\[ \newcommand{\j}{\jmath} \newcommand{\ep}{\mathfrak{e}} \newcommand{\em}{\bar{\mathfrak{e}}} \newcommand{\Sin}{\boldsymbol{\operatorname{sin}}} \newcommand{\Cos}{\boldsymbol{\operatorname{cos}}} \]

\[\tag{1} \boxed{ \text{замкнутое состояние} \;\longrightarrow\; \omega_\gamma \;\longrightarrow\; r_\gamma=\frac{c}{\omega_\gamma} \;\longrightarrow\; \text{незамыкание и градиент} \;\longrightarrow\; \text{свободная волна} } \] \[\tag{2} \boxed{ J(a,b)=\j^a(-\j)^b = \ep e^{i\pi b}+\em e^{i\pi a} } \] \[\tag{3} \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0, \qquad \ep+\em=1, \qquad \j=\ep-\em. \] \[\tag{4} a=\varpi t, \qquad \pi\varpi=\omega_e, \qquad b=\frac{\arcsin\beta}{\pi}, \qquad \beta=\frac{v}{c}. \] \[\tag{5} J\overline J=1, \qquad E_{\mathrm{ext}}+E_{\mathrm{int}}=\mathrm{const}. \] \[\tag{6} \boxed{r_e\omega_e=c}. \] \[\tag{7} \boxed{\lambda_e=2\pi r_e}. \] \[\tag{8} \oint_\Gamma k\,ds=2\pi n, \qquad n\in\mathbb Z. \] \[\tag{9} (\varphi,z) \;\longrightarrow\; (\varphi+2\pi,z). \] \[\tag{10} \Delta U = U(R_+)-U(R_-) \simeq \frac{dU}{dR}\,\Delta R, \qquad \Delta R=R_+-R_-. \] \[\tag{11} \oint_\Gamma dU=0. \] \[\tag{12} \boxed{ E_\gamma=E_i-E_f=\hbar\omega_\gamma }. \] \[\tag{13} \boxed{ \omega_\gamma=\frac{E_i-E_f}{\hbar} }. \] \[\tag{14} r_e\omega_e=c, \qquad r_\gamma\omega_\gamma=c. \] \[\tag{15} \boxed{ r_\gamma = \frac{c}{\omega_\gamma} = r_e\frac{\omega_e}{\omega_\gamma} }. \] \[\tag{16} \boxed{ \frac{r_\gamma}{r_e} = \frac{\omega_e}{\omega_\gamma} }. \] \[\tag{17} \lambda_\gamma = 2\pi r_\gamma = \frac{2\pi c}{\omega_\gamma}. \] \[\tag{18} \boxed{ r_\gamma = \frac{\lambda_\gamma}{2\pi} = \overline\lambda_\gamma }. \] \[\tag{19} \boxed{ \frac{r_\gamma}{r_e} = \frac{\lambda_\gamma}{\lambda_e} = \frac{\omega_e}{\omega_\gamma} }. \] \[\tag{20} d_e=r_e. \] \[\tag{21} d_\gamma = d_e\frac{\omega_e}{\omega_\gamma} = r_\gamma. \] \[\tag{22} \boxed{ d_\gamma=r_\gamma, \qquad 2\pi d_\gamma=\lambda_\gamma }. \] \[\tag{23} \boxed{ (\varphi,z) \;\longrightarrow\; (\varphi+2\pi,z+\lambda_\gamma) }. \] \[\tag{24} \boxed{ \Delta\varphi=2\pi \quad\Longleftrightarrow\quad \Delta z=\lambda_\gamma }. \] \[\tag{25} \Psi(z,t) = A e^{i(k_\gamma z-\omega_\gamma t)}, \qquad k_\gamma = \frac{2\pi}{\lambda_\gamma} = \frac{\omega_\gamma}{c}. \] \[\tag{26} \Psi(z+\lambda_\gamma,t)=\Psi(z,t). \] \[\tag{27} \frac{\partial U}{\partial z} = \frac{\partial U}{\partial\varphi} \frac{\partial\varphi}{\partial z}, \qquad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=k_\gamma. \] \[\tag{28} \boxed{ F_z=-\frac{\partial U}{\partial z} }. \] \[\tag{29} \int F_z\,dz=E_\gamma. \] \[\tag{30} p_\gamma = \int F_z\,dt = \frac{1}{c}\int F_z\,dz. \] \[\tag{31} \boxed{ p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c} = \frac{\hbar\omega_\gamma}{c} = \hbar k_\gamma }. \] \[\tag{32} \overline F_z = \frac{E_\gamma}{\lambda_\gamma}, \qquad T_\gamma = \frac{\lambda_\gamma}{c} = \frac{2\pi}{\omega_\gamma}. \] \[\tag{33} \overline F_zT_\gamma = \frac{E_\gamma}{\lambda_\gamma} \frac{\lambda_\gamma}{c} = \frac{E_\gamma}{c}. \] \[\tag{34} r_\gamma = \frac{c}{\omega_\gamma} = \frac{\hbar}{p_\gamma}. \] \[\tag{35} \boxed{ r_\gamma = \overline\lambda_{\mathrm{dB},\gamma} = \frac{\hbar}{p_\gamma} }. \] \[\tag{36} \boxed{ 2\pi r_\gamma = \frac{h}{p_\gamma} = \lambda_{\mathrm{dB},\gamma} = \lambda_\gamma }. \] \[\tag{37} \boxed{ r=\frac{\hbar}{p}, \qquad 2\pi r=\frac{h}{p} }. \] \[\tag{38} \Psi(z,t) = A\!\left(t-\frac{z}{c}\right) e^{i(k_\gamma z-\omega_\gamma t)}. \] \[\tag{39} \boxed{ L_{\mathrm{packet}}\sim c\Delta t }. \] \[\tag{40} \boxed{ r_\gamma=\frac{c}{\omega_\gamma}, \qquad \lambda_\gamma=2\pi r_\gamma, \qquad L_{\mathrm{packet}}\sim c\Delta t }. \] \[\tag{41} \Delta\omega\,\Delta t\gtrsim 1. \] \[\tag{42} \frac{\partial^2\Psi}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2\Psi}{\partial z^2} =0. \] \[\tag{43} \boxed{ \begin{aligned} E_\gamma&=E_i-E_f=\hbar\omega_\gamma, \\ r_\gamma&=\frac{c}{\omega_\gamma} =r_e\frac{\omega_e}{\omega_\gamma}, \\ \lambda_\gamma&=2\pi r_\gamma, \\ d_\gamma&=r_\gamma, \qquad 2\pi d_\gamma=\lambda_\gamma, \\ (\varphi,z)&\longrightarrow (\varphi+2\pi,z+\lambda_\gamma), \\ F_z&=-\frac{\partial U}{\partial z}, \qquad p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c}=\hbar k_\gamma. \end{aligned} } \] \[ E_\gamma=\Delta E=\hbar\omega_\gamma. \] \[ r_\gamma=\frac{c}{\omega_\gamma}, \qquad r_\gamma\omega_\gamma=c. \] \[ p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c} =\frac{\hbar\omega_\gamma}{c} =\frac{\hbar}{r_\gamma}. \] \[ \lambda_\gamma=2\pi r_\gamma =\frac{h}{p_\gamma}, \]

Почему локальный закон передачи приводит к волновому уравнению

Рассмотрим нормосохраняющую фазовую моду полного состояния. Если невозмущённое состояние удовлетворяет условию \(J_0\overline J_0=1\), то такую моду можно представить в виде

\[\tag{A1} J(z,t)=J_0(z)e^{i\psi(z,t)}. \]

Множитель \(e^{i\psi}\) изменяет фазу, но не модуль состояния:

\[ J\overline J = J_0\overline J_0 e^{i\psi}e^{-i\psi} =1. \]

Введём две локальные величины, имеющие размерность обратной длины:

\[\tag{A2} q=\frac{1}{c}\frac{\partial\psi}{\partial t}, \qquad p=\frac{\partial\psi}{\partial z}. \]

Поскольку \(p\) и \(q\) являются производными одной фазовой функции, совпадение смешанных производных автоматически даёт

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = c\frac{\partial q}{\partial z}. \]

Для описания свободного распространения введём дополнительный локальный закон модели: временное изменение величины \(q\) определяется пространственным изменением \(p\) с той же скоростью \(c\):

\[\tag{A3} \frac{\partial p}{\partial t} = c\frac{\partial q}{\partial z}, \qquad \frac{\partial q}{\partial t} = c\frac{\partial p}{\partial z}. \]

Система (A3) обладает локальным законом сохранения:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{p^2+q^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( -cpq \right) =0. \]

Следовательно, величина \((p^2+q^2)/2\) не создаётся и не исчезает между соседними точками, а её изменение внутри участка определяется потоком \(-cpq\) через границы.

Система естественно раскладывается на две противоположно распространяющиеся фазовые компоненты:

\[ u_+=p+q, \qquad u_-=p-q, \] \[ \frac{\partial u_+}{\partial t} = c\frac{\partial u_+}{\partial z}, \qquad \frac{\partial u_-}{\partial t} = -c\frac{\partial u_-}{\partial z}. \]

Это показывает, что система (A3) описывает две волновые ветви, распространяющиеся в противоположных направлениях со скоростью \(c\).

Подстановка определений (A2) во второе уравнение системы (A3) даёт

\[\tag{A4} \frac{1}{c} \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = c\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}, \qquad \boxed{ \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} - c^2\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} =0 }. \]

Таким образом, волновое уравнение не вводится отдельно: оно является следствием фазового представления и локальной системы передачи (A3). Однако второе уравнение этой системы пока остаётся дополнительным динамическим законом. Для полного геометрического вывода необходимо показать, почему двухветвевая структура \(J\) приводит именно к симметричной передаче изменений со скоростями \(+c\) и \(-c\).