\[ \newcommand{\j}{\jmath} \newcommand{\ep}{\mathfrak{e}} \newcommand{\em}{\bar{\mathfrak{e}}} \newcommand{\prp}{\mathfrak{p}} \newcommand{\prm}{\bar{\mathfrak{p}}} \newcommand{\Sin}{\boldsymbol{\operatorname{sin}}} \newcommand{\Cos}{\boldsymbol{\operatorname{cos}}} \]

\[ \tag{1} 1=\sum_i\ep_i. \] \[ \tag{2} \ep_i^2=\ep_i, \qquad \ep_i\ep_j=0\quad(i\ne j). \] \[ \tag{3} X_i=\ep_iX. \] \[ \tag{4} X=\left(\sum_i\ep_i\right)X =\sum_iX_i. \] \[ \tag{5} X\longrightarrow\{X_1,X_2,\ldots,X_n\}. \] \[ \tag{6} \{X_1,X_2,\ldots,X_n\}\longrightarrow X. \] \[ \tag{7} \boxed{ \text{целое} \xrightarrow{\text{анализ}} \text{части и уровни} \xrightarrow{\text{синтез}} \text{структурно понятое целое} }. \] \[ \tag{8} \ep_i^{(r)}= \sum_{k\in C(i)}\ep_{ik}^{(r+1)}, \] \[ \tag{9} \ep_i^{(r)}\ep_{ik}^{(r+1)} =\ep_{ik}^{(r+1)}. \] \[ \tag{10} \ep_j^{(r)}\ep_{ik}^{(r+1)}=0, \qquad j\ne i. \] \[ \tag{11} 1 \longrightarrow \{\ep_i^{(1)}\} \longrightarrow \{\ep_{ik}^{(2)}\} \longrightarrow \{\ep_{ikl}^{(3)}\} \longrightarrow\cdots. \] \[ \tag{12} \sum_{\alpha\in L_r}\ep_{\alpha}^{(r)}=1, \] \[ \tag{13} D_r:\mathcal H_r\longrightarrow\mathcal H_{r+1}. \] \[ \tag{14} S_r=D_r^{\dagger}. \] \[ \tag{15} S_rD_r=1_{\mathcal H_r}. \] \[ \tag{16} D_rS_r=P_r, \] \[ \tag{17} T_{ij}^{(r)} =\ep_i^{(r)}A\ep_j^{(r)}. \] \[ \tag{18} T_{ii}^{(r)} =\ep_i^{(r)}A\ep_i^{(r)}. \] \[ \tag{19} T_{ij}^{(r)} =\ep_i^{(r)}A\ep_j^{(r)} \] \[ \tag{20} \ep_i\ep_j=0, \qquad \ep_iA\ep_j\ne0. \] \[ \tag{21} A= \left(\sum_i\ep_i\right) A \left(\sum_j\ep_j\right) =\sum_{i,j}\ep_iA\ep_j. \] \[ \tag{22} \boxed{ A= \sum_i\ep_iA\ep_i + \sum_{i\ne j}\ep_iA\ep_j }. \] \[ \tag{23} H_r^{\mathrm{eff}} =S_rH_{r+1}D_r. \] \[ \tag{24} H_r^{\mathrm{eff}}=H_r. \] \[ \tag{25} \boxed{ \Omega_r =S_rH_{r+1}D_r-H_r }. \] \[ \tag{26} P_{\mathrm{dark}}\propto \left\|\Omega_r|\psi\rangle\right\|^2. \] \[ \tag{27} 1=\ep+\em, \qquad \ep^2=\ep, \qquad \em^2=\em, \qquad \ep\em=0. \] \[ \tag{28} \{\ep,i\ep,\em,i\em\}. \] \[ \tag{29} J(a,b)=\j^a(-\j)^b, \] \[ \tag{30} \j^a=\ep+\em e^{i\pi a}. \] \[ \tag{31} J_{\mathrm{full}} =J(a,b)\,\j_{\mathrm{new}}^{\,x}. \] \[ \tag{32} P_H=|H\rangle\langle H|, \qquad P_V=|V\rangle\langle V|. \] \[ \tag{33} P_H^2=P_H, \qquad P_V^2=P_V, \qquad P_HP_V=0, \qquad P_H+P_V=1. \]

• несколько последовательно вложенных уровней;
• управляемую горизонтальную связь на выбранной глубине;
• обратный синтез всех дочерних ветвей;
• сравнение плоской и иерархической реализации при одинаковом суммарном параметре;
• измерение возможного дефекта \(\Omega_r\).

• опорное плечо \(R\), сохраняющее исходное состояние;
• исследуемое плечо \(Q\), содержащее иерархическую сеть.

\[ \tag{34} |s\rangle= \frac{|1\rangle+|2\rangle}{\sqrt2}, \qquad |a\rangle= \frac{|1\rangle-|2\rangle}{\sqrt2}. \] \[ \tag{35} H(\theta)= \cos\theta\,(\ep_1+\ep_2) +\sin\theta\,(T_{21}-T_{12}), \] \[ \tag{36} H(\theta)|1\rangle =\cos\theta|1\rangle +\sin\theta|2\rangle, \] \[ \tag{37} H(\theta)|2\rangle =-\sin\theta|1\rangle +\cos\theta|2\rangle. \] \[ \tag{38} H(\theta)|s\rangle =\cos\theta|s\rangle -\sin\theta|a\rangle. \] \[ \tag{39} P_{s}(\theta)=\cos^2\theta, \qquad P_{a}(\theta)=\sin^2\theta, \] \[ \tag{40} P_s+P_a=1. \] \[ \tag{41} A_N=\prod_{k=1}^{N}\cos\theta_k. \] \[ \tag{42} \boxed{ P_N=\prod_{k=1}^{N}\cos^2\theta_k }. \] \[ \tag{43} \theta_{\Sigma}=\sum_{k=1}^{N}\theta_k. \] \[ \tag{44} P_{\mathrm{flat}} =\cos^2\left(\sum_{k=1}^{N}\theta_k\right). \] \[ \tag{45} P_N\ne P_{\mathrm{flat}}. \] \[ \tag{46} \theta_1=\theta_2=\frac{\pi}{4}. \] \[ \tag{47} P_2= \cos^2\frac{\pi}{4} \cos^2\frac{\pi}{4} =\frac14. \] \[ \tag{48} P_{\mathrm{flat}} =\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right) =0. \] \[ \tag{49} \boxed{ P_{\mathrm{hier}}=\frac14, \qquad P_{\mathrm{flat}}=0 }. \] \[ \tag{50} \theta_1+\theta_2=\frac{\pi}{2} \] \[ \tag{51} \theta_1=\lambda, \qquad \theta_2=\frac{\pi}{2}-\lambda. \] \[ \tag{52} P_{\mathrm{flat}}(\lambda)=0. \] \[ \tag{53} \boxed{ P_{\mathrm{hier}}(\lambda) =\cos^2\lambda\,\sin^2\lambda =\frac14\sin^2(2\lambda) }. \] \[ \tag{54} \j^a=\ep+\em e^{i\pi a}. \] \[ \tag{55} A(a)=\frac{1+e^{i\pi a}}{2} =e^{i\pi a/2}\cos\frac{\pi a}{2}. \] \[ \tag{56} P(a)=|A(a)|^2 =\cos^2\frac{\pi a}{2}. \] \[ \tag{57} \theta=\frac{\pi a}{2}. \] \[ \tag{58} A_N= \prod_{k=1}^{N} \frac{1+e^{i\pi a_k}}{2}, \] \[ \tag{59} P_N= \prod_{k=1}^{N} \cos^2\frac{\pi a_k}{2}. \] \[ \tag{60} \Phi_N=\frac{\pi}{2}\sum_{k=1}^{N}a_k. \]

• когерентное вертикальное расщепление;
• выборочный горизонтальный переход;
• обратный синтез;
• сохранение полной вероятности;
• мультипликативный закон (42);
• различие плоской и иерархической схем.

• какое воздействие играет роль \(D_r\);
• какие состояния являются дочерними ветвями;
• каким полем управляется горизонтальная связь \(H_{r+1}\);
• какое наблюдаемое соответствует синтезу \(S_r\);
• какое численное значение должен принимать \(\Omega_r\).

• вероятность возврата \(P_s\);
• вероятность ортогонального выхода \(P_a\);
• относительную фазу восстановленной ветви \(\Phi\);
• видность интерференции \(V\);
• суммарную нормированную вероятность;
• зависимость результата от порядка уровней.

\[ \tag{61} P_s+P_a=1 \] \[ \tag{62} \Delta_{12} =P(\theta_1,\theta_2) -P(\theta_1,0)P(0,\theta_2). \] \[ \tag{63} \Delta_{12}=0. \]

• потери каждого делителя и объединителя;
• конечное отношение подавления поляризационных каналов;
• длину когерентности источника;
• темновые отсчёты детекторов;
• паразитные геометрические фазы;
• зависимость эффективности детектора от выходного состояния;
• дрейф фазы основного интерферометра.

\[ \tag{64} P_s=P_s(\theta_1,\theta_2) \]

1. полное восстановление при отключённых горизонтальных переходах;
2. сохранение суммы вероятностей всех выходов;
3. выполнение закона \(P_N=\prod_k\cos^2\theta_k\);
4. различие с плоским законом при том же \(\theta_{\Sigma}\);
5. воспроизводимость результата при изменении глубины;
6. совпадение измеренного эффективного оператора с \(S_rH_{r+1}D_r\).

\[ \tag{65} P_N\ne\prod_k\cos^2\theta_k, \] \[ \tag{66} P_N= \prod_k\cos^2\theta_k +\Delta P_{\mathrm{cross}}, \] \[ \tag{67} J_{\mathrm{full}} =J(a,b)\,\j_{\mathrm{new}}^{\,x}. \] \[ \tag{68} J_{\mathrm{full}} =J(a,b)\,\j_{\mathrm{new}}^{\,x} +J_{\mathrm{cross}}. \] \[ \tag{69} P_N=\prod_{k=1}^{N}\cos^2\theta_k, \] \[ \tag{70} P_{\mathrm{flat}} =\cos^2\left(\sum_{k=1}^{N}\theta_k\right). \]