Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2023-05-23
Все заметки/Математика
Двухточечная модель определения коэффициента g
Эта заметка является дополнением к этой работе. В ней подробно выводится формула для определения коэффициента \(g\) с помощью двухточечной модели.
Проблема состоит в следующем. Существует график зависимости тока \(I\) от времени \(t\), представленный на рисунке 1. Мы можем измерить две точки на этом графике: 2 и 3. Также известно, что время τ составляет примерно половину нисходящей части этого графика, и через эту величину можно выразить искомый коэффициент: \[g = K^{\large {\tau / (t - \tau)}} \tag{1}\] Здесь: \(K\) — известный коэффициент, зависящий от измерений на графике.
Если бы мы точно знали τ, то этой проблемы бы не возникло, а \(g\) мы бы считали по формуле (1). Но этот параметр сильно влияет на результат даже при небольшой погрешности, а в схеме он определяется лишь приблизительно. В этом случае мы считаем, что τ неизвестно, а необходимый нам коэффициент определяем по двум точкам на графике.
Рис.1. График зависимости тока I от времени t
Для двухточечной модели нужно подготовить соответствующие формулы. Сначала выведем τ: \[\tau = {t \over 1 + \ln(K) / \ln(g)} \tag{2}\] Поскольку мы считаем, что этот параметр нам неизвестен, но известны данные двух точек измерений, то эту формулу мы можем переписать так: \[\tau = {t_2 \over 1 + \ln(K_2) / \ln(g)} = {t_3 \over 1 + \ln(K_3) / \ln(g)} \tag{3}\] Здесь: \(t_2, K_2, t_3, K_3\) — данные результатов измерений по двум точкам. Откуда мы получаем искомый коэффициент: \[ \ln g = {t_2 \ln(K_3) - t_3 \ln(K_2) \over t_3 - t_2} \tag{4}\] Эту же формулу можно записать по-другому: \[ g = { K_3^{\large {t_2 \over t_3 - t_2}} \over K_2^{\large {t_3 \over t_3 - t_2} }} \tag{5}\] Таким образом, минуя τ, мы получили необходимый результат. При этом, сам параметр τ мы теперь можем найти с максимальной точностью, если подставим выражение (4) в формулу (2): \[ \tau = {t_2 \ln(K_3) - t_3 \ln(K_2) \over \ln(K_3) - \ln(K_2)} \tag{6}\] Что и требовалось доказать.