Просто для заметки. Такие суммы интересны как сами по себе, так и при изучении комплексных рядов. Простейший пример одного члена ряда: \[ \left[ \int \limits_0^1 e^{i 2\pi x} \sqrt{1 - e^{i 2\pi x}}\, dx\right]^2 = 0 \qquad (1)\] Сама же сумма ряд находится так: \[ \sum \limits_{n=0}^m \left[ \int \limits_0^1 e^{i n 2\pi x} \sqrt{1 - e^{i 2\pi x}}\, dx\right]^2 = 1 \qquad (2)\] при этом \(m\) может принимать любые значения.

Другй интересный пример, но уже с синусами и косинусами: \[ \sum \limits_{n=0}^m \left[ \int \limits_0^1 \cos(2\pi x)\, \sin(2\pi x)^n\, dx\right]^2 = 0 \qquad (3)\] при этом \(m\) также может принимать любые значения. Если здесь верхний предел интегрирования заменить на \(0.5\), то сумма ряда останется равной нулю.

Из этой же серии, представляет интерес такая сумма ряда: \[ \sum \limits_{n=0}^m \left[ \int \limits_0^a \cos(x)\, \sin(x)^n\, dx\right]^2 \approx a \qquad (4)\] при этом значение \(m\) — чем больше, тем точнее результат. Заметьте, что здесь верхняя граница интегрирования \(a\) примерно равна всей сумме.