2026-07-30
Дифракция частиц на щели как проявление пространственной фазы оператора J
Часть 2. Прохождение через две щели
Одна щель уже создаёт дифракционную огибающую.
Но две одинаковые щели дают не простую сумму двух таких картин: на экране появляются частые светлые и тёмные полосы, которых не создаёт ни одна щель по отдельности.
Откуда возникает добавочная структура, если каждая частица всё равно регистрируется одной неделимой точкой?
В первой части статьи пространственный период массивной частицы был получен непосредственно из внутренней фазы оператора
\[
\tag{1}
J(a,b)
=
\j^a(-\j)^b
=
\ep e^{i\pi b}
+
\em e^{i\pi a}.
\]
Для движущегося состояния этот период равен
\[
\tag{2}
\boxed{
\lambda_J
=
\frac{\lambda_0}{\gamma\beta}
=
\lambda_0\cot(\pi b)
},
\]
где \(\lambda_0\) — собственный пространственный масштаб внутреннего периода, \(\beta=v/c\), \(\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}\), а \(b=\arcsin(\beta)/\pi\) — показатель внешнего движения. Интегрирование фаз по ширине одной щели привело к однощелевому распределению \(\operatorname{sinc}^2\).
Теперь необходимо сделать следующий шаг: заменить один непрерывный интервал допустимых продолжений двумя раздельными интервалами и выяснить, что изменится при их совместном открытии. Окажется, что новая структура возникает не внутри каждой щели, а между двумя семействами фаз. Поэтому главная тема второй части — не столько прохождение через два отверстия, сколько появление взаимной фазы.
Введение.
Почему две щели — это новая геометрическая задача
Почему две щели — это новая геометрическая задача
Если открыть левую щель и измерить распределение \(P_-(\theta)\), а затем закрыть её, открыть правую и измерить \(P_+(\theta)\), то естественно ожидать, что при одновременном открытии обеих щелей получится сумма
\[
\tag{3}
P_{12}(\theta)
\stackrel{?}{=}
P_-(\theta)+P_+(\theta).
\]
Но опыт показывает другое. Двухщелевая картина содержит чередующиеся максимумы и минимумы, поэтому в общем случае
\[
\tag{4}
\boxed{
P_{12}(\theta)
\ne
P_-(\theta)+P_+(\theta)
}.
\]
Различие между правой и левой частями формулы (4) и составляет сущность интерференции. Если новая геометрия претендует на описание дифракции, она должна не просто воспроизвести известную формулу полос, а показать, из какого элемента оператора \(J\) появляется недостающее слагаемое.
В первой части щель не рассматривалась как устройство, физически делящее частицу. Она ограничивала множество допустимых одномерных продолжений движения, а различия длин этих продолжений становились различиями внутренней фазы. Для двух щелей этот принцип сохраняется: отдельная реализация остаётся одномерной, а каждый зарегистрированный объект остаётся целым. Однако множество допустимых продолжений теперь распадается на два пространственно разнесённых семейства.
Поэтому центральную цепочку второй части можно записать так:
\[
\tag{5}
\boxed{
\text{две области щели}
\ \longrightarrow\
\mathcal A_-+\mathcal A_+
\ \longrightarrow\
2\operatorname{Re}
\left(
\mathcal A_-\mathcal A_+^*
\right)
\ \longrightarrow\
\text{интерференционные полосы}
}.
\]
Как и в первой части, геометрическое сложение фаз необходимо отделять от закона регистрации
\[
\tag{6}
P\propto|\mathcal A|^2.
\]
Фазовые коэффициенты и их зависимость от \(b\) будут получены из геометрии. Квадратичное правило (6), а позднее и коэффициент потери когерентности, пока принимаются как дополнительные физические условия. Это разграничение позволит не выдавать интерпретацию модели за уже завершённую теорию измерения.
1. Что уже получено для одной щели
Пусть равномерно открытая щель шириной \(d\) занимает интервал
\[
\tag{7}
-\frac d2
\leq
\xi
\leq
\frac d2.
\]
В дальней зоне разность пути от точки \(\xi\) до направления наблюдения \(\theta\) равна
\[
\tag{8}
\Delta\ell_\xi
\simeq
\xi\sin\theta.
\]
Пространственный фазовый коэффициент движущегося оператора удобно обозначить через
\[
\tag{9}
\boxed{
q(\theta)
=
\frac{2\pi}{\lambda_J}\sin\theta
}.
\]
Тогда фазовая разность продолжения, проходящего через координату \(\xi\), равна
\[
\tag{10}
\Delta\phi_\xi
=
-q\xi.
\]
Интегрирование фаз по одной щели даёт амплитудный коэффициент
\[
\tag{11}
\mathcal A_0(\theta)
=
\em
\int_{-d/2}^{d/2}
e^{-iq\xi}\,d\xi
=
\em d\,
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}.
\]
После нормировки и применения формулы (6) получается однощелевая огибающая
\[
\tag{12}
\boxed{
\frac{P_0(\theta)}{P_0(0)}
=
\left[
\frac{
\sin
\left(
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
}{
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
}
\right]^2
}.
\]
Во второй части каждая из двух щелей будет создавать именно такой множитель. Новая картина возникнет из фазовых сдвигов, связанных не с шириной \(d\), а с расстоянием между центрами щелей.
2. Две щели как объединение двух интервалов
Обозначим через \(d\) ширину каждой щели, а через \(D\) — расстояние между их центрами. Начало координат расположим посередине между щелями. Тогда левая открытая область имеет вид
\[
\tag{13}
\Omega_-
=
\left[
-\frac D2-\frac d2,\,
-\frac D2+\frac d2
\right],
\]
а правая — вид
\[
\tag{14}
\Omega_+
=
\left[
\frac D2-\frac d2,\,
\frac D2+\frac d2
\right].
\]
Полная область, через которую установка допускает продолжение движения, является объединением двух несвязанных интервалов:
\[
\tag{15}
\boxed{
\Omega
=
\Omega_-\cup\Omega_+
}.
\]
Формула (15) является главным геометрическим отличием от одной щели. Оператор \(J\) не раскладывается на две половины и не теряет единичной нормы. На две части распадается только внешняя область допустимых координат \(\xi\), по которой выполняется фазовое суммирование.
Каждой точке обеих щелей соответствует своё допустимое одномерное продолжение
\[
\tag{16}
\ell_\xi:
\qquad
\text{источник}
\longrightarrow
\xi
\longrightarrow
\text{точка экрана},
\qquad
\xi\in\Omega.
\]
Одномерность отдельного движения поэтому не означает единственности геометрически допустимого продолжения. Она означает, что в каждом отдельном событии реализуется не разветвлённая частица, а одна целостная связь между источником и точкой регистрации.
3. Пространственная фаза через показатель внешнего движения b
Из определения показателя внешнего движения
\[
\tag{17}
b
=
\frac{\arcsin\beta}{\pi}
\]
следует
\[
\tag{18}
\sin(\pi b)=\beta,
\qquad
\cos(\pi b)=\frac{1}{\gamma}.
\]
Поэтому
\[
\tag{19}
\gamma\beta
=
\tan(\pi b).
\]
Используя формулу (2), пространственный фазовый коэффициент (9) можно полностью выразить через \(b\):
\[
\tag{20}
\boxed{
q(\theta)
=
\frac{2\pi}{\lambda_0}
\tan(\pi b)\sin\theta
}.
\]
Таким образом, изменение скорости не вводится в двухщелевую формулу как внешняя поправка. Оно уже содержится в фазовом шаге между соседними продолжениями. Чем больше \(b\), тем быстрее изменяется фаза при переходе вдоль плоскости щелей и тем плотнее располагаются полосы на экране.
4. Амплитуда левой щели
Фазочувствительный вклад левой щели равен интегралу по области \(\Omega_-\):
\[
\tag{21}
\mathcal A_-(\theta)
=
\em
\int_{-D/2-d/2}^{-D/2+d/2}
e^{-iq\xi}\,d\xi.
\]
Чтобы отделить внутреннюю структуру щели от положения её центра, введём локальную координату
\[
\tag{22}
\xi
=
-\frac D2+\eta,
\qquad
-\frac d2
\leq
\eta
\leq
\frac d2.
\]
Тогда экспонента раскладывается на два множителя:
\[
\tag{23}
e^{-iq\xi}
=
e^{\,iqD/2}e^{-iq\eta}.
\]
Первый множитель одинаков для всей левой щели и определяется положением её центра. Второй меняется по ширине щели и создаёт уже знакомую однощелевую огибающую. После интегрирования получаем
\[
\tag{24}
\boxed{
\mathcal A_-(\theta)
=
\em d\,
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}
e^{\,iqD/2}
}.
\]
Следовательно, перенос щели из начала координат в точку \(-D/2\) не изменяет модуль её собственной амплитуды, но добавляет общий фазовый сдвиг \(+qD/2\).
5. Амплитуда правой щели
Аналогично вклад правой щели равен
\[
\tag{25}
\mathcal A_+(\theta)
=
\em
\int_{D/2-d/2}^{D/2+d/2}
e^{-iq\xi}\,d\xi.
\]
Положим
\[
\tag{26}
\xi
=
\frac D2+\eta,
\qquad
-\frac d2
\leq
\eta
\leq
\frac d2.
\]
Теперь
\[
\tag{27}
e^{-iq\xi}
=
e^{-iqD/2}e^{-iq\eta},
\]
и поэтому
\[
\tag{28}
\boxed{
\mathcal A_+(\theta)
=
\em d\,
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}
e^{-iqD/2}
}.
\]
Обе щели дают одинаковую функцию от ширины \(d\), но противоположные фазовые сдвиги от положения их центров. Именно эта пара множителей \(e^{\,iqD/2}\) и \(e^{-iqD/2}\) содержит будущую интерференционную структуру.
6. Геометрическая сумма двух фазовых семейств
Когда обе щели открыты и продолжения через них остаются неразличимыми, интеграл по объединённой области (15) равен сумме интегралов:
\[
\tag{29}
\begin{aligned}
\mathcal A_{12}(\theta)
&=
\em
\int_{\Omega_-\cup\Omega_+}
e^{-iq\xi}\,d\xi
\\[1mm]
&=
\mathcal A_-(\theta)
+
\mathcal A_+(\theta).
\end{aligned}
\]
Подставим формулы (24) и (28):
\[
\tag{30}
\mathcal A_{12}
=
\em d\,
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}
\left(
e^{\,iqD/2}
+
e^{-iqD/2}
\right).
\]
Сумма противоположных комплексных фаз равна удвоенному косинусу:
\[
\tag{31}
e^{\,iqD/2}
+
e^{-iqD/2}
=
2\cos\left(\frac{qD}{2}\right).
\]
Поэтому полная амплитуда двух щелей принимает вид
\[
\tag{32}
\boxed{
\mathcal A_{12}(\theta)
=
2\em d\,
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}
\cos\left(\frac{qD}{2}\right)
}.
\]
Формула (32) наглядно разделяет два масштаба установки. Ширина каждой щели \(d\) определяет медленно меняющуюся функцию \(\operatorname{sinc}\), а расстояние между центрами \(D\) создаёт более частый косинусоидальный множитель.
7. Распределение регистраций для двух щелей
В центре картины \(q=0\), поэтому амплитуда равна
\[
\tag{33}
\mathcal A_{12}(0)
=
2\em d.
\]
Применяя квадратичное правило (6) и нормируя распределение на центральное значение, получаем главный наблюдаемый результат:
\[
\tag{34}
\boxed{
\frac{P_{12}(\theta)}{P_{12}(0)}
=
\left[
\frac{
\sin
\left(
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
}{
\dfrac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
}
\right]^2
\cos^2
\left(
\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
}.
\]
Первый множитель совпадает с результатом первой части:
\[
\tag{35}
E_d(\theta)
=
\operatorname{sinc}^2
\left(
\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
\right).
\]
Это общая однощелевая огибающая, внутри которой может находиться двухщелевая структура. Второй множитель
\[
\tag{36}
I_D(\theta)
=
\cos^2
\left(
\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
\]
является интерференцией между центрами двух щелей. Поэтому формулу (34) можно кратко записать как
\[
\tag{37}
\boxed{
\frac{P_{12}(\theta)}{P_{12}(0)}
=
\underbrace{E_d(\theta)}_{\text{огибающая одной щели}}
\,
\underbrace{I_D(\theta)}_{\text{взаимная фаза двух щелей}}
}.
\]
Одна щель уже формирует угловую область, в которой возможна заметная регистрация. Вторая щель не отменяет эту огибающую, а размечает её более узкими полосами взаимного усиления и подавления.
8. Центральная формула непосредственно через b
Подставим в формулу (34) геометрический период
\[
\tag{38}
\frac{1}{\lambda_J}
=
\frac{\tan(\pi b)}{\lambda_0}.
\]
Тогда всё распределение выражается через показатель внешнего движения оператора:
\[
\tag{39}
\boxed{
\begin{aligned}
\frac{P_{12}(\theta)}{P_{12}(0)}
&=
\left[
\frac{
\sin
\left(
\dfrac{\pi d}{\lambda_0}
\tan(\pi b)\sin\theta
\right)
}{
\dfrac{\pi d}{\lambda_0}
\tan(\pi b)\sin\theta
}
\right]^2
\\[1mm]
&\quad\times
\cos^2
\left(
\frac{\pi D}{\lambda_0}
\tan(\pi b)\sin\theta
\right).
\end{aligned}
}
\]
Формула (39) является главным геометрическим результатом второй части. В ней ширина и положение полос определяются не отдельно введённой волной, а пространственным проявлением внутренней периодичности движущегося \(J\). Параметры \(d\), \(D\) и \(\theta\) принадлежат внешней геометрии установки, а величина \(\lambda_J=\lambda_0\cot(\pi b)\) задаёт фазовый масштаб самого состояния.
9. Откуда возникает перекрёстный член
Чтобы увидеть отличие двух одновременно открытых щелей от двух отдельных опытов, раскроем квадрат суммы амплитуд:
\[
\tag{40}
P_{12}
\propto
\left|
\mathcal A_-+\mathcal A_+
\right|^2.
\]
Умножение на комплексно-сопряжённое выражение даёт
\[
\tag{41}
\begin{aligned}
\left|
\mathcal A_-+\mathcal A_+
\right|^2
&=
\left(
\mathcal A_-+\mathcal A_+
\right)
\left(
\mathcal A_-^*+\mathcal A_+^*
\right)
\\[1mm]
&=
|\mathcal A_-|^2
+
|\mathcal A_+|^2
+
\mathcal A_-\mathcal A_+^*
+
\mathcal A_-^*\mathcal A_+.
\end{aligned}
\]
Два последних слагаемых являются взаимно сопряжёнными, поэтому
\[
\tag{42}
\boxed{
P_{12}
=
P_-+P_+
+
2\operatorname{Re}
\left(
\mathcal A_-\mathcal A_+^*
\right)
}.
\]
Именно последнее слагаемое отсутствует в простой сумме \(P_-+P_+\). Подставляя фазовые множители из формул (24) и (28), получаем
\[
\tag{43}
\mathcal A_-\mathcal A_+^*
\propto
e^{\,iqD},
\]
а значит, перекрёстный член изменяется как
\[
\tag{44}
2\operatorname{Re}
\left(
\mathcal A_-\mathcal A_+^*
\right)
\propto
2\cos(qD).
\]
Следовательно, интерференция не является дополнительной силой между щелями и не требует физического дробления частицы. Она появляется алгебраически при квадратичной регистрации суммы двух сохраняющих взаимную фазу семейств.
10. Максимумы, минимумы и пропавшие порядки
Интерференционные максимумы возникают при
\[
\tag{45}
\frac{\pi D\sin\theta_m}{\lambda_J}
=
\pi m,
\qquad
m=0,\pm1,\pm2,\ldots
\]
или
\[
\tag{46}
\boxed{
D\sin\theta_m
=
m\lambda_J
}.
\]
Минимумы интерференционного множителя находятся между соседними максимумами:
\[
\tag{47}
\boxed{
D\sin\theta_m^{\min}
=
\left(
m+\frac12
\right)\lambda_J
}.
\]
Однощелевая огибающая обращается в ноль при
\[
\tag{48}
\boxed{
d\sin\theta_n
=
n\lambda_J,
\qquad
n=\pm1,\pm2,\ldots
}.
\]
Если максимум двухщелевой интерференции совпадает с нулём огибающей, он не наблюдается. Из формул (46) и (48) условие такого совпадения равно
\[
\tag{49}
\frac{m}{D}
=
\frac{n}{d},
\]
откуда
\[
\tag{50}
\boxed{
m
=
n\frac{D}{d}
}.
\]
Такие максимумы называют пропавшими порядками. Их отсутствие особенно хорошо показывает, что интерференционные полосы и однощелевая огибающая не являются двумя независимыми картинами: наблюдается их произведение.
11. Расстояние между полосами на экране
Пусть экран находится на расстоянии \(L\) от плоскости щелей. При малых углах
\[
\tag{51}
\sin\theta
\simeq
\theta
\simeq
\frac{y}{L}.
\]
Из формулы (46) положения интерференционных максимумов равны
\[
\tag{52}
y_m
\simeq
\frac{mL\lambda_J}{D}.
\]
Поэтому расстояние между соседними полосами составляет
\[
\tag{53}
\boxed{
\Delta y_{\mathrm{fr}}
\simeq
\frac{L\lambda_J}{D}
=
\frac{L\lambda_0}{D\gamma\beta}
=
\frac{L\lambda_0}{D}\cot(\pi b)
}.
\]
Ширина центральной однощелевой огибающей между первыми нулями \(n=-1\) и \(n=+1\) равна
\[
\tag{54}
\boxed{
\Delta y_{\mathrm{env}}
\simeq
\frac{2L\lambda_J}{d}
}.
\]
Отношение ширины центральной огибающей к расстоянию между полосами не зависит от скорости частицы:
\[
\tag{55}
\boxed{
\frac{\Delta y_{\mathrm{env}}}{\Delta y_{\mathrm{fr}}}
\simeq
\frac{2D}{d}
}.
\]
Следовательно, увеличение скорости сжимает всю картину как единое целое, но приблизительное число интерференционных промежутков внутри центральной огибающей определяется только отношением геометрических размеров \(D/d\).
12. Как b и скорость изменяют картину
Для массивной частицы
\[
\tag{56}
\lambda_J
=
\lambda_0
\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta}.
\]
При увеличении скорости растёт \(\gamma\beta=\tan(\pi b)\), поэтому одновременно уменьшаются:
1. пространственный период \(\lambda_J\);
2. расстояние между соседними полосами \(\Delta y_{\mathrm{fr}}\);
3. ширина однощелевой огибающей \(\Delta y_{\mathrm{env}}\);
4. углы всех максимумов и минимумов одного и того же порядка.
2. расстояние между соседними полосами \(\Delta y_{\mathrm{fr}}\);
3. ширина однощелевой огибающей \(\Delta y_{\mathrm{env}}\);
4. углы всех максимумов и минимумов одного и того же порядка.
В нерелятивистском пределе
\[
\tag{57}
\beta\ll1,
\qquad
\gamma\simeq1,
\]
поэтому
\[
\tag{58}
\lambda_J
\simeq
\frac{\lambda_0}{\beta},
\qquad
\Delta y_{\mathrm{fr}}
\simeq
\frac{L\lambda_0}{D\beta}.
\]
Небольшое увеличение скорости приблизительно обратно пропорционально уменьшает масштаб картины. В релятивистской области дополнительное сжатие создаётся ростом \(\gamma\). Геометрически это означает, что с ростом \(b\) фаза быстрее изменяется при переходе от одной допустимой координаты щели к другой.
13. Почему P12 не равно P- + P+
Распределения \(P_-\) и \(P_+\) получаются в двух разных конфигурациях установки: в первом случае правая щель закрыта, во втором — закрыта левая. Их сумма описывает статистическое смешение результатов двух отдельных опытов.
Распределение \(P_{12}\) относится к третьей конфигурации, в которой обе щели открыты одновременно. В этой конфигурации фазовые коэффициенты складываются до применения квадратичного правила:
\[
\tag{59}
\boxed{
\begin{aligned}
\text{две отдельные конфигурации:}\quad&
P_-+P_+,
\\[1mm]
\text{одна конфигурация с двумя щелями:}\quad&
\left|
\mathcal A_-+\mathcal A_+
\right|^2.
\end{aligned}
}
\]
Эти операции не перестановочны. Сложение квадратов теряет взаимную фазу, тогда как квадрат суммы сохраняет её:
\[
\tag{60}
|\mathcal A_-|^2+|\mathcal A_+|^2
\ne
\left|
\mathcal A_-+\mathcal A_+
\right|^2.
\]
Поэтому открытие второй щели не просто добавляет новые точки прохождения. Оно создаёт возможность сравнения фаз двух пространственно разнесённых семейств. Именно эта возможность меняет всё распределение, включая области, в которых вероятность регистрации уменьшается.
14. Что происходит при закрытии одной щели
Если закрыть правую щель, область \(\Omega_+\) исключается из интегрирования:
\[
\tag{61}
\Omega
\longrightarrow
\Omega_-,
\qquad
\mathcal A_{12}
\longrightarrow
\mathcal A_-.
\]
Тогда в формуле (42) исчезают как \(P_+\), так и перекрёстный член:
\[
\tag{62}
P_{12}
\longrightarrow
P_-.
\]
Фазовый множитель \(e^{\,iqD/2}\) в амплитуде одной оставшейся щели имеет единичный модуль, поэтому сам по себе не создаёт полос. После взятия квадрата остаётся только однощелевая огибающая:
\[
\tag{63}
\left|
\mathcal A_-
\right|^2
\propto
\left[
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}
\right]^2.
\]
То же самое происходит при закрытии левой щели. Таким образом, интерференционный множитель существует только тогда, когда одновременно присутствуют два фазово связанных вклада.
15. Отдельные регистрации и накопление картины
Формула (34) описывает не распределение частей одного объекта по экрану, а статистику большого числа целостных событий. При каждом срабатывании детектора фиксируется одна локальная точка
\[
\tag{64}
\mathcal R_n
=
\left(
t_n,y_n
\right),
\]
где \(t_n\) — момент, а \(y_n\) — координата \(n\)-й регистрации. Каждая такая регистрация соответствует целому состоянию с единичной нормой:
\[
\tag{65}
J_n\overline J_n
=
1.
\]
На первых событиях закономерность почти не видна. По мере роста их числа эмпирическая плотность
\[
\tag{66}
\rho_N(y)
=
\frac{1}{N}
\sum_{n=1}^{N}
\delta
\left(
y-y_n
\right)
\]
приближается к распределению, определяемому формулой (34). Локальность отдельной точки и протяжённость итоговой картины поэтому относятся к разным уровням описания: первая характеризует единичное взаимодействие с детектором, вторая — частоту таких взаимодействий в разных координатах.
В предлагаемой интерпретации до регистрации складываются не физические части электрона, а фазовые коэффициенты допустимых продолжений. На экране же регистрируется не коэффициент и не идемпотентная компонента, а целый оператор \(J\).
16. Информация о пути и потеря взаимной фазы
До сих пор предполагалось, что продолжения через левую и правую щели неразличимы. Если установка связывает их с различными состояниями измерительного устройства или окружающей среды, фазовая связь ослабляется. Феноменологически это можно описать комплексным коэффициентом взаимной когерентности \(\mu\):
\[
\tag{67}
\boxed{
P
=
P_-+P_+
+
2\operatorname{Re}
\left(
\mu
\mathcal A_-\mathcal A_+^*
\right),
\qquad
0\leq|\mu|\leq1
}.
\]
Значение \(|\mu|=1\) соответствует полной сохранности взаимной фазы:
\[
\tag{68}
|\mu|=1
\quad\Longrightarrow\quad
\text{полная интерференционная картина}.
\]
Промежуточные значения уменьшают контраст полос:
\[
\tag{69}
0 < |\mu| < 1
\quad\Longrightarrow\quad
\text{частично размытая интерференция}.
\]
Если фазовая связь полностью потеряна, перекрёстный член исчезает:
\[
\tag{70}
\boxed{
|\mu|=0
\quad\Longrightarrow\quad
P=P_-+P_+
}.
\]
Важно, что исчезновение полос нельзя без дополнительного анализа сводить только к механическому толчку частицы. Существенно то, что два семейства продолжений становятся физически различимыми благодаря их корреляции с разными состояниями детектора.
Если обозначить эти состояния через \(|D_-\rangle\) и \(|D_+\rangle\), то коэффициент когерентности стандартно выражается их перекрытием:
\[
\tag{71}
\mu
=
\langle D_+|D_-\rangle.
\]
При одинаковых состояниях детектора информация о щели отсутствует и \(|\mu|=1\). При ортогональных состояниях щель в принципе может быть определена и \(\mu=0\). Формулы (67) и (71) здесь используются как общая теория когерентности. Их происхождение непосредственно из взаимодействия оператора \(J\) с оператором детектора ещё должно быть получено в рамках модели.
17. Сопоставление с управляемым опытом Баха
Особенно наглядное сопоставление даёт управляемый двухщелевой опыт Роджера Баха, Дамиана Поупа, Си-Хванга Лиу и Германа Бателаана, опубликованный в 2013 году [1].
Перед настоящей двойной щелью авторы установили подвижную маску. Её положение позволяло обратимо открыть только первую щель, только вторую щель, обе щели или перекрыть прохождение.
В эксперименте использовались электроны с энергией \(600\ \text{эВ}\), для которых длина волны де Бройля составляла около \(50\ \text{пм}\). Каждая щель имела ширину \(62\ \text{нм}\), а расстояние между их центрами составляло \(272\ \text{нм}\).
| Положение маски | Математическая запись | Наблюдаемая картина | Геометрический смысл |
|---|---|---|---|
| Открыта только щель 1 | \(P_-=|\mathcal A_-|^2\) | Однощелевая дифракция | Один интервал допустимых продолжений |
| Открыта только щель 2 | \(P_+=|\mathcal A_+|^2\) | Та же однощелевая дифракция | Второй интервал без взаимного члена |
| Открыты обе щели | \(P_{12}=|\mathcal A_-+\mathcal A_+|^2\) | Интерференционные полосы внутри огибающей | Два фазово связанных семейства |
При пониженной интенсивности регистрации происходили примерно с частотой \(1\ \text{с}^{-1}\). Авторы показали последовательное накопление картины для 2, 7, 209, 1004 и 6235 электронов. В начале видны отдельные, кажущиеся случайными точки; после накопления большого числа событий проявляются устойчивые полосы.
Этот опыт почти буквально реализует различие между \(P_-\), \(P_+\) и \(P_{12}\), выраженное формулами (42) и (59). Он подтверждает два наблюдаемых факта, которые должна учитывать интерпретация: каждая регистрация является локальной, но распределение при двух открытых щелях не равно сумме двух отдельно измеренных однощелевых распределений.
Эксперименты с детекторами пути дополнительно показывают, что усиление корреляции между выбранным путём и детектором уменьшает видимость интерференции. Это соответствует переходу от \(|\mu|\simeq1\) к меньшим значениям в формуле (67). Однако такие опыты подтверждают сам закон потери когерентности, а не единственность предлагаемой здесь геометрической интерпретации.
18. Что выведено геометрически, а что принято дополнительно
Результаты второй части необходимо разделить на несколько уровней.
Первый уровень — геометрия областей и фаз. Две щели представлены объединением двух интервалов \(\Omega_-\cup\Omega_+\). Пространственная фаза каждого продолжения определяется коэффициентом
\[
\tag{72}
q(\theta)
=
\frac{2\pi}{\lambda_0}
\tan(\pi b)\sin\theta.
\]
Интегрирование по этим интервалам приводит к сумме амплитуд (32), содержащей однощелевую функцию и взаимный косинусоидальный множитель.
Второй уровень — принятое правило регистрации. Переход от суммы фазовых коэффициентов к числу событий выполняется по закону \(P\propto|\mathcal A|^2\). Именно квадрат модуля создаёт перекрёстный член. В настоящей работе это правило не выводится из нормы \(J\).
Третий уровень — описание потери когерентности. Коэффициент \(\mu\) позволяет правильно описать постепенное исчезновение полос при появлении информации о пути. Но взаимодействие частицы, щели и детектора пока не построено непосредственно как преобразование их операторов \(J\).
Четвёртый уровень — интерпретация. Предлагается считать, что щели разделяют не материальную частицу, а множество допустимых продолжений её фазы; отдельное движение остаётся одномерным, а отдельная регистрация — целостной. Эта интерпретация согласуется с наблюдаемой картиной, но сами эксперименты не выделяют её однозначно среди других интерпретаций квантовой механики.
Поэтому главный результат статьи состоит не в утверждении о заранее выбранной щели, а в более осторожном положении:
\[
\tag{73}
\boxed{
\text{одномерность отдельной реализации
не означает единственности допустимого продолжения}
}.
\]
19. Выводы
В первой части одна щель ограничила непрерывное семейство допустимых продолжений и создала дифракционную огибающую. Во второй части область интегрирования распалась на два раздельных интервала. Каждый интервал сохранил ту же однощелевую функцию, но положение его центра добавило противоположный фазовый множитель.
Сложение этих множителей привело к амплитуде
\[
\tag{74}
\mathcal A_{12}(\theta)
=
2\em d\,
\frac{\sin(qd/2)}{qd/2}
\cos\left(\frac{qD}{2}\right),
\]
а квадратичное правило регистрации — к произведению однощелевой огибающей и двухщелевого интерференционного множителя:
\[
\tag{75}
\boxed{
\frac{P_{12}(\theta)}{P_{12}(0)}
=
\operatorname{sinc}^2
\left(
\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
\cos^2
\left(
\frac{\pi D\sin\theta}{\lambda_J}
\right)
}.
\]
Поскольку \(\lambda_J=\lambda_0\cot(\pi b)\), положение всех полос непосредственно связано с показателем внешнего движения. Расстояние между ними равно
\[
\tag{76}
\boxed{
\Delta y_{\mathrm{fr}}
\simeq
\frac{L\lambda_0}{D}\cot(\pi b)
}.
\]
При совместном открытии щелей возникает перекрёстный член \(2\operatorname{Re}(\mathcal A_-\mathcal A_+^*)\). При закрытии одной щели он исчезает вместе с соответствующей амплитудой. При получении информации о пути он подавляется потерей взаимной когерентности, даже если обе геометрические щели остаются открытыми.
В предлагаемой картине частица не обязана физически делиться и одновременно двигаться по двум пространственным траекториям. Две щели задают два семейства допустимых одномерных продолжений одного состояния. Разность их фаз определяет статистическое распределение, тогда как каждое отдельное взаимодействие с экраном остаётся локальной регистрацией целого \(J\).
Итоговую мысль двух частей можно выразить так: одна щель обнаруживает пространственную фазу каждого семейства продолжений; две щели обнаруживают взаимную фазу между семействами.
Частица остаётся целой, но распределение мест её регистрации хранит геометрию обеих альтернатив.
Используемые материалы
- R. Bach, D. Pope, S.-H. Liou, H. Batelaan. Controlled double-slit electron diffraction, New Journal of Physics 15, 033018 (2013).
- E. Buks, R. Schuster, M. Heiblum, D. Mahalu, V. Umansky. Dephasing in electron interference by a which-path detector, Nature 391, 871–874 (1998).