Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2020-12-28
Все заметки/Радиант, второе магнитное поле
1.1. Электрическая составляющая
Поскольку ЛЭП мы рассматриваем в виде коаксиального (цилиндрического) конденсатора, то здесь мы можем применять известные классические формулы для его расчёта [1].
Рис.4. Коаксиальный конденсатор
Напряжённость электрического поля в коаксиальном конденсаторе находится по следующей формуле: \[E = {q \over 2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 r l} \qquad (1.8)\] где \(r\) — радиус, который меняется от значения радиуса проводника \(r_1\), до величины радиуса внешней обкладки конденсатора \(r_2\), а \(l\) — длина конденсатора.
На электрическом заряде остановимся чуть подробнее. Он находится так: \(q = C U\), где \(C\) — ёмкость конденсатора, а \(U\) — напряжение между его обкладками, которое, в общем комплексном виде, выглядит таким образом: \(U = U_0 \mathrm{e}^{i \omega t}\), где \(\omega = 2\pi f\), а \(U_0\) — амплитудное значение напряжения. В данной работе мы рассматриваем распространение в ЛЭП исключительно синусоидальных сигналов.
Напомним формулу ёмкости коаксиального конденсатора: \[C = {2 \pi \varepsilon \varepsilon_0 l \over \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.9)\] Теперь найдём производную по времени от (1.8), подставив туда эту ёмкость: \[{\partial E \over \partial t} = {1 \over r \ln(r_2 / r_1)} {\partial U \over \partial t} = {U_0 i \omega \mathrm{e}^{i \omega t} \over r \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.10)\] Отсюда мы можем найти электрическую составляющую потока энергии \[S_E = \varepsilon \varepsilon_0 E {\partial E \over \partial t} l = C U_0^2 {i \omega \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi r^2 \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.11)\] и электрическую составляющую мощности по (1.7): \[P_E = \int \limits_{s} S_E\, ds = C U_0^2 {i \omega \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi \ln(r_2 / r_1)} \int \limits_{r_1}^{r_2} {d(\pi r^2) \over r^2} = C U_0^2\, i \omega \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \qquad (1.12)\] Выделим только действительную часть этой мощности: \[P_E = - \omega C U_0^2 \sin(2 \omega t) \qquad (1.13)\] Эта часть мощности создаётся током смещения и должна переноситься E-волной, имеющей продольную составляющую [2].
1.2. Магнитная составляющая
Для поиска магнитной составляющей мощности мы пойдём таким же путём и сначала найдём напряжённость магнитного поля внутри коаксиального кабеля (рис. 4) по известной формуле [1]: \[H = {I \over {2 \pi r}} \qquad (1.14)\] где \(I\) — ток проводимости через центральную жилу, который в общем комплексном виде, выглядит таким образом: \(I = I_0 \mathrm{e}^{i \omega t}\), при этом \(I_0\) — амплитудное значение этого тока.
Напомним, как находится индуктивность коаксиального конденсатора: \[L = {\mu \mu_0 l \over 2 \pi} \ln(r_2 / r_1) \qquad (1.15)\] Теперь найдём производную по времени от (1.14), подставив туда эту индуктивность: \[{\partial H \over \partial t} = {1 \over \mu \mu_0} {L I_0 i \omega \mathrm{e}^{i \omega t} \over r l \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.16)\] Отсюда мы можем найти электрическую составляющую потока энергии \[S_H = \mu \mu_0 H {\partial H \over \partial t} l = \omega L I_0^2 {i \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi r^2 \ln(r_2 / r_1)} \qquad (1.17)\] и магнитную составляющую мощности по (1.7): \[P_H = \int \limits_{s} S_H\, ds = \omega L I_0^2 {i \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \over 2 \pi \ln(r_2 / r_1)} \int \limits_{r_1}^{r_2} {d(\pi r^2) \over r^2} \qquad (1.18)\] Окончательно: \[P_H = \omega L I_0^2\, i \mathrm{e}^{i 2 \omega t} \qquad (1.19)\] Здесь нам также необходимо выделить только действительную часть этой мощности: \[P_H = - \omega L I_0^2\sin(2 \omega t) \qquad (1.20)\] Очевидно, что в отличие от предыдущей электрической составляющей мощности, магнитная — создаётся за счёт электромагнитной волны с H-компонентой. В реальных РОЭС эта составляющая мощности относительно мала и во многих случаях может не учитываться.
 
1 2 3 4 5
Используемые материалы
  1. Бандурин, ТОЭ-3, лекции. 2.14.6. Поле цилиндрического конденсатора (коаксиального кабеля).
  2. Завьялов А.С. Исследование однопроводной линии передач. Методические указания. Томский государственный университет. Томск, 2000 г.