Научно-исследовательский сайт Вячеслава Горчилина
2020-12-30
Все заметки/Радиант, второе магнитное поле
3. Передаточная характеристика тока проводимости
По условиям задачи, длина линии много меньше длины волны, а потому параметры схемы считаем сосредоточенными. Поскольку схему передатчика, приёмника и ЛЭП можно привести к эквивалентной так, как это сделано на рисунке 5a.
Рис.5. Эквивалентная схема РОЭС (a) и расчётная схема (b)
На этой схеме \(L_1\) — индуктивность вторичной обмотки трансформатора TS1, которая и подключается к линии связи. Сама линия здесь представлена в виде цепочки: \(C_1, C_2, R_l, L_l\), где \(C_1 + C_2 = C_l\) — ёмкость ЛЭП, \(R_l\) — её активное сопротивление, \(L_l\) — её индуктивность. \(L_2\) — представляет собой индуктивность приёмной обмотки широкополосного трансформатора TS2, а \(R\) — его активную нагрузку.
Схему для расчёта по Кирхгофу удобней представить так, как она изображена на рисунке 5b. В этой схеме введены следующие замены: \(R_1 = i \omega L_1\), \(R_2 = 1 / (i \omega C_1) = 2 / (i \omega C)\), \(R_3 = i \omega L_l + R_l\), \(R_4 = i \omega L_2 + R\). Отсюда можно составить следующую систему уравнений: \[\begin{equation*} \begin{cases} U = I_1 R_1 + (I_1 - I_3) R_2 \\ 0 = I_3 R_3 + (I_3 - I_4) R_2 - (I_1 - I_3) R_2 \\ 0 = I_4 R_4 - (I_3 - I_4) R_2 \end{cases} \end{equation*} \qquad (3.1)\] Путём преобразований мы можем найти все токи в этой схеме: \[\begin{equation*} \begin{cases} I_1 = U {A \over B} \\ I_3 = I_1 {R_2 (R_2 + R_4) \over A} \\ I_4 = I_1 {R_2^2 \over B} \end{cases} \end{equation*} \qquad (3.2)\] Где: \[\begin{equation*} \begin{cases} A = R_3 (R_2 + R_4) + R_2 (2 R_4 + R_2) \\ B = A (R_1 + R_2) - R_2^2 (R_2 + R_4) \end{cases} \end{equation*} \qquad (3.3)\] Тогда передаточная характеристика будет находиться, как отношение выходной и входной мощности: \[{P_2 \over P_1} = {R\, R_2^4 \over A\, B} \qquad (3.4)\] Такой подход хотя и довольно точно отражает характеристики схемы, однако довольно громоздок и плохо поддаётся анализу. Далее, путём некоторых предположений, мы немного упростим схему и найдём её резонансную частоту.
4. Резонансная частота
Путём моделирования в MicroCap схемы, изображённой на рисунке 5a, удалось выяснить, что влияние \(L_2\) — обмотки широкополосного трансформатора TS2 и нагрузки \(R\), практически не сказывается на значении резонансной частоты (в разумных пределах). Поэтому, для её поиска мы можем упростить эту схему до представленной на рисунке 6.
Рис.6. Упрощённая схема линии для расчёта резонансной частоты
Введём коэффициент, который покажет нам отношение индуктивностей обмотки трансформатора TS1 и линии, \[k = {L_1 \over L_l} \qquad (4.1)\] а затем, путём преобразований формул из раздела 3, найдём резонансную частоту схемы: \[\omega = \sqrt{{1 + 2k - \sqrt{4k^2 + 1} \over k L_l C_l}} \qquad (4.2)\] Здесь: \(\omega = 2 \pi f\). Это выражение можно упростить, если предположить, что \(k\) много больше единицы, что соответствует реальным условиям. Тогда резонансная частота будет приближённо находиться так: \[\omega \approx {1 \over \sqrt{k L_l C_l}} = {1 \over \sqrt{L_1 C_l}} \qquad (4.3)\] Из формулы (4.3) следует, что основной вклад в резонансную частоту вносит индуктивность выходной обмотки спинового трансформатора TS1 и ёмкость ЛЭП. Эта же частота будет являться рабочей для задающего синусоидального генератора Ug (рис. 2a).
4.1. Ещё один вариант расчёта мощности смещения
Из формулы (4.3) следует, что основной вклад в резонансную частоту вносит индуктивность трансформатора TS1 и ёмкость ЛЭП. Если подставить формулу (4.3) в (1.29), то мы получим достаточно уникальное соотношение для вычисления максимальной мощности смещения: \[P_D \approx {U^2 \over Z \sqrt{k}} \qquad (4.4)\] где \(Z\) представляет собой волновое сопротивление ЛЭП. Здесь мы сразу берём среднеквадратичное (действующее) значение напряжения в линии \(U\).
Также, может быть интересна следующая форма записи этой же формулы: \[P_D \approx U^2 \sqrt{C_p l \over L_1} \qquad (4.5)\] где \(C_p\) — удельная ёмкость линии (Ф/м), \(l\) — её длина (м).
Для линии в виде коаксиального кабеля, формула (4.5) представляется нам наиболее удобной для быстрого вычисления её мощности смещения, особенно для линий большой протяжённости, когда вклад этой мощности наиболее весом. Тогда, для её нахождения, нам достаточно знать индуктивность выходной обмотки и выходное напряжение трансформатора TS1 (рис. 2), удельную паспортную ёмкость и длину кабеля. Следует напомнить, что вся система при этом находится в резонансе, частота которого рассчитывается по формуле (4.2) или (4.3). Также, мы предполагаем, что длина ЛЭП много меньше её длины волны.
 
1 2 3 4 5
Используемые материалы
  1. Котельников В.А., Николаев А.М. Основы радиотехники. Глава 9. Связанные контуры.