Данная работа развивает математический аппарат единичного пространства, в частности, методы работы с векторными тригонометрическими функциями. Такой подход позволяет формализовать и упростить вычисления, а также выявить дополнительные закономерности в их структуре. Для корректной обработки выражений, содержащих отрицательные подкоренные значения, целесообразно использовать гиперболические числа, которые естественным образом расширяют область определения функций.

Особое внимание уделено задаче вычисления фазового сдвига векторного синуса. В классической форме разложения векторного синуса ненулевыми являются только члены, соответствующие чётным индексам единичных векторов, тогда как члены с нечётными индексами обращаются в ноль. Введение фазового сдвига нарушает эту симметрию и приводит к появлению новых ненулевых компонент, что делает анализ функций более полным.

При преобразовании скалярного синуса в векторный работают только чётные единичные векторы, а нечётные — равны нулю \[\tag{1} \Sin\v = \i\sumn1 \j_n \sqrt{ \frac12 \cos \left( {n\pi \over 2} \right) {\a^{n} \over n!} } \] где: \(\i\) — гиперболическая единица.

В случае с фазовым сдвигом должны появиться и нечётные ненулевые векторы. Для проверки этой гипотезы обозначим угол фазового сдвига через символ \(\d\) и запишем преобразование из скалярного синуса в векторный в следующем виде: \[\tag{2} \sin (\v + \d) \to \Sin (\v + \d) \] Введем половинный угол для удобства и простоты дальнейших вычислений \[ \v = {\a \over 2} \] Это позволит работать далее с этим углом таким образом: \[\tag{3} \sin (\v + \d) = \sin {\a + 2\d \over 2} \] Преобразуем эту скалярную функцию в вектор. Для этого, согласно теореме, последовательно определим коэффициенты преобразования по установленному правилу: \[ a_n = \left. \sqrt{ { \left [\sin^2 {\large \a + 2\d \over 2} \right]^{\large (n)} \over n!} }\, \right|_{\large \a=0} \] Тогда нулевой по счёту коэффициент будет находиться так \[ a_0 = \sin(\d) \] Поскольку \[ \sin^2 {\a + 2\d \over 2} = {1 - \cos (\a + 2\d) \over 2} \] то остальные коэффициенты находятся теперь так: \[ a_1 = \sqrt{ \frac12 { \left [1 - \cos (\a + 2\d) \right]_x^{'} \over 1!} } = \left. \sqrt{ \frac12 { \sin (\a + 2\d) \over 1!} }\, \right|_{\a=0} = \sqrt{\sin(2\d) \over 2\cdot 1!} \] \[ a_2 = \sqrt{ \frac12 { \left [\sin (\a + 2\d) \right]_x^{'} \over 2!} } = \left. \sqrt{ \frac12 { \cos (\a + 2\d) \over 2!} }\, \right|_{\a=0} = \sqrt{\cos(2\d) \over 2\cdot 2!} \] \[ a_3 = \sqrt{ \frac12 { \left [\cos (\a + 2\d) \right]_x^{'} \over 3!} } = \left. \sqrt{ -\frac12 { \sin (\a + 2\d) \over 3!} }\, \right|_{\a=0} = \sqrt{-{\sin(2\d) \over 2\cdot 3!}} \] \[ a_4 = \ik\sqrt{ \frac12 { \left [\sin (\a + 2\d) \right]_x^{'} \over 4!} } = \left. \sqrt{ -\frac12 { \cos (\a + 2\d) \over 4!} }\, \right|_{\a=0} = \sqrt{-{\cos(2\d) \over 2\cdot 4!}} \] \[ \ldots \] Запишем теперь этот ряд в общем виде: \[\tag{4} \Sin (\v + \d) = \j_0\,\sin(\d) + \sumn1 \j_n \sqrt{\sin(2\d) \cdot \sin {\pi n \over 2} - \cos(2\d) \cdot \cos {\pi n \over 2}} \sqrt{\a^n \over 2 \cdot n!} \]

Сравните полученное выражение с (1). Как мы и планировали, в случае ненулевого угла сдвига, в вектор добаляются слагаемые при чётных \(n\).

Давайте проверим формулу (6) на конкретном примере. Примем следующий угол сдвига фазы: \[ \d = {\pi \over 4} \] Тогда векторный синус со сдвигом в четверть числа Пи станет таким: \[\tag{7} \Sin (\v + \pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \j_0 + \sumn1 \j_n \sqrt{\sin \left({\pi n \over 2} \right) {\a^n \over n!}} \right) \] Сравним полученный результат с преобразованием функции \(\cos(\v) + \sin(\v)\) из этой работы. Очевидно, что они совпадают с точностью до \(\sqrt{2}\), а значит — с той же точностью совпадают и их оригиналы: \[\tag{8} \cos(\v) + \sin(\v) = \sqrt{2} \sin (\v + \pi/4) \] Последнее выражение является классическим тригонометрическим тождеством.

Для такого преобразования возьмём следующий угол сдвига фазы \[ \d = {\pi \over 2} \] и подставим его в формулу (5): \[\tag{9} \Sin (\v + \pi/2) = \j_0 + \sumn1 \j_n \sqrt{\cos \left({\pi n \over 2} \right) {\a^n \over 2 \cdot n!}} \] При этом гиперболические единицы сократятся, так как: \( \cos(x + \pi) = -\cos(x) \). В результате мы получили выражение для векторного косинуса, а значит: \[\tag{10} \Sin(\v + \pi/2) = \Cos (\v) \] Поскольку совпадают векторные аналоги, значит совпадают и оригиналы: \[\tag{11} \sin(\v + \pi/2) = \cos (\v) \] Полученное равенство также является классическим тригонометрическим тождеством.

В работе рассмотрен фазовый сдвиг векторных тригонометрических функций на примере векторного синуса. Показано, что при введении ненулевого угла сдвига векторное разложение синуса обогащается новыми членами: в отличие от исходного случая, где ненулевыми были только векторы при нечётных индексах, фазовый сдвиг приводит к появлению ненулевых членов и при чётных индексах.

Пошаговый вывод формулы основан на преобразовании скалярного синуса в векторный с использованием теоремы о коэффициентах разложения и свойств гиперболических чисел, что позволяет корректно работать с отрицательными подкоренными выражениями. В результате получена общая формула векторного синуса со сдвигом фазы, а также её удобная для вычислений форма.

Пример с углом сдвига \(\pi/4\) и \(\pi/2\) подтвердил корректность полученных выражений: векторная функция точно соответствует известному тригонометрическому тождеству Это демонстрирует согласованность векторного подхода с классической тригонометрией и его расширенные возможности для анализа функций в единичном пространстве.