
Случайный выбор в идемпотентном расщеплении

Распределение вероятностей и закон квадратного корня

\[ \newcommand{\j}{\jmath} \newcommand{\ep}{\mathfrak{e}} \newcommand{\em}{\bar{\mathfrak{e}}} \newcommand{\pmp}{\mathfrak{e}} \newcommand{\pme}{\bar{\mathfrak{e}}} \]

Представим, что человечество отправилось искать внеземную жизнь. Достигнув очередной планеты, исследователи случайно выбирают направление следующего перелёта. Для простоты примем, что длины перелётов одинаковы, все направления равновероятны, а каждый выбор независим от предыдущих. На каждом этапе множество возможных историй путешествия расщепляется на новые ветви. Экспедиция реализует одну из них, тогда как полное дерево содержит все возможные продолжения поиска.
Цивилизация, живущая на расстоянии тысячи таких перелётов от Земли, пытается оценить масштаб поиска. Если бы человечество двигалось прямо к ней, хватило бы тысячи шагов. Но случайные направления частично компенсируют друг друга: после миллиона перелётов среднеквадратичное удаление экспедиции от Земли составит лишь тысячу длин перелёта. Зная продолжительность одного шага, инопланетяне могут оценить соответствующий временной масштаб, хотя точную дату встречи такой расчёт не определяет.
Почему множество возможных историй быстро увеличивается, а характерное удаление растёт всего как квадратный корень из числа шагов? Ниже мы построим дерево идемпотентных каналов, зададим правило случайного выбора и выведем распределение накопленного результата. Сначала рассмотрим два возможных исхода на каждом шаге, затем перейдём к пространственным направлениям. Из подсчёта каналов получим биномиальное распределение, из усреднения — закон квадратного корня, а при большом числе расщеплений — нормальный предел.
Работа является математической. Идемпотентная алгебра задаёт структуру альтернатив, а вероятностная мера и правило накопления задаются отдельно. Получаемые распределения известны в теории вероятностей; здесь они выводятся в представлении каналов расщепления.
1. Бинарное расщепление и дерево каналов
Алгебраическое происхождение двух дополнительных идемпотентов рассмотрено в работе «Истоки и-базиса: от гиперболической единицы к идемпотентной геометрии». Здесь повторим необходимую конструкцию и расширим её на последовательность расщеплений. Возьмём свободную коммутативную действительную алгебру, порождённую единицами \(\j_1,\ldots,\j_n\) с соотношениями
\[\tag{1} \j_k^2=1,\qquad \j_k\j_l=\j_l\j_k. \]
Свободная конструкция означает, что дополнительных соотношений между разными генераторами не вводится. В частности, разные \(\j_k\) не отождествляются. Каждому шагу соответствуют два проектора \(\pmp_k\) и \(\pme_k\):
\[\tag{2} \pmp_k=\frac{1+\j_k}{2},\qquad \pme_k=\frac{1-\j_k}{2}. \] \[\tag{3} \pmp_k^2=\pmp_k,\qquad \pme_k^2=\pme_k,\qquad \pmp_k\pme_k=0,\qquad \pmp_k+\pme_k=1. \]
Любой канал \(P\), построенный на предыдущих шагах, расщепляется на два подканала:
\[\tag{4} P=P\pmp_k+P\pme_k, \qquad (P\pmp_k)(P\pme_k)=0. \]
Слово «ортогональность» здесь означает нулевое произведение проекторов. Оно пока не утверждает перпендикулярности направлений в физическом пространстве. Расщепление не создаёт две копии целого: подканалы вместе составляют исходный канал.
Историю из \(n\) выборов обозначим \(\boldsymbol\varepsilon=(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)\), где \(\varepsilon_k=\pm1\). Ей соответствует конечный канал
\[\tag{5} P_{\boldsymbol\varepsilon} =\prod_{k=1}^{n}B_k(\varepsilon_k), \qquad B_k(+1):=\pmp_k,\quad B_k(-1):=\pme_k. \]
Обозначение \(B_k(\varepsilon_k)\) выбирает один из двух идемпотентов: \(\pmp_k\) при \(\varepsilon_k=+1\) и \(\pme_k\) при \(\varepsilon_k=-1\). Если две истории различаются хотя бы одним знаком, их произведение содержит множитель \(\pmp_k\pme_k=0\). Поэтому
\[\tag{6} P_{\boldsymbol\varepsilon}P_{\boldsymbol\eta} =\delta_{\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol\eta}P_{\boldsymbol\varepsilon}, \qquad \sum_{\boldsymbol\varepsilon\in\{-1,+1\}^n} P_{\boldsymbol\varepsilon} =\prod_{k=1}^{n}(\pmp_k+\pme_k)=1. \]
После \(n\) шагов имеются \(2^n\) ненулевых конечных каналов. Каждый хранит полную историю, поэтому два канала могут иметь одинаковый итог, оставаясь разными историями.
2. Вероятностная мера и случайный выбор
Введём симметричное правило: при каждом расщеплении вероятность родительского канала делится поровну между двумя подканалами. Для любого канала предыдущего уровня принимаем
\[\tag{7} \mu(1)=1,\qquad \mu(P\pmp_k)=\mu(P\pme_k)=\frac{\mu(P)}{2}. \]
Последовательное применение этого правила даёт
\[\tag{8} \mu(P_{\boldsymbol\varepsilon})=2^{-n}, \qquad \sum_{\boldsymbol\varepsilon}\mu(P_{\boldsymbol\varepsilon})=1. \]
Таким образом, случайная реализация выделяет одну историю, а мера задаёт её вероятность. Поскольку условная вероятность каждого следующего знака равна \(1/2\) при любой предыдущей истории, выборы независимы. Это свойство вероятностной меры, а не следствие одного лишь нулевого произведения проекторов.
Любой действительный элемент алгебры имеет единственное представление \(F=\sum_{\boldsymbol\varepsilon}f(\boldsymbol\varepsilon)P_{\boldsymbol\varepsilon}\). Продолжим меру линейно и определим среднее и норму:
\[\tag{9} \mu(F)=2^{-n}\sum_{\boldsymbol\varepsilon}f(\boldsymbol\varepsilon), \qquad \lVert F\rVert_\mu^2:=\mu(F^2) =2^{-n}\sum_{\boldsymbol\varepsilon}f(\boldsymbol\varepsilon)^2. \]
Последнее равенство следует из ортогональности каналов. Все веса положительны, поэтому это положительно определённая квадратичная норма действительной алгебры.
3. Накопленный результат и объединение историй
Сопоставим выбору каждой ветви значение \(+1\) или \(-1\). Накопленный результат истории определим как
\[\tag{10} S_n(\boldsymbol\varepsilon)=\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_k. \]
Это отдельное правило отображения каналов в числа. Оно не требует пространственного толкования. Для его алгебраической записи введём
\[\tag{11} A_n=\sum_{k=1}^{n}\j_k. \]
Из \(\j_k\pmp_k=\pmp_k\) и \(\j_k\pme_k=-\pme_k\) следует
\[\tag{12} A_nP_{\boldsymbol\varepsilon} =S_n(\boldsymbol\varepsilon)P_{\boldsymbol\varepsilon}, \qquad A_n=\sum_{\boldsymbol\varepsilon} S_n(\boldsymbol\varepsilon)P_{\boldsymbol\varepsilon}. \]
Если в истории имеется \(m\) плюсов и \(n-m\) минусов, то \(S_n=2m-n\). Объединим все такие истории:
\[\tag{13} Q_m=\sum_{\boldsymbol\varepsilon:\,N_+(\boldsymbol\varepsilon)=m} P_{\boldsymbol\varepsilon}, \qquad m=0,\ldots,n. \] \[\tag{14} Q_mQ_r=\delta_{mr}Q_m,\qquad \sum_{m=0}^{n}Q_m=1,\qquad A_n=\sum_{m=0}^{n}(2m-n)Q_m. \]
Проектор \(Q_m\) описывает общий результат, а его составляющие \(P_{\boldsymbol\varepsilon}\) — разные способы получить этот результат. Такое объединение сохраняет полноту и ортогональность.
4. Биномиальное распределение из подсчёта каналов
Чтобы получить историю с \(m\) плюсами, нужно выбрать \(m\) позиций среди \(n\). Число соответствующих каналов равно
\[\tag{15} N_m=\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}. \]
Каждый канал имеет вес \(2^{-n}\), поэтому мера их объединения даёт точное распределение:
\[\tag{16} \boxed{\Pr(S_n=2m-n)=\mu(Q_m)=2^{-n}\binom{n}{m}.} \]
Нормировка следует из биномиального тождества:
\[\tag{17} \sum_{m=0}^{n}\mu(Q_m) =2^{-n}\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m} =2^{-n}(1+1)^n=1. \]
Для четырёх расщеплений дерево содержит шестнадцать историй:
Число плюсовРезультатЧисло каналовВероятность
0−411/16
1−244/16
2066/16
3244/16
4411/16
Все истории равновероятны, но нулевому результату соответствует шесть каналов, а каждому крайнему — только один. Повышенная вероятность центральных результатов возникает из количества историй, а не из предпочтения отдельных ветвей.
5. Статистическая ортогональность и закон квадратного корня
При усреднении по всем историям знаки каждого генератора встречаются поровну. Для двух разных генераторов все четыре сочетания знаков также равновероятны. Отсюда
\[\tag{18} \mu(\j_k)=0,\qquad \mu(\j_k^2)=1,\qquad \mu(\j_k\j_l)=0\quad(k\ne l). \]
Следовательно, генераторы ортогональны в скалярном произведении \(\langle F,G\rangle_\mu:=\mu(FG)\). Сам алгебраический квадрат суммы содержит перекрёстные члены:
\[\tag{19} A_n^2=n\,1+2\sum_{1\le k\lt l\le n}\j_k\j_l. \]
Их среднее равно нулю, поэтому
\[\tag{20} \mu(A_n)=0,\qquad \mu(A_n^2)=n. \] \[\tag{21} \boxed{ \sigma_n =\sqrt{\mathbb{E}[S_n^2]-\bigl(\mathbb{E}[S_n]\bigr)^2} =\lVert A_n\rVert_{\mu} =\sqrt{n} }. \]
Если результат одного выбора имеет масштаб \(\ell\), то для \(X_n=\ell S_n\) получаем \(\sigma_{X_n}=\ell\sqrt n\). Конкретная история не обязана заканчиваться на этом расстоянии: формула характеризует распределение всего ансамбля.
Равенство «квадрат равен числу шагов» относится к статистической норме суммы генераторов. Оно не означает \(A_n^2=n\,1\) и не изменяет идемпотентное свойство \(P^2=P\). Нормировка меры сохраняется при любом числе расщеплений; рост отклонения обусловлен накопленной наблюдаемой величиной.
6. Нормальный предел из числа каналов
При большом \(n\) центральная часть биномиального распределения приобретает гауссову форму. Выведем её из формулы (16). Для допустимого значения \(s\), имеющего ту же чётность, что и \(n\), положим \(m=(n+s)/2\):
\[\tag{22} \Pr(S_n=s) =2^{-n}\frac{n!} {\left(\frac{n+s}{2}\right)!\left(\frac{n-s}{2}\right)!}. \]
Используем формулу Стирлинга:
\[\tag{23} r!=\sqrt{2\pi r}\left(\frac{r}{e}\right)^r \left(1+O(r^{-1})\right). \]
В центральной области \(s=O(\sqrt n)\) введём \(u=s/n\). Подстановка (23) в (22) даёт
\[\tag{24} \Pr(S_n=s) =\sqrt{\frac{2}{\pi n(1-u^2)}}\, \exp\!\left[-\frac n2 h(u)\right] \left(1+O(n^{-1})\right), \] \[\tag{25} h(u)=(1+u)\ln(1+u)+(1-u)\ln(1-u) =u^2+\frac{u^4}{6}+O(u^6). \]
При \(s=O(\sqrt n)\) имеем \(u=O(n^{-1/2})\). Поэтому ведущий член показателя равен \(-s^2/(2n)\), а остальные поправки стремятся к нулю:
\[\tag{26} \Pr(S_n=s)\sim \sqrt{\frac{2}{\pi n}}\, \exp\!\left(-\frac{s^2}{2n}\right). \]
Здесь слева стоит вероятность отдельного дискретного результата. Чтобы получить плотность, нормируем отклонение:
\[\tag{27} Z_n=\frac{S_n}{\sqrt n},\qquad \Delta z=\frac{2}{\sqrt n}. \]
Множитель 2 необходим, поскольку соседние допустимые суммы отличаются на два. Разделив асимптотическую вероятность на ширину интервала, получаем
\[\tag{28} \boxed{\rho(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{z^2}{2}\right).} \]
Для любого конечного интервала \([a,b]\) сумма вероятностей превращается в интеграл этой плотности. Для полноты проверим, что вероятность не теряется на больших отклонениях. Из (20) и неравенства Чебышёва следует \(\Pr(|Z_n|>M)\le M^{-2}\) равномерно по \(n\). Поэтому нормированный результат сходится по распределению к стандартной нормальной величине:
\[\tag{29} \lim_{n\to\infty}\Pr(a\le Z_n\le b) =\int_a^b\rho(z)\,dz,\qquad Z_n\ \xrightarrow{\ d\ }\ \mathcal N(0,1). \]
Итак, гауссов предел получен из числа конечных каналов. Квадратичный член в разложении (25) задаёт форму экспоненты и масштаб \(\sqrt n\). При конечном числе расщеплений точным распределением остаётся биномиальное; нормальная форма является предельным приближением центральной области.
7. Расщепление направлений и пространственные шаги
Вернёмся к перелётам. Бинарная конструкция допускает обобщение на конечное число направлений: родительский канал разделяется на ортогональные подканалы, каждому из которых сопоставляется вектор шага. Для направлений \(\mathbf u_a\) и весов \(w_a\) принимаем
\[\tag{30} P=\sum_a P_a,\qquad P_aP_b=\delta_{ab}P_a,\qquad \mu(P_a)=w_a\mu(P),\qquad \sum_a w_a=1. \]
Пусть все \(\mathbf u_a\) единичные, а набор направлений симметричен:
\[\tag{31} \sum_a w_a\mathbf u_a=0,\qquad \lVert \mathbf u_a\rVert=1. \]
На шаге \(k\) выбирается вектор \(\Delta\mathbf R_k=\ell\mathbf u_a\). Если правило выбора не зависит от предыдущей истории, шаги независимы и
\[\tag{32} \mathbb E[\Delta\mathbf R_k]=0,\qquad \mathbb E[\lVert \Delta\mathbf R_k\rVert^2]=\ell^2,\qquad \mathbb E[\Delta\mathbf R_k\cdot\Delta\mathbf R_l]=0\quad(k\ne l). \]
Для накопленного перемещения \(\mathbf R_n=\sum_k\Delta\mathbf R_k\) получаем
\[\tag{33} \mathbb E[\lVert \mathbf R_n\rVert^2] =\sum_k\mathbb E[\lVert \Delta\mathbf R_k\rVert^2] +2\sum_{1\le k\lt l\le n}\mathbb E[\Delta\mathbf R_k\cdot\Delta\mathbf R_l] =n\ell^2. \] \[\tag{34} \boxed{R_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\mathbb E[\lVert \mathbf R_n\rVert^2]} =\ell\sqrt n.} \]
Формула не зависит от числа пространственных измерений. Равномерный выбор на всей сфере можно описать непосредственно вероятностной мерой направлений; это непрерывное обобщение конечного дерева. Для закона (34) достаточно независимости шагов, нулевого среднего и одинакового среднего квадрата длины.
Распределение расстояния в нескольких измерениях отличается от распределения одной координаты. Например, для независимых изотропных шагов в трёх измерениях ковариационная матрица накопленного перемещения равна \((n\ell^2/3)I_3\). Многомерная центральная предельная теорема даёт гауссов предел координат; соответствующая непрерывная аппроксимация плотности вектора имеет вид
\[\tag{35} f_n(\mathbf r)\approx \left(\frac{3}{2\pi n\ell^2}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{3\lVert \mathbf r\rVert^2}{2n\ell^2}\right). \]
Плотность радиального расстояния \(r=\lVert \mathbf R_n\rVert\) включает объём сферического слоя:
\[\tag{36} g_n(r)\approx4\pi r^2 \left(\frac{3}{2\pi n\ell^2}\right)^{3/2} \exp\!\left(-\frac{3r^2}{2n\ell^2}\right),\qquad r\ge0. \]
Последние две формулы относятся к масштабному пределу и непрерывной аппроксимации при больших \(n\). Для дискретных направлений конечное распределение остаётся дискретным. Подробный трёхмерный предел требует многомерного вероятностного результата; одномерный нормальный предел выше уже выведен непосредственно подсчётом бинарных каналов.
8. Неравные веса и связанные выборы
Если положительная ветвь получает вероятность \(p\), а отрицательная — \(1-p\), при неизменности этих условных весов выборы остаются независимыми. История с \(m\) плюсами имеет вес \(p^m(1-p)^{n-m}\), поэтому
\[\tag{37} \Pr(S_n=2m-n)=\binom nm p^m(1-p)^{n-m}. \]
Для \(0\lt p\lt 1\) среднее и дисперсия равны
\[\tag{38} \mathbb E[S_n]=n(2p-1),\qquad \operatorname{Var}(S_n)=4np(1-p),\qquad \sigma_n=2\sqrt{np(1-p)}. \]
Закон квадратного корня сохраняется для разброса относительно среднего, но само среднее при \(p\ne1/2\) растёт линейно. Поэтому среднеквадратичное отклонение от нуля уже не совпадает со стандартным отклонением:
\[\tag{39} \mathbb E[S_n^2]=4np(1-p)+n^2(2p-1)^2. \]
Если вероятности следующих ветвей зависят от предыдущих выборов, в дисперсии появляются ковариации:
\[\tag{40} \operatorname{Var}(S_n) =\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Var}(\varepsilon_k) +2\sum_{1\le k\lt l\le n}\operatorname{Cov}(\varepsilon_k,\varepsilon_l). \]
Например, при единственном случайном выборе первого знака и его сохранении на всех следующих шагах \(S_n=\pm n\), поэтому \(\sigma_n=n\). Такое поведение задаётся мерой, сосредоточенной на двух историях дерева. Идемпотентные каналы остаются ортогональными алгебраически, но соответствующие выборы становятся статистически связанными. Сам факт расщепления не гарантирует закон квадратного корня.
9. Масштаб поиска и итог
Для расстояния \(R\) приравняем среднеквадратичное удаление к этому масштабу. Если длительность каждого шага равна \(\Delta t\), получаем
\[\tag{41} n_{\mathrm{scale}}=\left(\frac{R}{\ell}\right)^2,\qquad t_{\mathrm{scale}}=\Delta t\left(\frac{R}{\ell}\right)^2. \]
Для \(R=1000\ell\) это миллион шагов. При одном перелёте в год соответствующий масштаб составляет миллион лет, при одном перелёте в сутки — миллион суток, или около 2740 лет. В идеализированной модели учитывается одна экспедиция с постоянной длиной и длительностью шага. Разветвление реальных экспедиций, целенаправленная навигация и неоднородность расположения планет требуют других правил накопления и выбора.
Величина \(t_{\mathrm{scale}}\) не является ожидаемым временем первого попадания на конкретную планету. Она показывает, когда среднеквадратичный масштаб удаления достигает \(R\). Для оценки встречи нужны геометрия доступных маршрутов, размер области цели и текущая информация о путешествии. Нельзя определить оставшееся время простым вычитанием уже сделанных шагов из миллиона.
В основе вывода лежит последовательность: идемпотентное расщепление создаёт дерево альтернатив, мера задаёт веса конечных каналов, а накопленная наблюдаемая объединяет истории с одинаковым результатом. Подсчёт этих историй даёт биномиальное распределение. Усреднение квадрата даёт закон \(\sqrt n\), а асимптотика числа каналов — нормальный предел.
Таким образом, вероятностное распределение можно построить внутри алгебры расщеплений. Его вид определяется совместно структурой каналов, выбранной мерой и правилом отображения истории в результат. В симметричном независимом случае эта конструкция точно воспроизводит классическое случайное блуждание.
Полученная конструкция делает случайный выбор в каналах расщепления целесообразным математическим инструментом для построения физических гипотез. Она позволяет связать структуру возможных состояний с распределением наблюдаемых результатов и получить проверяемые зависимости: рост среднеквадратичного отклонения, форму распределения и изменения статистики при корреляциях между выборами. Для физического применения необходимо определить, чему соответствуют каналы, что задаёт их вероятностные веса и как последовательность реализаций отображается в измеряемую величину. При таком дополнении случайное расщепление может служить основой моделей диффузии, флуктуаций и других процессов накопления случайных изменений. Само математическое соответствие ещё не доказывает существования физического механизма расщепления, но даёт строгую основу для его формулировки и экспериментальной проверки.