2026-09-01
Движение по окружности как проекция равномерных движений высших расщеплений
Представим точку, равномерно движущуюся по окружности. Модуль её скорости не меняется, но направление скорости непрерывно поворачивается. Поэтому даже при совершенно постоянной скорости движение остаётся ускоренным.
Если точка связана с центром, например нитью, то в неподвижной системе отсчёта связь непрерывно отклоняет её от прямолинейного пути. Возникает центростремительное ускорение, направленное к центру окружности. Наблюдатель, вращающийся вместе с точкой, описывает то же состояние иначе: относительно него точка неподвижна, а направленному к центру ускорению противопоставляется центробежный инерционный член.
Оба ускорения имеют одинаковый модуль и противоположные направления:
\[\tag{1}
\mathbf A_{\mathrm{цс}}
=-\frac{v^2}{R}\mathbf e_R,
\qquad
\mathbf A_{\mathrm{цб}}
=+\frac{v^2}{R}\mathbf e_R.
\]
Центростремительное ускорение является ускорением точки в неподвижной системе отсчёта. Центробежное ускорение возникает как инерционный член во вращающейся системе. Поэтому их нельзя считать двумя одновременно действующими ускорениями одной и той же инерциальной системы. Однако они являются двумя противоположными проявлениями единой геометрии кругового движения.
Здесь возникает более глубокий вопрос. Можно ли представить само вращение так, чтобы на некотором высшем уровне не было ни центростремительного, ни центробежного ускорения? Можно ли построить окружность исключительно из прямолинейных равномерных движений, каждое из которых удовлетворяет условию
\[\tag{2}
q_n(t)=q_{n0}+u_nt,
\qquad
\boxed{\ddot q_n(t)=0},
\]
а радиальное ускорение получить только после их совместной проекции?
В этой статье будет показано, что равномерное движение по окружности допускает точное представление как мультипликативная проекция бесконечной совокупности линейных равномерных движений. Ни одна исходная ветвь не имеет ускорения, но их общая проекция обладает центростремительным, а во вращающейся системе — центробежным ускорением.
Это частный двумерный пример общей идеи, рассмотренной в предыдущей части. Там произвольное изменение модуля скорости представлялось через равномерные высшие фазы. Здесь мы рассмотрим другой механизм: само круговое движение будет собрано произведением линейных ветвей.
1. Исходное движение точки по окружности
Пусть плоскость движения задана двумя ортогональными направлениями \(\ep\) и \(\em\), а радиус окружности равен \(R\). Положение точки запишем в виде
\[\tag{3}
\boxed{
\mathbf r(t)
=R\ep\sin(\omega t)
+R\em\cos(\omega t).
}
\]
Здесь \(\omega\) — постоянная угловая скорость. Наблюдаемые координаты точки равны
\[\tag{4}
x(t)=R\sin(\omega t),
\qquad
y(t)=R\cos(\omega t).
\]
Евклидово расстояние до центра остаётся постоянным:
\[\tag{5}
\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}
=R.
\]
Скорость точки равна
\[\tag{6}
\dot{\mathbf r}(t)
=R\omega\ep\cos(\omega t)
-R\omega\em\sin(\omega t),
\]
поэтому её модуль не меняется:
\[\tag{7}
\boxed{
v=|\dot{\mathbf r}|
=R|\omega|
=\operatorname{const}.
}
\]
Повторное дифференцирование даёт
\[\tag{8}
\ddot{\mathbf r}(t)
=-R\omega^2\ep\sin(\omega t)
-R\omega^2\em\cos(\omega t),
\]
или
\[\tag{9}
\boxed{
\ddot{\mathbf r}(t)
=-\omega^2\mathbf r(t).
}
\]
Следовательно, в неподвижной системе отсчёта ускорение направлено к центру, а его модуль равен
\[\tag{10}
\boxed{
|\mathbf A_{\mathrm{цс}}|
=\omega^2R
=\frac{v^2}{R}.
}
\]
Во вращающейся системе появляется противоположный инерционный член:
\[\tag{11}
\boxed{
\mathbf A_{\mathrm{цб}}
=+\omega^2\mathbf r,
\qquad
\mathbf A_{\mathrm{цс}}+\mathbf A_{\mathrm{цб}}=0.
}
\]
2. Почему простой суммы линейных движений недостаточно
Попытаемся получить периодические координаты из конечного набора равномерных линейных движений. Пусть
\[\tag{12}
q_n(t)=q_{n0}+u_nt,
\qquad
\ddot q_n=0.
\]
Их линейная сумма имеет вид
\[\tag{13}
\sum_{n=1}^{N}a_nq_n(t)
=Q_0+Ut.
\]
Она снова является линейной функцией времени и не может совпасть с синусом или косинусом. Поэтому обычная сумма равномерных движений не создаёт окружность.
Рассмотрим теперь произведение:
\[\tag{14}
P_N(t)=\prod_{n=1}^{N}q_n(t).
\]
Даже если каждый множитель имеет нулевую вторую производную, произведение уже является нелинейной функцией. Для конечного числа ветвей
\[\tag{15}
\begin{aligned}
\ddot P_N(t)
={}&
\sum_{k=1}^{N}\ddot q_k
\prod_{m\ne k}q_m
\\[1mm]
&+
2\sum_{1\le k < l\le N}
\dot q_k\dot q_l
\prod_{m\ne k,l}q_m.
\end{aligned}
\]
Поскольку \(\ddot q_k=0\), остаются только перекрёстные произведения постоянных скоростей:
\[\tag{16}
\boxed{
\ddot P_N(t)
=
2\sum_{1\le k < l\le N}
\dot q_k\dot q_l
\prod_{m\ne k,l}q_m.
}
\]
Мультипликативная проекция способна иметь ускорение без ускорения какого-либо исходного движения. Нелинейность возникает при совместной сборке ветвей.
3. Бесконечные произведения для синуса и косинуса
Введём безразмерную фазу
\[\tag{17}
z=\omega t.
\]
Функции, задающие координаты окружности, имеют классические произведения Эйлера:
\[\tag{18}
\boxed{
\sin z
=z\prod_{n=1}^{\infty}
\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right),
}
\]
\[\tag{19}
\boxed{
\cos z
=\prod_{n=0}^{\infty}
\left(
1-\frac{4z^2}{(2n+1)^2\pi^2}
\right).
}
\]
Каждый квадратичный множитель является произведением двух линейных функций:
\[\tag{20}
1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}
=
\left(1+\frac{z}{n\pi}\right)
\left(1-\frac{z}{n\pi}\right),
\]
\[\tag{21}
1-\frac{4z^2}{(2n+1)^2\pi^2}
=
\left(1+\frac{2z}{(2n+1)\pi}\right)
\left(1-\frac{2z}{(2n+1)\pi}\right).
\]
Тем самым синус и косинус уже представлены как бесконечные произведения пар линейных ветвей.
4. Линейные ветви синусной координаты
Для каждого уровня \(n=1,2,3,\ldots\) введём две ветви:
\[\tag{22}
s_{n,+}(t)
=1+\frac{\omega t}{n\pi},
\qquad
s_{n,-}(t)
=1-\frac{\omega t}{n\pi}.
\]
Их скорости постоянны и противоположны:
\[\tag{23}
\dot s_{n,+}
=+\frac{\omega}{n\pi},
\qquad
\dot s_{n,-}
=-\frac{\omega}{n\pi}.
\]
Следовательно, в обеих ветвях ускорение отсутствует:
\[\tag{24}
\boxed{
\ddot s_{n,+}
=\ddot s_{n,-}
=0.
}
\]
Их парное произведение равно
\[\tag{25}
s_{n,+}(t)s_{n,-}(t)
=1-\frac{\omega^2t^2}{n^2\pi^2}.
\]
Дополнительный множитель \(s_0(t)=\omega t\), стоящий перед произведением для синуса, также описывает линейное равномерное движение:
\[\tag{26}
s_0(t)=\omega t,
\qquad
\dot s_0=\omega,
\qquad
\ddot s_0=0.
\]
5. Линейные ветви косинусной координаты
Для косинусной координаты при \(n=0,1,2,\ldots\) определим
\[\tag{27}
c_{n,+}(t)
=1+\frac{2\omega t}{(2n+1)\pi},
\qquad
c_{n,-}(t)
=1-\frac{2\omega t}{(2n+1)\pi}.
\]
Здесь также
\[\tag{28}
\dot c_{n,\pm}
=\pm\frac{2\omega}{(2n+1)\pi}
=\operatorname{const},
\qquad
\boxed{\ddot c_{n,\pm}=0}.
\]
Парное произведение имеет вид
\[\tag{29}
c_{n,+}(t)c_{n,-}(t)
=1-\frac{4\omega^2t^2}{(2n+1)^2\pi^2}.
\]
Таким образом, каждая координата окружности собирается из пар ветвей, равномерно расходящихся в противоположных направлениях.
Заметьте: движения во всех высших расщеплениях не имеют ускорения. Оно возникает только после их объединения мультипликативной проекцией.
6. Идемпотентная запись одного расщепления
Представим каждую пару как отдельное идемпотентное расщепление. Для синусного уровня \(n\) введём независимую гиперболическую единицу
\[\tag{30}
\j_{s,n}^{,2}=1
\]
и соответствующие идемпотенты
\[\tag{31}
p_{s,n}^{+}
=\frac{1+\j_{s,n}}{2},
\qquad
p_{s,n}^{-}
=\frac{1-\j_{s,n}}{2}.
\]
Они удовлетворяют правилам
\[\tag{32}
(p_{s,n}^{\pm})^2=p_{s,n}^{\pm},
\qquad
p_{s,n}^{+}p_{s,n}^{-}=0,
\qquad
p_{s,n}^{+}+p_{s,n}^{-}=1.
\]
Состояние одного синусного расщепления запишем как
\[\tag{33}
\begin{aligned}
S_n(t)
&=p_{s,n}^{+}s_{n,+}(t)
+p_{s,n}^{-}s_{n,-}(t)\\
&=1+\j_{s,n}\frac{\omega t}{n\pi}.
\end{aligned}
\]
Это состояние линейно по времени:
\[\tag{34}
\dot S_n(t)
=\j_{s,n}\frac{\omega}{n\pi}
=\operatorname{const},
\qquad
\boxed{\ddot S_n(t)=0}.
\]
Определим сопряжение \(\star_n\), меняющее знак только единицы данного уровня:
\[\tag{35}
\j_{s,n}^{\star_n}=-\j_{s,n},
\qquad
S_n^{\star_n}(t)
=1-\j_{s,n}\frac{\omega t}{n\pi}.
\]
Сплит-норма этого уровня равна
\[\tag{36}
\boxed{
\mathcal N_{s,n}(t)
=S_n(t)S_n^{\star_n}(t)
=1-\frac{\omega^2t^2}{n^2\pi^2}.
}
\]
Аналогично для каждого косинусного уровня вводится независимая единица \(\j_{c,n}\) и состояние
\[\tag{37}
C_n(t)
=1+\j_{c,n}
\frac{2\omega t}{(2n+1)\pi}.
\]
Для него
\[\tag{38}
\boxed{
\ddot C_n(t)=0,
\qquad
\mathcal N_{c,n}(t)
=C_n(t)C_n^{\star_n}(t)
=1-\frac{4\omega^2t^2}{(2n+1)^2\pi^2}.
}
\]
Сопряжение и умножение выполняются внутри каждого отдельного расщепления. Полученная сплит-норма является скалярным множителем, после чего множители разных уровней можно перемножить между собой.
7. Закон мультипликативной проекции
Определим синусную проекцию как произведение сплит-норм всех синусных уровней:
\[\tag{39}
\Pi_s(t)
=\omega t
\prod_{n=1}^{\infty}
\mathcal N_{s,n}(t).
\]
Для косинусной координаты положим
\[\tag{40}
\Pi_c(t)
=\prod_{n=0}^{\infty}
\mathcal N_{c,n}(t).
\]
Согласно произведениям Эйлера, эти проекции точно равны
\[\tag{41}
\boxed{
\Pi_s(t)=\sin(\omega t),
\qquad
\Pi_c(t)=\cos(\omega t).
}
\]
Следовательно, полная мультипликативная проекция имеет вид
\[\tag{42}
\boxed{
\begin{aligned}
\mathbf r(t)={}&
R\ep\,\omega t
\prod_{n=1}^{\infty}
S_n(t)S_n^{\star_n}(t)
\\[1mm]
&+
R\em
\prod_{n=0}^{\infty}
C_n(t)C_n^{\star_n}(t).
\end{aligned}
}
\]
После выполнения произведений восстанавливается исходное движение:
\[\tag{43}
\boxed{
\mathbf r(t)
=R\ep\sin(\omega t)
+R\em\cos(\omega t).
}
\]
Получена точная схема:
\[\tag{44}
\boxed{
\begin{gathered}
\ddot S_n=0,
\qquad
\ddot C_n=0
\qquad
\text{для всех }n,
\\[1mm]
\Downarrow\quad
\text{мультипликативная проекция}
\quad\Downarrow
\\[1mm]
\ddot{\mathbf r}
=-\omega^2\mathbf r\ne0.
\end{gathered}
}
\]
8. Откуда появляется радиальное ускорение
Рассмотрим простейшую пару синусного уровня:
\[\tag{45}
s_{n,+}(t)s_{n,-}(t)
=1-\frac{\omega^2t^2}{n^2\pi^2}.
\]
Обе ветви имеют нулевое ускорение, но их произведение удовлетворяет равенству
\[\tag{46}
\frac{d^2}{dt^2}
\left[s_{n,+}(t)s_{n,-}(t)\right]
=-\frac{2\omega^2}{n^2\pi^2}\ne0.
\]
Это ускорение возникло из произведения двух постоянных скоростей:
\[\tag{47}
\frac{d^2}{dt^2}
\left(s_{n,+}s_{n,-}\right)
=2\dot s_{n,+}\dot s_{n,-}.
\]
После объединения бесконечного числа уровней перекрёстные члены складываются так, что наблюдаемая проекция удовлетворяет уравнению кругового движения:
\[\tag{48}
\boxed{
\ddot{\mathbf r}
=-\omega^2\mathbf r.
}
\]
Знак минус означает направление к центру окружности. Во вращающейся системе тому же модулю соответствует противоположный инерционный член:
\[\tag{49}
\boxed{
\mathbf A_{\mathrm{цс}}
=-\omega^2\mathbf r,
\qquad
\mathbf A_{\mathrm{цб}}
=+\omega^2\mathbf r.
}
\]
Центростремительное и центробежное ускорения отсутствуют в отдельных высших ветвях. Они возникают только после сборки этих ветвей в единую круговую проекцию и выбора системы отсчёта.
9. Конечное число расщеплений
При конечном числе уровней определим частичные произведения
\[\tag{50}
\sin_N z
=z\prod_{n=1}^{N}
\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right),
\]
\[\tag{51}
\cos_N z
=\prod_{n=0}^{N}
\left(
1-\frac{4z^2}{(2n+1)^2\pi^2}
\right).
\]
Соответствующее движение конечного уровня равно
\[\tag{52}
\mathbf r_N(t)
=R\ep\sin_N(\omega t)
+R\em\cos_N(\omega t).
\]
Каждая исходная ветвь по-прежнему движется равномерно, но конечные произведения являются полиномами. Поэтому при конечном \(N\) траектория лишь приближает окружность и в общем случае не сохраняет точно условие \(|\mathbf r_N|=R\).
На любом ограниченном промежутке времени \(|t|\le T\) произведения и их производные сходятся к синусу и косинусу:
\[\tag{53}
\begin{gathered}
\sin_N(\omega t)\longrightarrow\sin(\omega t),
\qquad
\cos_N(\omega t)\longrightarrow\cos(\omega t),
\\[1mm]
\dot{\mathbf r}_N(t)\longrightarrow\dot{\mathbf r}(t),
\qquad
\ddot{\mathbf r}_N(t)\longrightarrow\ddot{\mathbf r}(t)
\end{gathered}
\]
равномерно по \(t\) на этом промежутке. Следовательно, с увеличением числа расщеплений одновременно уточняются траектория, скорость и центростремительное ускорение.
\[\tag{54}
\boxed{
N\to\infty
\quad\Longrightarrow\quad
\mathbf r_N(t)\to\mathbf r(t),
\qquad
\ddot{\mathbf r}_N(t)
\to-\omega^2\mathbf r(t).
}
\]
Точное периодическое движение на всей временной оси получается только в пределе бесконечной иерархии. Это ограничение принципиально: конечное произведение линейных функций является полиномом и не может совпадать с синусом или косинусом для всех значений времени.
10. Геометрический смысл конструкции
Каждый уровень содержит пару взаимно противоположных линейных движений. Их скорости имеют вид
\[\tag{55}
u_{n,+}=-u_{n,-},
\qquad
\dot u_{n,\pm}=0.
\]
По отдельности эти движения не вращаются и не отклоняются от прямой. Окружность отсутствует в любом отдельно взятом канале. Она появляется только после последовательного умножения сплит-норм всех уровней.
Поэтому наблюдаемое вращение нельзя отождествить ни с одной из высших ветвей. Оно является целостным свойством их проекции:
\[\tag{56}
\boxed{
\text{окружность}
\ne
\text{отдельное высшее движение},
\qquad
\text{окружность}
=
\text{мультипликативная проекция всех ветвей}.
}
\]
В обычном описании кривизна траектории означает непрерывное изменение направления скорости и приводит к радиальному ускорению. В высшем представлении ни одна скорость не меняется. Нелинейность переносится из закона движения отдельных ветвей в закон их проекции.
\[\tag{57}
\boxed{
\begin{gathered}
\text{нижний уровень:}
\quad
\text{криволинейное ускоренное движение},
\\[1mm]
\text{высший уровень:}
\quad
\text{совокупность прямолинейных равномерных движений}.
\end{gathered}
}
\]
11. Математический результат и физическая интерпретация
Проведённое построение является точным математическим представлением кругового движения. Оно доказывает возможность получить координаты, скорость и радиальное ускорение точки из мультипликативной проекции безускорительных линейных ветвей.
Однако существование разложения ещё не означает, что реальное центростремительное взаимодействие уже объяснено. Формулы пока не дают готового способа вращать тело без силы, устранять перегрузку или создавать движение без двигателя. Для этого необходимо сначала доказать физическое существование самих расщеплений и возможность управлять их проекцией.
\[\tag{58}
\begin{gathered}
\text{какие реальные степени свободы соответствуют ветвям;}\\[1mm]
\text{почему действует именно мультипликативная проекция;}\\[1mm]
\text{какой физический закон задаёт величины }R\text{ и }\omega;\\[1mm]
\text{сохраняется ли собственное ускорение физического тела.}
\end{gathered}
\]
Рассматриваемая конструкция воспроизводит уже заданное соотношение
\[\tag{59}
|\mathbf A|=\omega^2R=\frac{v^2}{R},
\]
но сама по себе ещё не объясняет, какое взаимодействие удерживает конкретное тело на окружности. Её непосредственный результат иной: она даёт конструктивный способ поднять заданное круговое движение к системе координат с нулевыми вторыми производными.
Математический вывод состоит в возможности безускорительного высшего представления. Физическая гипотеза состоит в предположении, что подобные расщепления действительно являются скрытой геометрией наблюдаемого движения.
12. Как практически воспользоваться результатом
У результата есть два разных уровня практического применения: доступный уже сейчас математический алгоритм и возможное в будущем физическое применение. Их необходимо строго различать.
12.1. Конструктивный алгоритм
Пусть заданы радиус \(R\), угловая скорость \(\omega\), рабочий промежуток времени \(|t|\le T\), допустимая погрешность координаты \(\varepsilon_r^{\max}\) и допустимая погрешность ускорения \(\varepsilon_A^{\max}\). Тогда круговое движение можно приближённо собрать из конечного числа линейных каналов.
Сначала выбирается число уровней \(N\), после чего формируются ветви
\[\tag{60}
\begin{aligned}
s_{n,\pm}(t)
&=1\pm\frac{\omega t}{n\pi},
&&n=1,\ldots,N,
\\[1mm]
c_{n,\pm}(t)
&=1\pm\frac{2\omega t}{(2n+1)\pi},
&&n=0,\ldots,N.
\end{aligned}
\]
Все эти сигналы линейны по времени и могут независимо вычисляться или воспроизводиться отдельными каналами. Затем они объединяются умножением:
\[\tag{61}
\begin{aligned}
x_N(t)
&=R\omega t
\prod_{n=1}^{N}
s_{n,+}(t)s_{n,-}(t),
\\[1mm]
y_N(t)
&=R
\prod_{n=0}^{N}
c_{n,+}(t)c_{n,-}(t).
\end{aligned}
\]
Полученная точка
\[\tag{62}
\mathbf r_N(t)
=\ep x_N(t)+\em y_N(t)
\]
приближает движение по окружности. Практическая точность проверяется непосредственно по двум величинам:
\[\tag{63}
\begin{aligned}
\varepsilon_{r,N}
&=
\max_{|t|\le T}
\left|
\mathbf r_N(t)-\mathbf r(t)
\right|,
\\[1mm]
\varepsilon_{A,N}
&=
\max_{|t|\le T}
\left|
\ddot{\mathbf r}_N(t)+\omega^2\mathbf r(t)
\right|.
\end{aligned}
\]
Число уровней увеличивается до выполнения условий
\[\tag{64}
\boxed{
\varepsilon_{r,N}<\varepsilon_r^{\max},
\qquad
\varepsilon_{A,N}<\varepsilon_A^{\max}.
}
\]
Таким образом, формулы задают вполне определённую процедуру: вместо одного нелинейного кругового движения строится набор простых линейных каналов, а требуемая траектория получается в выходном мультипликативном слое.
Для обычного численного расчёта вычислять синус и косинус непосредственно, конечно, проще. Ценность данного алгоритма заключается не в ускорении вычислений, а в демонстрации иной внутренней организации движения: нелинейность сосредоточена в связи между каналами, а не в их собственных законах.
12.2. Модель системы с линейными каналами
Конструкцию можно реализовать как математическую, цифровую или аналоговую модель. Каждый канал создаёт линейно изменяющийся сигнал, а каскад умножителей формирует две выходные координаты. На входе такого устройства нет ускоренных сигналов:
\[\tag{65}
\ddot s_{n,\pm}=0,
\qquad
\ddot c_{n,\pm}=0,
\]
тогда как выход удовлетворяет приближённому уравнению вращения:
\[\tag{66}
\ddot{\mathbf r}_N(t)
\approx
-\omega^2\mathbf r_N(t).
\]
Такая схема позволяет исследовать, как коллективная нелинейность и ускорение возникают из взаимодействия простых подсистем. Она может использоваться как модельный пример в теории управления, обработке сигналов и исследовании многоуровневых геометрических проекций.
12.3. Экспериментальный критерий конечного расщепления
Если предположить, что физическая система содержит не бесконечное, а конечное число реальных расщеплений, то её траектория не должна быть идеальной окружностью. Отклонения должны иметь определённый вид:
\[\tag{67}
\delta\mathbf r_N(t)
=\mathbf r_N(t)-\mathbf r(t),
\qquad
\delta\mathbf A_N(t)
=\ddot{\mathbf r}_N(t)+\omega^2\mathbf r(t).
\]
Следовательно, формулы дают не только способ построения, но и возможный способ проверки гипотезы. Измеренное систематическое отклонение от идеального кругового закона можно сравнить с остатками конечных произведений. Отсутствие предсказанной структуры отклонений, напротив, будет ограничивать такую модель. Этот критерий относится именно к предположению, что физическая иерархия устроена как последовательное усечение построенных здесь произведений Эйлера; для другой геометрии расщепления закон поправок может быть иным.
12.4. Что потребуется для физического применения
Наиболее интересное возможное применение состояло бы в управлении наблюдаемой траекторией посредством изменения линейных скоростей высших ветвей:
\[\tag{68}
u_{n,\pm}
\quad\longrightarrow\quad
\Pi_{\times}
\quad\longrightarrow\quad
R,\ \omega,\ \mathbf A.
\]
Если физические аналоги этих ветвей существуют и их мультипликативной связью можно управлять, то изменение набора постоянных скоростей могло бы изменять радиус, частоту и ускорение наблюдаемой проекции. Но для практического устройства необходимо экспериментально показать, что собственное ускорение системы действительно остаётся нулевым на высшем уровне, а не только переписывается другими координатами.
Сегодня формулы дают алгоритм моделирования и критерий проверки. Они ещё не дают технологии устранения центробежной силы. Такая технология появится только после обнаружения физических степеней свободы, соответствующих расщеплениям, и способа управлять их мультипликативной проекцией.
Вывод
Практический результат статьи состоит не только в утверждении о существовании некоторого высшего представления. Получен явный алгоритм, переводящий заданное круговое движение в набор конкретных линейных ветвей:
\[\tag{69}
\boxed{
\begin{gathered}
q_{n,\pm}(t)=q_{n,\pm}(0)+u_{n,\pm}t,
\qquad
\ddot q_{n,\pm}=0,
\\[1mm]
\xrightarrow{\quad\Pi_{\times}\quad}
\\[1mm]
\mathbf r(t)
=R\ep\sin(\omega t)
+R\em\cos(\omega t),
\qquad
\ddot{\mathbf r}=-\omega^2\mathbf r.
\end{gathered}
}
\]
На математическом уровне этим алгоритмом можно пользоваться уже сейчас: выбирать конечное число каналов, собирать приближённую траекторию и контролировать ошибки координаты и ускорения по формулам (63)–(64). В физическом смысле результат задаёт программу дальнейшего исследования: найти реальные аналоги линейных ветвей, установить закон их умножения и проверить характерные отклонения конечного расщепления.
Итак, непосредственное применение результата — моделирование и проверка гипотезы. Возможное будущее применение — управление криволинейной проекцией через безускорительные высшие движения.