Давайте для начала запишем глобальный вектор скорости (GVV) в таком виде \[\mathbf{V} = \frac{c}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n, \quad \beta = v/c \qquad (2.1)\] и, проинтегрировав его по времени, найдём глобальный вектор длины (GVL): \[\mathbf{L} = c \int \frac{1}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n\, \Bbb{d}t \qquad (2.2)\] При этом мы подразумеваем, что в общем случае скорость \(v\) зависит от времени, следовательно: \(\beta = \beta(t)\). Теперь возьмём вектор глобальный силы (GVF) отсюда и перепишем его в таком виде: \[\mathbf{F} = m_0 c \beta^{'} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} n\beta^{(n-1)} \qquad (2.3)\] где: \(\beta^{'} = \Bbb{d}\beta / \Bbb{d}t\). Для того, чтобы найти работу (энергию), согласно классических представлений, необходимо проинтегрировать силу по приращению пути: \[E = \int \mathbf{F} \,\Bbb{d} \mathbf{L} \qquad (2.4)\] Преобразовывая подитегральное выражение мы получим: \[E = \int \mathbf{F}\cdot \mathbf{V} \,\Bbb{d}t \qquad (2.5)\] Далее, подставляем туда формулы (2.1) и (2.3): \[E = m_0 c^2 \int \frac{\beta^{'}}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} n\beta^{(n-1)} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \mathbf{j_n} \beta^n \,\Bbb{d}t \qquad (2.6)\] Скалярно перемножая эти суммы в подынтегральном выражении мы получим: \[E = m_0 c^2 \int \frac{\beta}{\gamma} \sum \limits_{n=0}^{\infty} n \beta^{2(n-1)} \,\Bbb{d}\beta \qquad (2.7)\] Сумма степенного ряда находится так: \[\sum \limits_{n=0}^{\infty} n x^{2(n-1)} = {1 \over (1 - x^2)^2} \qquad (2.8)\] Делая подстановку в подынтегральном выражении, и подставляя туда сумму ряда, мы получаем окончательный интеграл: \[E = {m_0 c^2 \over 2} \int {\Bbb{d}\beta^2 \over (1 - \beta^2)^{3/2}} \qquad (2.9)\] Взяв этот интеграл, мы найдём, что: \[E = m_0 c^2 \gamma = m c^2 \qquad (2.10)\] Эта формула полностью соответствует полученной в этом разделе.

Соберём полученные формулы в единый ряд: \[E = \mathbf{P}\cdot \mathbf{V} = \int \mathbf{V} \,\Bbb{d}\mathbf{P} = \int \mathbf{F} \,\Bbb{d} \mathbf{L} = m c^2 \qquad (2.11)\] Напомним только, что глобальный вектор импульса \(\mathbf{P}\), и связанные с ним формулы, мы взяли отсюда.