Powered by Yandex.Translation
2016-08-11
Персональный сайт Вячеслава Горчилина
Все статьи
Об относительности потенциальной энергии конденсатора
На стыке двух разделов физики — электростатики и электродинамики — существует ряд мало исследованных эффектов. Хотя на первый взгляд и являются совсем неочевидными, все они полностью объясняются классическими моделями. Один из таких эффектов мы рассмотрим в этой статье.
1. Некоторые свойства поверхности пластин конденсатора
А начнём мы со школьного опыта [1], в котором оператор с помощью электроскопа исследует плотность зарядов на совмещённой поверхности цилиндра с конусом. Сначала оператор снимает заряды с конуса, затем — с цилиндра. В результате оказывается, что на конусе их было больше (рисунок слева). Таким образом, распределение заряда по поверхности проводника зависит от её кривизны: там, где она больше, туда больше устремляется зарядов. Если теперь каким-то образом мгновенно разделить конус и цилиндр, то на конусе останется больше зарядов. Этот эффект мы и будем в дальнейшем рассматривать.
Интересный вопрос возникает с потенциалом. Из общей формулы следует, что для его получения нужно обойти всю длину: \[ \Delta\varphi = \int \limits _{L} {\vec E} \, d {\vec \ell} \qquad (1), \] но поскольку мы разделяем поверхность, то очевидно, что нужно вести речь о некоем местном или локальном потенциале. Это усложнит понимание эффекта, поэтому далее мы его не будем задействовать, а будем отражать все процессы через заряд и ёмкость. Опыты с заряженными поверхностями На рисунке справа изображены два шара с разными радиусами: 1-й — больше 2-го. Поверхность второго шара покрыта игольчатой сеткой, такой, что её острые концы направлены от центра, перпендикулярно поверхности. Сначала зарядим 1-й шар, затем замкнём переключатель SW. Исходя из первого опыта можно предположить, что несмотря на меньший диаметр, большая часть заряда перейдёт на второй шар. Соотношение перехода будет зависеть от архитектуры второго шара. Если теперь разомкнуть переключатель SW, то заряд на первом будет меньше, чем на втором.
Теперь мы подошли к самому интересному — выражению всего процесса через соотношение энергий. Для этого сначала найдём энергию затраченную на зарядку 1-го шара: \[ W_0 = { Q^2 \over 2\,C_1 } \qquad (2) \] Далее представим потенциальные энегии двух шаров после размыкания ключа: \[ W_1 = { Q_1^2 \over 2\,C_1 }, \, W_2 = { Q_2^2 \over 2\,C_2 } \qquad (3) \] где \(Q_1\) — заряд первого шара, \(Q_2\) — заряд второго шара. При соблюдении закона сохранения заряда ясно, что \(Q = Q_1 + Q_2\). Также нам понадобится коэффициент, который показывает соотношение перехода заряда: \[ g = { Q_2 \, C_1 \over Q_1 \, C_2 } \qquad (4) \] Когда поверхности двух конденсаторов одинаковые, этот коэффициент равен единице. Из школьного опыта [1] и интуитивно понятно, что для \(g \gt 1\) поверхность первого конденсатора должна быть гладкой, а второго наоборот — как можно более неровной, тогда заряды будут активнее стремится на неё перейти. По сути \(g\) — это коэффициент отношения геометрии поверхностей. Заметим, что аналитически вывести его довольно сложно, значительно проще — получить опытным путём. Этим же коэффициентом можно объяснить кажущееся несоответствие эффекта Бифелда–Брауна с классической моделью [2].
Исходя из этого подсчитаем затраченную и полученную энергии: \[ K = { W_1 + W_2 \over W_0 } = { 1 + g^2 {C_2 \over C_1} \over \left( 1 + g {C_2 \over C_1} \right)^2 } \qquad (5) \] Как видно, если \(g = 1\), то \(K\) всегда будет меньше единицы. Наша с вами задача — как можно больше увеличить \(g\) путём изменения архитектуры поверхности второго конденсатора. Если он будет намного больше единицы, то формула (4) сильно упростится: \[ K \approx {C_1 \over \ C_2}, \, g \gg 1 \qquad (6) \] Полученное приращение энергии и есть коэффициент увеличения КПД второго рода: \[ K = K_{\eta2} \] Далее мы покажем, как полученный результат применить на практике.
Часть 1  ::  Часть 2  ::  Часть 3

Горчилин Вячеслав, 2016 г.
* Перепечатка статьи возможна с условием установки ссылки на этот сайт и соблюдением авторских прав

« Назад
2009-2017 © Vyacheslav Gorchilin